2.1.10微分方程初步

新編經濟應用數學（微分學積分學）第五版PAGEPAGE12.1.10微分方程初步課題2.1.10微分方程初步（2學時）時間年月日教學目的要求微分方程的一般概念。一階微分方程。幾類特殊的高階微分方程。重點微分方程的一般概念、一階微分方程。難點一階微分方程。教學方法手段講練結合。主要內容時間分配微分方程的一般概念。（30分鐘）一階微分方程。（30分鐘）幾類特殊的高階微分方程。（30分鐘）作業(yè)備注新編經濟應用數學PAGEPAGE22.1.10微分方程初步§2.1.10微分方程初步常微分方程是高等數學的一個重要組成部分，利用它可以解決許多幾何、力學以及物理等方面的問題。本章將介紹常征微分方程的一些基本概念和常見的一些簡單微分方程的解法。一、微分方程的一般概念微積分研究的對象是函數關系，但在實際問題中，往往很難直接得到所研究的變量之間的函數關系，卻比較容易建立起這些變量與它們的導數或微分之間的聯(lián)系，從而得到一個關于未知函數的導數或微分的方程，即微分方程。通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知量之間的函數關系。因此，微分方程是數學聯(lián)系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的工具。微分方程是一門獨立的數學學科，有完整的理論體系。本節(jié)我們主要介紹微分方程的一些基本概念。1．引例利用函數關系，我們可以對客觀事物的規(guī)律進行研究，但在許多實際問題中，無法直接求得與問題有聯(lián)系的那些量的函數關系，而只能借助于含有未知函數的等式求得。例如大家在高中的學習中，經常會遇到這樣的問題：已知滿足，求。上式是一個含有未知函數的等式，即函數方程。在此，借助于解代數方程的方法不難求得，通常我們把含有未知函數的等式叫做函數方程?！纠?】一平面曲線上任意一點處的切線的斜率等于該點處橫坐標的平方，且曲線過點，求此曲線方程。解：設所求的曲線議程為，由導數的幾何意義可知：曲線在點處的切線的斜率，依題意應滿足方程（1）且滿足：當時，。此條件可寫成（2）將（1）式化為，即（3）其中C是任意常數。將條件（2）代入（3）式，有。所以所求曲線方程為例1中（1）式也是函數方程，但與前例不同的是，（1）式中含有未知函數的導數，我們稱這種方程為微分方程。2．微分方程的定義定義1含有未知函數的導數（或微分）的方程叫做微分方程。未知函數是一元函數的微分方程叫做常微分方程。本書中只介紹常微分方程的有關知識，故以后所述的微分方程即指常微分方程。例如以及都是微分方程。與（1）式不同的是它們分別出現了未知函數的二階與三階導數。定義2微分方程中所含未知函數的導數的最高階數叫做微分議程的階。若一個微分方程的階為，則稱這個微分方程為階微分方程。3．微分方程的解在例1中將（1）式中的未知函數用已知函數代替，則（1）式兩邊成為恒等式，我們可把叫做方程（1）的一個解。定義3如果把一個函數代入微分方程后，方程兩邊成為恒等式，那么就稱這個函數為該微分方程的一個解。求微分方程的解的過程，叫做解微分方程。在例子中，（3）式也是方程（1）的一解，其含有一個任意常數C，它是該方程的全部解的共同表達式，故稱為該微分方程的通解。又如是方程的解，并且它含有兩個獨立的任意常數。以后將知道，它是該方程的全部解的共同表達式，故也稱為這個方程的通解。定義4如果一個微分方程的解中含有獨立的任意常數，并且任意常數的個數等于該微分方程的階數，那么這個解叫做該微分方程的通解。通解中的任意常數每取一組特定的值所得到的解，叫做該微分方程的一個特解。