5.1.1角的概念的推廣課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第5章三角函數(shù)角的概念的推廣湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標(biāo)要求1.理解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一任意角1.角的概念:角可以看作是平面內(nèi)

繞著其端點

所成的圖形.

2.角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類類型定義圖示正角一條射線繞著端點以逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角

負(fù)角一條射線繞著端點以

方向旋轉(zhuǎn)所成的角

零角不旋轉(zhuǎn)所成的角

一條射線從初始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置時順時針名師點睛角的概念推廣后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,對于一個給定的角,都有唯一的一條終邊與之對應(yīng),并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.過關(guān)自診1.經(jīng)過1個小時,時針轉(zhuǎn)過的角度是

.

2.始邊與終邊重合的角一定是零角嗎?-30°提示

不一定.只有始邊沒做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.

知識點二象限角與終邊相同的角1.象限角在平面直角坐標(biāo)系中,取角的頂點為坐標(biāo)原點,角的始邊為x軸的非負(fù)半軸,那么,角的終邊落在

,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

常稱為軸線角

2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角用集合表示出來,即

.

第幾象限{β|β=α+k·360°,k∈Z}名師點睛對于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點:(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個整數(shù)值就對應(yīng)一個具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),k取正整數(shù)時,逆時針旋轉(zhuǎn);k取負(fù)整數(shù)時,順時針旋轉(zhuǎn);k=0時,沒有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)鈍角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是鈍角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)2.已知0°≤α<360°,且α與600°角終邊相同,則α=

,它是第

象限角.

√××240°三解析

因為600°=360°+240°,所以240°角與600°角終邊相同,且0°≤240°<360°,故α=240°,它是第三象限角.3.判定下列各角是第幾象限角:(1)-60°;(2)945°;(3)-950°12'.解

(1)因為-60°角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因為945°=225°+2×360°,所以945°與225°角的終邊相同,而225°角的終邊在第三象限,所以945°角是第三象限角.(3)因為-950°12'=129°48'+(-3)×360°,而129°48'角的終邊在第二象限,所以-950°12'角是第二象限角.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一任意角的概念【例1】

(多選題)下列說法不正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角不一定是第一、二象限角B.始邊相同,終邊相同的角不一定相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正確;B中始邊相同,終邊相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正確;C中鈍角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正確;D中零角小于180°,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.規(guī)律方法

理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.變式訓(xùn)練1(1)經(jīng)過2個小時,鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)A.60°,720°

B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°B解析

鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是-60°,-720°.(2)下列說法中正確的是(

)A.第一象限角一定不是負(fù)角B.第二象限角大于第一象限角C.第二象限角是鈍角D.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同D解析

因為-330°角是第一象限角,但它是負(fù)角,所以A不正確.由于120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,顯然390°>120°,所以B不正確.由于480°角是第二象限角,但它不是鈍角,所以C不正確.若β=α+k·360°(k∈Z),則α與β終邊相同,滿足終邊相同角的表示,正確.故選D.探究點二坐標(biāo)系中角的概念及其表示角度1終邊相同的角的求解【例2】

寫出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1080°內(nèi)與75°角終邊相同的角.解

與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.又k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時,β=435°;當(dāng)k=2時,β=795°.綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1

080°內(nèi)的角為435°角和795°角.規(guī)律方法

求與已知角α終邊相同的角時,要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.角度2終邊在確定直線上的角的集合【例3】

寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.解

(1)在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個,即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由圖形易知,在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個,即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}

={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.規(guī)律方法

1.終邊共線的角的寫法:(1)分別寫出每條終邊所代表的角的集合,再取并集,在取并集時要化簡合并,小心出錯.(2)在其中一條終邊上找一個角,然后加上180°的整數(shù)倍.2.終邊落在x軸的非負(fù)半軸、x軸的非正半軸、x軸、y軸的非負(fù)半軸、y軸的非正半軸、y軸、坐標(biāo)軸上的角的集合終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.角度3區(qū)域角的求解【例4】

如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解

(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由圖可知,陰影部分角的集合是由所有介于[-30°,135°]之間的所有與之終邊相同的角組成的集合,故該區(qū)域可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.變式探究1若將本例4(1)改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?解

