2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明單元綜合測試含解析北師大版選修1-2

PAGEPAGE1單元綜合測試三(第三章綜合測試)時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．兩個(gè)正方體M1、M2，棱長分別為a，b，則對于正方體M1、M2有：棱長比為ab，表面積的比為a2：b2，體積的比為a3b3.我們把滿意類似條件的幾何體稱為“相像體”，下列給出的幾何體中是“相像體”的是()A．兩個(gè)球 B．兩個(gè)長方體C．兩個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓錐【答案】A2．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②【答案】B3．不等式a＞b與eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同時(shí)成立的充要條件為()A．a(chǎn)＞b＞0 B．a(chǎn)＞0＞bC.eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)＜0 D.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0【答案】B【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,\f(1,a)＞\f(1,b)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,\f(a－b,ab)＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,ab＜0))?a＞0＞b，故選B.4．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”，其中正確的敘述有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】①錯(cuò)，應(yīng)為a≤b；②對；③錯(cuò)，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上；④錯(cuò)，應(yīng)為三角形可以有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角．5．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·…·b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1·a2·a3·…·a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9【答案】D【解析】等比數(shù)列的特點(diǎn)是b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6＝beq\o\al(2,5)，而等差數(shù)列的特點(diǎn)是a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.6．假如f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2008,f2007)等于()A．1003B．1004C．2006D．2008【答案】B【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，那么f(2)＝f(1＋1)＝f(1)f(1)，即eq\f(f2,f1)＝f(1)；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)f(1)，即eq\f(f4,f3)＝f(1)，…；f(2008)＝f(2007＋1)＝f(2007)f(1)，即eq\f(f2008,f2007)＝f(1)；那么eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2008,f2007)＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝1004f7．已知a，b，c，d為正數(shù)，S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,a＋b＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,c＋d＋b)，則()A．0＜S＜1 B．1＜S＜2C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【答案】B【解析】S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,a＋b＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,c＋d＋b)＜eq\f(a,a＋b)＋eq\f(b,a＋b)＋eq\f(c,c＋d)＋eq\f(d,c＋d)＝2，又S＞eq\f(a,a＋b＋c＋d)＋eq\f(b,a＋b＋c＋d)＋eq\f(c,a＋b＋c＋d)＋eq\f(d,a＋b＋c＋d)＝1，所以1＜S＜2，故選B.8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B.eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D.eq\f(2,2n－1)【答案】B【解析】由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(1,nn＋1).9．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下面圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，則圖中，a，b對應(yīng)的運(yùn)算是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D【答案】B【解析】依據(jù)題意可知A對應(yīng)橫線，B對應(yīng)矩形，C對應(yīng)豎線，D對應(yīng)圓．故選B.10．視察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝()A．962B．960C．762D．562【答案】A【解析】本題主要考查歸納推理等學(xué)問．由題易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50，m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為________．【答案】1:8【解析】由平面和空間的學(xué)問，可知許多比值在平面中成平方關(guān)系，在空間中成立方關(guān)系．故若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為18.12．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，計(jì)算得f(2)≥eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2).推想當(dāng)n≥2時(shí)，有________．【答案】f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2)【解析】∵f(2)＝f(21)≥eq\f(3,2)＝eq\f(1＋2,2)，f(4)＝f(22)>2＝eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq\f(5,2)＝eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>3＝eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq\f(7,2)＝eq\f(5＋2,2)，∴可猜想f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2)．