在例子中通過條件確定了通解是的常數，我們把條件叫做該方程初始條件。一般地，一階微分方程的初始條件為：二、一階微分方程微分方程的類型是多種多樣的，它們的解法也各不相同。從本節(jié)開始我們將根據微分方程的不同類型，給出相應的解法。本節(jié)我們將介紹可分離變量的微分方程和一階線性微分方程。一階微分方程有許多種形式，這里我們只研究可化為下列形式的一階微分方（一）、可分離變量的微分方程一般地，我們把形如（1）或（2）的方程叫做可分離變量的一階微分方程，簡稱可分離變量的方程。對可分離變量的方程我們可采用“分離變量”、“兩邊積分”的方法求得它的解。如對方程（1）可按下列步驟求解：（1）分離變量當時，方程（1）可化為（2）兩邊積分若，則可得方程（1）的通解（3）或化為顯形式為（若有反函數）?！纠?】求方程的通解。解原方程可化為，它是可分離變量方程。分離變量得兩邊積分得計算積分可得原方程的通解為即【例3】求方程滿足初始條件的特解。解將方程變形為分離變量得兩邊積分得計算積分可得或（此處為大于零的任意常數）因此，原方程的通解是（C為任意常數）將條件代入上式得.故原方程滿足初始條件的特解是在例3中，兩邊積分時出現了表達式，為去對數可令，即，這里C仍取任意常數。在解微分方程時，經常會遇到方程的通解為的情況，可直接將其化為。對此，以后不再加以說明。在一些實際問題中遇到的微分方程可能不是可分離變量的微分方程，但可通過適當的變換將其化為可分離變量的方程。形如的方程若不是可分離變量方程，則可通過變換化為可分離變量的微分方程。一般地，我們把方程叫做一階齊次微分方程。在方程（4）中作變換，則可得，此時方程（4）可化為該方程是可分離變量方程，因此可求其通解，進而可求得方程（4）的解?！纠?】一曲線上任一點處的切線與直線OP所成的解為，且過點，求該曲線方程。解設曲線方程為，由導數的幾何意義可知：曲線在點處的切線的斜率為，而直線OP的斜率為，依題意可得，因此可得此方程為一階齊次方程?？勺髯儞Q，即，此時，將其代入上式得即這是以為未知函數的可分離變量方程，分離變量可得兩邊積分可得其通解為回代可得原方程的通解為將初始條件代入上式可求出，因此所求曲線方程為（二）、一階線性微分方程形如（5）的方程叫做一階線性微分方程，其中為已知函數。當時，方程（5）即為（6）稱為一階線性齊次方程。相應的時，方程（5）稱為一階線性非齊次微方程。不難看出，一階線性齊次微分方程是可分離變量方程，分離變量得，兩邊積分可得其通解為（7）其中C是任意常數。注意在中，僅表示的一個原函數。在以后所給出的微分方程的通解公式中積分表達式均如此，不再說明。為了求方程（5）的通解，我們采用微分方程中常用的“常數變易法”，即將（7）式中的常數C用函數代替，并設是方程（5）的解，代入方程（5）可整理得即兩邊積分得將其代入便得方程（5）的通解為（8）以上我們利用“常數變易法”解出了一階線性非齊次微分方程的通解，在具體解題中并不要求僅用此方法來求解一階線性非齊次微分微分的通解。方程（5）的通解可化為（9）此式中等號右端第一項是一階線性齊次微分方程的通解，而第二項是一階線性方程的通解所具有的特點。我們可按下列步驟求一階線性非齊次微分方程的通解：第一步：將方程化為一階線性非齊次微分方程的標準形式；第二步：求出方程中的；第三步：計算積分第四步：計算積分；第五步：由公式（9）寫出原微分方程的通解。【例5】求微分方程的通解。解因為。計算積分由公式（8），原方程的通解為=即【例7】求方程滿足初始條件的一個特解。解原方程可化為此方程為一階線性微分方程，其中計算積分所以原方程的通解為。將初始條件代入上式可得。所以，所求特解為在利用公式（9）解一階線性微分方程時，注意到與中的互為倒數，可使計算更為簡便?！