高中數(shù)學(xué)圓錐曲線十大題型 01求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)生版+解析版）

01求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

翼例臺(tái)布

類型一、待定系數(shù)法

第一步，做判斷，根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在X軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能,

（這時(shí)需要分類討論）。

2222

第二步，設(shè)方程，根據(jù)上述判斷，設(shè)方程為=+與=1（a>6>0）或二

ab-ab

第三步，找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,b,c的方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系/=62+02,

第四步，得方程，由上一步所得方程組求得出a,b,c,將解代入所設(shè)方程，即得所求。

1.已知點(diǎn)石）是橢圓J+（=l（a>6>0）上的一點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的|■倍，則該橢圓的方

程為（）

2.橢圓￡=+乙=1（4>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，月，過點(diǎn)片的直線交橢圓于力，8兩點(diǎn)，交歹

a2b2

軸于點(diǎn)C,若片，C均是線段48的三等分點(diǎn)，第48的周長(zhǎng)為4右，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X2V2.2222比2

A.---1---=1B.土+匕=1C,二+JD.---by2=]

5453525

y2

3.已知橢圓C：二+=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線x-y+6=O與橢圓C相交于不同的

a

兩點(diǎn)A,B,若P為線段A3的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為-；，則橢圓C的方程為（）

A.工+JlB.一=1C—-I

D+=1

3242-TT

4.已知橢圓C的焦點(diǎn)為乃（一c,0），F(xiàn)2（C,0）（C>0）,過點(diǎn)尸2與無軸垂直的直線交橢圓于第一象限的A點(diǎn)，點(diǎn)

A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為8,且/AAB=120。，SAFJB=半，則橢圓C的方程為—

類型二、巧設(shè)方程法

1.過點(diǎn)/(3,—2)且與橢圓《X+9V=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(

y4

34

已知橢圓過點(diǎn)尸(丁-4)和點(diǎn)Q(-y,3),則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

以上都不對(duì)

類型三、定義法

1.已知△人回的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)6(0,-4),C(0,4),則頂點(diǎn)/的軌跡方程是()

xy、

A.弁+右=1(x#0)B.右+左=1(^0)

X,V/\X,V/\

C-+-=l(^0)D-+-=l(^0)

2.若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)始終滿足關(guān)系式J尤2+(y+2)2+“2+(y-2)2=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為()

3.若4抽。的兩個(gè)頂點(diǎn)3(0,-3),C(O,3),周長(zhǎng)為16,則第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程是

方花點(diǎn)楨

1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法

(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定?，仇的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程

(2)待定系數(shù)法(先定位，在定量)：

若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a,b；

若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，

(2)如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為41+為2=i(/>o,B>0,A豐3).

2222

(3)與橢圓工+匕=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為47+$7=1(">一如k>—n且.

mnm-Tkn-vk

X2V2X2V2

(4)與橢圓(a>6>0)有相同置心率的橢圓，可設(shè)為F+N=A(左>0,焦點(diǎn)在x軸上)

abab

22

KX

或F+0=A2（42>O,焦點(diǎn)在P軸上）.

ab

風(fēng)⑥稱可夯實(shí)基礎(chǔ)

22后

1.已知橢圓a?l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&&離心率為半過K的直線，交，于46兩

點(diǎn).若△/月臺(tái)的周長(zhǎng)為44，則橢圓C的方程為（）

x2,y2

A.勺+5=1

2222

X.Vx,y

C+=1D—+-=1

-Ii8124

_22

2.過點(diǎn)（若，—后,且與橢圓匕+工=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

259

A-B.--------1--------=1

420204

工+Jl

j—?—=iD.

164416

3、如果橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,過此焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于與，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為O

,2

廠1

A.2.-H----=1B.工+上=1

9595

C.反%2/

D.—+—=1

9449

-4）和/-13）,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

4.已知以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)1）

2

A.喜+9=1

D.以上都不對(duì)

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用〃逼近法〃得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.已知

橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)耳，尸2在y軸上，其面積為4島，過點(diǎn)片的直線/與橢圓C交于點(diǎn)A,5且△KA8

的周長(zhǎng)為16,則橢圓。的方程為（）

5x23-1

A.十一=1B.