13．對于平面上的點(diǎn)集Ω，假如連接Ω中隨意兩點(diǎn)的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集．給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下(陰影區(qū)域及其邊界)：其中為凸集的是____________(寫出全部凸集相應(yīng)圖形的序號(hào))．【答案】②③【解析】本題主要考查從題目中提取信息，解決問題的實(shí)力．舉反例14．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………【答案】n2＋n【解析】本題考查了等差數(shù)列及歸納推理的方法和思想，要求考生能從給出的信息總結(jié)規(guī)律，歸納結(jié)論．由圖表知，第n行的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為n，公差為n的等差數(shù)列，∴第n行第n＋1列的數(shù)為：n＋(n＋1－1)·n＝n2＋n.15．如圖，圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在C上)且半徑相等，設(shè)第i段弧所對的圓心角為αi(i＝1,2,3)，則coseq\f(a1,3)coseq\f(α2＋α3,3)－sineq\f(α1,3)sineq\f(α2＋α3,3)＝____________.【答案】－eq\f(1,2)【解析】本題考查平面幾何學(xué)問，涉及到多邊形的內(nèi)角和，圓以及三角函數(shù)的基本學(xué)問．考查整體思想及運(yùn)算處理實(shí)力．如圖所示，四邊形O1PO3C為菱形，所以∠O1PO3＝∠O1CO3同理∠O1PO2＝∠O1AO2，∠O2PO3＝∠O2BO3，因?yàn)椤螼1PO2＋∠O1PO3＋∠O2PO3＝360°，所以∠O1AO2＋∠O2BO3＋∠O1CO3＝360°.六邊形O1AO2BO3C所以∠AO1C＋∠AO2B＋∠BO3α1＋α2＋α3＝(360°－∠AO1C)＋(360°－∠AO2B)＋(360°－∠BO3＝1080°－(∠AO1C＋∠AO2B＋BO3coseq\f(α1,3)coseq\f(α2＋α3,3)－sineq\f(α1,3)sineq\f(α2＋α3,3)＝coseq\f(α1＋α2＋α3,3)＝cos240°＝－eq\f(1,2).三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．【證明】由A、B、C成等差數(shù)列，∴2B＝A＋C①∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，∴A＋B＋C＝π②由①②得B＝eq\f(π,3)③由a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac④由余弦定理及③可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac再由④得a2＋c2－ac＝ac即(a－c)2＝0，∴a＝c，從而有A＝C⑤由②③⑤得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，∴△ABC為等邊三角形．17．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，試證：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.【證明】由已知條件得b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，要證eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2，只需證ay＋cx＝2xy，即證2ay＋2cx＝4xy，因?yàn)?x＝a＋b,2y＝b＋c，b2＝ac，所以4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋bc＋2ac所以2ay＋2cx＝4xy，命題得證．18．視察下表1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，….問：(1)此表第n行的最終一個(gè)數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？【解析】(1)由表知，其次行起每行的第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，所以第n＋1行的第一個(gè)數(shù)為2n，所以第n行的最終一個(gè)數(shù)為2n－1.(2)由(1)知第n－1行的最終一個(gè)數(shù)為2n－1－1，第n行的第一個(gè)數(shù)為2n－1，第n行的最終一個(gè)數(shù)為2n－1.又由視察知，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與這一行的第一個(gè)數(shù)相同，所以由等差數(shù)列求和公式得：Sn＝eq\f(2n－12n－1＋2n－1,2)＝22n－3＋22n－2－2n－2.19．求證：正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期．【證明】假設(shè)T是正弦函數(shù)的周期，且0<T<2π，則對隨意實(shí)數(shù)x都有sin(x＋T)＝sinx成立．令x＝0，得sinT＝0，即T＝kπ，k∈Z.又0<T<2π，故T＝π，從而對隨意實(shí)數(shù)x都有sin(x＋π)＝sinx，這與sin(eq\f(π,2)＋π)≠sineq\f(π,2)沖突．所以，正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期．20．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)，(1)證明：f(x)是奇函數(shù)；(2)分別計(jì)算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)對全部不等于0的實(shí)數(shù)【解析】(1)證明：f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(－x\f(1,3)－－x－\f(1,3),5)＝－eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)．(2)計(jì)算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，于是揣測f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x∈R證明：f(x2)－5f(x)g(x)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－5×eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)·eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3)x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)＝0.21．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－3n(n∈N＋)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)，它們按原依次可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由．【解析】(1)a1＝S1＝2a1－3，則a1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝2an＋1－3