纠?】一跳傘隊員質量為，降落時空氣的阻力與傘下降的速度成正比，設跳傘隊員離開飛機時的速度為零。求傘下降的速度關于時間的函數。解設跳傘隊員離開飛機秒時，其速度為，則該時刻所受阻力，此時受重力為。由牛頓第二定律知：滿足微分方程，且由跳傘隊員離開飛機時的速度為零得，所以此問題化為求解下面的初值問題：方程為一階線性非齊次微分方程，其通解為，將條件代入可得，故所求函數為由此我們可分析出：隊員離開飛機后，開始階段是在加速運動，經過一段時間后逐漸趨近于勻速運動。三、幾類特殊的高階方程上一節(jié)介紹了簡單的一階微分方程的解法，而我們把二階及二階以上的微分方程叫做高階微分方程。本節(jié)將介紹幾類特殊的高階微分方程，這些方程在力學的應用方面經常出現，它們的解往往可以利用變量代換來降階的方法求得。（一）、型方程（1）的解可以通過逐次積分得到，下面僅以一例加以說明。【例9】解方程。解：對方程兩邊逐次積分：或（二）、型方程（2）中不顯含未知函數，此方程只要作變換則，將其代入（2）式可得此為以為未知函數的一階微分方程，若可求得其解為即則原方程的通解為【例10】解方程。解：設則，將其代入方程后可得此方程為可分離變量方程，分離變量得解得其通解為從而有，再積分可得原方程的通解為（三）、型方程（3）中左端不顯含，若作變換則將其代入（3）式可得一階微分方程若可求得其通解則由可得即因此原方程的通解為【例11】解方程，其中。解：令，則，代入方程后有或由得，此時可解得；由，可得，兩邊積分后有從而。因為，所以有。由此可解得，即因此，原方程的通解為以及。注意：此方程的通解有兩個表達式，且它們不可相互取代。（四）二階線性微分方程在工程及物理問題中，遇到的高階方程很多都是線性方程，或者可化簡為線性方程。二階線性方程的一般形式為（1）其中、及是已知函數，、叫做系數函數，叫做自由項。當、為常數時，方程（2）叫做二階常系數線性微分方程。本節(jié)討論二階線性方程，二階常系數線性齊次微分方程及其解法，二階常系數線性非齊次微分方程。線性微分方程解的結構定理以下所述二階線性微分方程的解的結構定理，是以常系數線性微分方程（2）為例，其所有結論，對方程（1）都成立。在方程（2）中，若，則方程（3）叫做二階常系數線性齊次微分方程，相應的時，方程（2）叫做二階常系數線性非齊次微分方程。以上兩方程簡稱為線性齊次方程和線性非齊次方程。定理1設是線性齊次方程（3）的解，則也是該方程的解。其中是任意常數。證明：因為是線性齊次方程（3）的解，所以有把代入（3）式可得即是線性齊次方程（3）的解。定理1表明：若是線性齊次方程的解，則它們的線性組合也是該線性齊次方程的解。定理2設是線性齊次方程（3）的兩個線性無關解，即則就是這個方程的通解。證明：（略）注意是線性無關的假設是必要的，它可保證中這兩個常數是相互獨立的，進而可保證構成線性齊次微分方程的通解。定理2表明：求線性齊次微分方程的通解，只要求得它的兩個線性無關解即可。定理3設是線性非齊次方程（2）的解，是相對應的線性齊次方程（3）的解，則也是方程（2）的解。證明：因為，分別為（2），（3）的解，所以應有將代入（3）有所以也是方程（2）的解。由定理2與定理3不難得到下面的結論。定理4設是線性非齊次微分方程的一個特解，是相應的線性齊次方程的兩個線性無關解，則是線性非齊次方程的通解。定理4表明：求線性非齊次方程的通解，只要求得相應的線性齊次方程的通解，再求出線性非齊次方程的一個特解即可?！纠?2】驗證是方程的兩個解，并寫出方程的通解。解：因為，所以，即是方程的解。同理可知：也是該方程的一個解。又所以與線性無關，由定理2可知是的通解（，為任意常數）?！