2024-2025學(xué)年北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)檢測試題本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則（A） （B）（C） （D）（2）已知復(fù)數(shù)滿足，則（A） （B）（C） （D）（3）已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（A） （B）（C）3 （D）（4）在的展開式中，常數(shù)項為（A） （B）（C） （D）（5）已知等比數(shù)列滿足，，則的公比為（A）或 （B）或（C）或 （D）或（6）已知函數(shù).若時，取得最大值，則的值可能是（A） （B）（C） （D）（7）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為的正方形，，則點(diǎn)到直線的距離為（A） （B）（C） （D）（8）若圓的圓心到軸、軸的距離相等，則（A） （B）（C） （D）（9）已知單位向量，則“”是“任意都有”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（10），列（A）一個中最多有個元素 （B）一個中最多有個元素（C）一個中最多有個元素 （D）一個中最多有個元素第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域為________．（12）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則_______；_______．（13）已知雙曲線（其中）的右焦點(diǎn)為，則________，的離心率為________．（14）函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意成立，則滿足條件的一組值可以是________，________．（15）在棱長為的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)為正方體表面上的動點(diǎn)，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點(diǎn)，使得；③存在點(diǎn)，使得；④△EPF是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；求直線與平面所成角的正弦值．（17）（本小題13分）已知為銳角三角形，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的周長．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（18）（本小題13分）某甜品店為了解某款甜品的銷售情況，進(jìn)而改變制作工藝，根據(jù)以往的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如右圖所示.假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立，用頻率估計概率.（Ⅰ）估計某一天此款甜品銷售量不超過的概率；（Ⅱ）用表示在未來3天里，此款甜品日銷售量多于個的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（19）（本小題15分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)為橢圓上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).（20）（本小題15分）已知函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．（Ⅰ）當(dāng)時，求直線的傾斜角；（Ⅱ）求證：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的上方；（Ⅲ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.（21）（本小題15分）已知數(shù)列滿足，其中.（Ⅰ）當(dāng)時，求的值；（Ⅱ）求證：不是單調(diào)遞增數(shù)列；（Ⅲ）是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.數(shù)學(xué)答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）C（2）D（3）B（4）A（5）D（6）B（7）D（8）C（9）C（10）A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①③④說明：12,13,14題都是第一個空3分，第二個2分；15題對一個給1分，對兩個給3分，全對給5分，如果有錯的，則給0分。三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）連接，在中，因為分別為，的中點(diǎn)，所以……….2分又平面，平面所以平面．……….4分（Ⅱ）因為直三棱柱所以平面，所以， ……….5分又為直角，所以，……….6分又所以平面，……….7分所以，由（Ⅰ），所以.……….8分建立空間直角坐標(biāo)系，……….9分則，，，．因此，．設(shè)平面的法向量為，則即……….11分令，于是．……….12分設(shè)直線與平面所成角為．所以． ……….14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理，……….3分所以．……….4分代入得所以.……….5分（Ⅱ）選擇條件①：．……….6分因為，所以.……….8分因為為銳角，所以……….9分由余弦定理，……….11分代入得到所以.解得，（舍）.……….12分所以的周長為.……….13分選擇條件②.……….6分因為，所以,……….7分所以，以下同選擇①.選擇條件③：．……….6分因為，所以.……….8分因為為銳角，所以……….9分由余弦定理，……….11分代入得到所以,……….12分所以的周長為.……….13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“某一天此款甜品銷售量不超過”……….1分．……….4分（Ⅱ）.……….5分，，，，所以的分布列為……….9分所以……….11分（Ⅲ）可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.因為以前此款甜品的日銷售量大于70個的頻率為，現(xiàn)在30天中有20天銷售量大于70個，其頻率遠(yuǎn)大于改進(jìn)前,所以可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化．……….13分(也可認(rèn)為無法確定有無變化，30天中有20天銷售量大于70個是隨機(jī)事件，按之前頻率估計計算30天中有20天銷售量大于70個的概率比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化)（19）（共15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，所以的方程為．……….5分（Ⅱ）法一：設(shè)，所以……….6分所以，……….7分直線的方程為．……….8分令，得……….9分又，……….10分直線的方程為．……….11分令，得，……….12分所以．所以，……….14分所以，所以，所以，.……….15分法二：由題意直線斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為．……….6分令，得……….7分由得． ……….8分易得．設(shè)，則，……….9分，所以 ……….10分直線的方程為．……….11分令，得，……….12分所以． ……….13分所以，.……….14分所以，.……….15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時，，所以．……….2分所以．……….3分所以直線的傾斜角為.……….4分（Ⅱ）因為．……….5分所以，……….6分所以直線的方程為，……….7分 令.……….8分法一：當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以，……….9分所以對且成立，即除切點(diǎn)之外，曲線在直線的上方.……….10分法二：因為，所以時，．時，，，與的變化情況如下表：↘↗……….9分所以，函數(shù)在處取得最小值，所以對且成立，即除切點(diǎn)之外，曲線在直線的上方.……….10分（Ⅲ）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對成立……….11分令，……….12分所以，……….13分所以對成立，所以在上單調(diào)遞增，……….14分所以只需，所以.所以的取值范圍為.