1631612

、222

X+匕xV

C.=1D.—+—=1

1612163

22

6.過橢圓C：=+與=l（a>b>0）右焦點(diǎn)F的直線/：x-y-6=0交C于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且

ab

OP的斜率為-g,則橢圓C的方程為（）

,2

A.1二1n尤\V],2D,工+二,2=1

D.-----1------=1C-1

63758496

7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法"

得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓c的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y

軸上，且橢圓C的離心率為立，面積為12%,則橢圓C的方程為（）

4

,2,2,2

A.":1R9+yC.工+JD,工+上=1

D.-----1------=1

916341832436

2

8.（多選題）已知F為橢圓E:三+Aim〉?！?。）的左焦點(diǎn)，A,B為E的兩個(gè)頂點(diǎn).若IAB|=5,||=3,

a

則E的方程為（)

A.JJB--1c.JJ

D-

9525162521

9.（多選題）橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于10,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.《+匚1B.—

251610064

,2,2

Cx2yD,工+上=1

c.--------1-----------1

641001625

10.（多選題）點(diǎn)B為橢圓c的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓c上存在點(diǎn)尸，使得/片尸耳=90。,則橢圓C的方程可

以是（）

A,工+匕,2=1D.目+匕,2=1

B.+=1c1

259Sfe-168

y2

11.如圖所示，已知橢圓薩十，p=l(a>b>0),Fi，巳分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢

圓的上頂點(diǎn)，直線A&交橢圓于另一點(diǎn)8,若橢圓的焦距為2,且Aa=263，則橢圓

的方程為

/V2

12.已知橢圓C：「+當(dāng)=1（a>b>0）,若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

ab

方程為

13.已知橢圓中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為F（0,373）,直線4x+3y-13=0與其相交于M/V兩點(diǎn)，M/V中點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為1,則此橢圓的方程是

22—

14.已知橢圓C:4+與=1（。>6>0）,尸（6,0）為其右焦點(diǎn)，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦

ab

長(zhǎng)為1.則橢圓的方程為

15.根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±6）,且經(jīng)過點(diǎn)（5,4）；

⑵焦距是12,離心率是0.6，焦點(diǎn)在x軸上.

⑶橢圓C上的所有點(diǎn)中，到焦點(diǎn)的距離最小為2,最大為14,

16.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,5）,（0,-5）,橢圓上一點(diǎn)尸到兩焦點(diǎn)的距離之和為26.

（2）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過-2）和兩點(diǎn).

17.（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（一2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)（看-g｝求它的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)（2,0）和（0,1）,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.（1）如圖,從橢圓上+乙=1（a〉6>0）上一點(diǎn)P向/軸作垂線，垂足

恰為左焦點(diǎn)尸一又點(diǎn)A是橢圓與/軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正

半軸的交點(diǎn),且48//OP,I片川=+后，求橢圓的方程.

（2）求過點(diǎn)（3,—2）且與橢圓4/+9/=36有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

翼例令新

類型一、待定系數(shù)法

第一步，做判斷，根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在X軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐

標(biāo)軸都有可能，（這時(shí)需要分類討論）。

第二步，設(shè)方程，根據(jù)上述判斷，設(shè)方程為二_+2_=1（?！?gt;0）或

crb2

22

當(dāng)+0=1（。>6>0）。

ab

第三步，找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,b,c的方程組（注意橢圓中固有的等式

關(guān)系。*=Jj-+C1,

第四步，得方程，由上一步所得方程組求得出a,b,c,將解代入所設(shè)方程，即得所求。

22o

1.已知點(diǎn)加卜,屏）

是橢圓1r+%=1（a>b>0）上的一點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的1■倍,

則該橢圓的方程為（)

A,《+匕,2=1

B彳…1

25202745

C尤,,2-1D,反+匕,2=1

18103620

【答案】D

【分析】看問題:求橢圓的方程（屬于軌跡方程問題）

想方法:求軌跡方程基本方法:

（1）待定系數(shù)法：已知曲線類型用此法；（2）定義法;