在0°~360°內(nèi),陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為150°≤β≤225°,則所有滿足條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.變式探究2若將本例4(2)改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括實線邊界)的角的集合如何表示?解

在0°~360°內(nèi),終邊落在陰影部分(包括實線邊界)的角為60°≤β<105°與240°≤β<285°,所以所有滿足題意的角β為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.規(guī)律方法

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步:(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;(3)分別將起始邊界、終止邊界的對應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.【例5】

已知α是第二象限角:(1)求角

所在的象限;(2)求角2α所在的象限.解

(1)(方法1)∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).(方法2)如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正半軸的上方起,按逆時針方向,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,(2)∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z),∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.變式訓(xùn)練2若α是第一象限角,則-

是(

)A.第一象限角

B.第一、四象限角C.第二象限角

D.第二、四象限角D學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.475°角的終邊所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

因為475°=360°+115°,又因為115°是第二象限角,而475°與115°終邊相同,故475°角的終邊所在的象限是第二象限.故選B.12345678910111213141516172.若α是第四象限角,則180°+α一定是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角B解析

∵α是第四象限角,∴k·360°-90°<α<k·360°.∴k·360°+90°<180°+α<k·360°+180°.∴180°+α在第二象限,故選B.12345678910111213141516173.[2024甘肅酒泉高二校考學(xué)業(yè)考試]將x軸正半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)30°,得到角α,則下列與α終邊相同的角是(

)A.330° B.-330°C.210° D.-210°B解析

由題意得與α終邊相同的角的集合為{α|α=30°+k·360°,k∈Z},當(dāng)k=-1時,α=-330°,B正確,其他選項經(jīng)過驗證均不正確.故選B.12345678910111213141516174.如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是(

)A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}C1234567891011121314151617解析

如題圖,終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故選C.12345678910111213141516175.已知角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對稱,且α=-60°,則β=

.-30°+k·360°,k∈Z解析

在-90°到0°的范圍內(nèi),-60°角的終邊關(guān)于直線y=-x對稱的射線的對應(yīng)角為-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.12345678910111213141516176.在與角1030°終邊相同的角中最大的負(fù)角是

;最小的正角是

.

-50°310°解析

與1

030°終邊相同的角的一般形式為β=k·360°+1

030°(k∈Z),由-360°<k·360°+1

030°<0°,得-1

390°<k·360°<-1

030°,解得k=-3,故所求的最大負(fù)角為β=-50°.由0°<k·360°+1

030°<360°,得-1

030°<k·360°<-670°,解得k=-2,故所求的最小正角為β=310°.1234567891011121314151617{β|β=60°+n·180°,n∈Z}S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練8.下列各角中,與27°角終邊相同的是(

)A.63°

B.153°C.207° D.387°D解析

與27°角終邊相同的角的集合為{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故與27°角終邊相同的是387°.故選D.12345678910111213141516179.射線OA繞端點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置,由OB位置繞端點O旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置,得∠AOC=-150°,則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為(

)A.逆時針,270° B.順時針,270°C.逆時針,30° D.順時針,30°B解析

由題意可知,∠AOB=120°,設(shè)∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射線OB繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)270°.1234567891011121314151617A.M=P

B.M?PC.M?P

D.M∩P=?B123456789101112131415161711.(多選題)已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},那么A,B,C的關(guān)系是(

)A.B=A∩C B.B∪C=CC.B∩A=B D.A=B=CBC解析

A∩C除了銳角,還包括其他角,比如-330°角,所以A選項錯誤.銳角是小于90°的角,故B選項正確.銳角是第一象限角,故C選項正確.A,B,C集合中角的范圍不一樣,所以D選項錯誤.123456789101112131415161712.(多選題)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角AC解析

因為角2α的終邊在x軸的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,則有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故當(dāng)k=2n,n∈Z時,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1,n∈Z時,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α為第三象限角.故選AC.123456789101112131415161713.角α,β的終邊關(guān)于y軸對稱,若α=30°,則β=

.150°+k·360°,k∈Z解析

∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對稱,∴β的終邊與150°角的終邊相同.∴β=150°+k·360°,k∈Z.123456789101112131415161714.若角β的終邊與60°角的終邊相同,在[0°