纠?3】驗證是方程的一個特解，并求該方程的通解。解因為，所以即是方程的一個特解。由于的相應齊次方程為，由例1可知是所求方程的通解。2．二階常系數線性齊次方程的通解觀察方程（3）的左端結構，以及指數函數的導數的特點，我們可設想方程（3）有形如形式的解，將它代入方程（3）并整理可得因為，故必有（4）由此可知，當是一元二次方程（4）的根時，就是方程（3）的一個解。我們稱方程（4）是方程（3）的特征方程，它的根叫做方程（3）的特征根。下面將通過特征方程的根的不同情形，給出二階常系數線性齊次微分方程的通解表達式。（1）若，設是方程（4）的兩個實根，則。此時都是方程（3）的解，且，所以方程（3）的表達式為為任意常數?！纠?4】求微分方程的通解。解所給方程的特征方程式，解得特征根為，所以，原微分方程的通解是（2）若，設是方程（4）的根，即是特征方程的重根。此時是方程（3）的解。為求其通解，可設與線性無關，即也是方程（3）的一個解，將其代入方程（3）并整理可得因為，注意是方程（4）的重根，故有，因此可得。取，可知也是方程（3）的解，且與線性無關。此時方程（3）的通解表達式為【例15】求方程滿足初始條件的一個特解。解所給方程的特征方程為，特征根為，所以微分方程的通解是將代入得；對上式求導有將代入得。所以原微分方程的特解為若，設是特征方程（4）的根，則，此時，是方程（3）的解。由歐拉（Euler）公式，此解可化為令，將代入方程（3）應有因是實函數，故與必都為實數，由復數的性質應有以上說明，都是線性齊次方程（3）的解，且，因，所以與線性無關，從而可知，此時方程（3）的通解表達式為【例16】求方程的通解。解特征方程為，特征根，因，故所給微分方程的通解是根據上述討論，求二階常系數線性齊次方程同階的步驟如下：第一步：寫出對應的特征方程；第二步：寫出特征根；第三步：由特征根的情況寫出其通解。(五)、二階常系數線性非齊次微分方程的特解有前面的討論，二階常系數線性齊次方程的通解以可求得，所以下面只要研究線性非齊次方程的一個特解求法即可。自由項時特解的討論由于二階常系數線性非齊次方程中的自由項的不同，方程的特解得求法也不同。這里對的最一般形式，即加以討論，給出求解方法，進而可得出幾類常見的特殊類型自由項的特解求法。不難想象，方程（5）的特解的形式仍然是多項式與指數函數的乘積。因此，我們假設是方程（5）的解，將其代入方程（5）并化簡整理可得（6）上式為恒等式，左端必為次多項式，因此可分下列三種情況，來確定的次數及系數。(1)當不是特征方程的根時，必為次多項式，此時可設為方程（5）的一個特解，必須滿足方程（6）。將代入（6）式即可確定出的系數。（2）當是特征根，且為單根時，由于，但，所以必為次多項式，從而必為次多項式，此時可設為方程（5）的一個特解，將代入方程（6）式即可確定的系數。（3）當是特征根，且為重根時，由于，且，所以必為次多項式，從而必為次多項式，此時可設為方程（5）的一個特解，將代入方程（6）式即可確定的系數。有了以上的一般性討論，對和的不同取值，我們可求出自由項為不同形式的微分方程的特解。下面舉例說明的幾種簡單形式特解得求法。當時，自由項。此時方程（5）的特解可設為【例17】求方程的一個特解。解特征方成為，其特征根為。由于不是特征根，且為一次多項式，故可設原方程的特解為將其代入原方程有比較兩邊系數得解得。于是所求方程的特解為注意當時，將所設特解代入原方程即可。當時，自由項。此時方程（5）的特解可設為【例18】求的一個特解。解特征方成為，其特征根為。因是特征方程的單根，故設方程的特解為將代入（6）式得，解得。所以原方程的一個特解為【例19】求的通解。解特征方成為，特征根為，于是相應的齊次方程的通解是