（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）；（4）直譯法（直接法）；（5）參數(shù)法。

看條件:M

33

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的5倍,則，注意

a2=b2+c2

3、

定措施:用待定系數(shù)法，即利用條件建立方程組:a=2C去求a,b,c.,從而可得

9151

l

[—ar+-b7=

〃涉得橢圓方程.

a2=b2+c2

3〃二6丫22

【詳解】由題意a=2C，解得',。寸所以橢圓方程為2+2=1.

b-2753620

915,

[Fa+Fb~=1

22

2.橢圓￡三+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，月，過點(diǎn)耳的直線交橢圓于/,

B兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C,若耳，。均是線段48的三等分點(diǎn)，工期的周長(zhǎng)為4\傷，則橢圓

E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2222222

歹r

AA.-X---1----=]1B.土+匕=1C.土+乙=1D.}-y2=I

5453525

【答案】A

【解析】由橢圓的定義知|西|+|戀H即田理卜勿，則嵋AB的周長(zhǎng)為

\AFl\+\AF2\+\BFl\+\BF2\=4a=4y/5,

22

所以。二君，所以橢圓E的方程為三=I，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則由耳，C均是

5b

線段的三等分點(diǎn)，得c是線段￡4的中點(diǎn),又耳（Y,0），所以點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為C,由

22

二+上_=],得歹==,所以

，所以CQ,B{—2c,—.把點(diǎn)B的坐標(biāo)

5/V5

22

4Ch

代入橢圓方程得4c220_即經(jīng)+￡_=1,化簡(jiǎn)得力=20—16。2,又從=5-。2,所

-----------1------V=1

5b2520

22

以20-1602=5-。2,解得。2=1,所以從=4,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=>

54

22

3.已知橢圓C：=+々=1（a>6>0）的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線尤-y+石=0與橢圓

ab

c相交于不同的兩點(diǎn)A,B,若P為線段AB的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線O尸的斜率為-；,

則橢圓C的方程為（)

22B.二+丁=1c.J-D—+■

AA.—%+—y=1l

3244263

【答案】D

【分析】

求得P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法建立”,6的關(guān)系式，由此求得。力，進(jìn)而求得橢圓方程.

【詳解】

直線尤-y+6=o過點(diǎn)尸，令y=0貝鼠=一道，所以網(wǎng)一百,0),即0=也.設(shè)

4(4%),現(xiàn)%，%)，則￡+圣=1,M+岑=1，兩式相減并化簡(jiǎn)得-;=21土&?=A,所

ababa玉+々石一々

以-4=2廿，c2=a2-b2=b2=3,b=^/3,a=y/6,所以橢圓C的方

4.已知橢圓C的焦點(diǎn)為為(一c,0),F2(C,0)(C>0),過點(diǎn)B與x軸垂直的直線交橢圓于第一

象限的A點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,且乙4尸出=120。，S",AB=平，則橢圓C

的方程為.

【答案】丁+2=1..3

【解析】由題意，設(shè)橢圓C的方程為法+京=l(a>b>0),如圖，連接86,

由橢圓的對(duì)稱性易得四邊形為平行四邊形，由NAE2=120。，q

得N&AB=60°,又AF2，F(xiàn)/2,設(shè)|A科=|3西尸根(MI>0),則|尸1刊=小機(jī)，

11廣空2^3

|AFi|=2m,又&BAB=2,|3尸iH尸尸12|=2XmxWm=3,解得根=3,

又由2c=\F\F2\=y/3m=2,2a=\AF\\+\AF2\=3m=2y[39

22

_____x_y_

解得c=l,a=小,b=yla2—c2=y[2,則橢圓。的方程為5+萬=1.故選C.

類型二、巧設(shè)方程法

X2V2

1.過點(diǎn)4(3,—2)且與橢圓3+9=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()

X2,2VX2,V2

A-Ii+W=1B.云+而=1

X2y2X2V2

C1F)-I-1

10152015

【答案】A

V/94

【解析】由題意知1=5,可設(shè)橢圓方程為力工+{=1(兒>0),則k二十7=1，

A十54A十5人

XV

解得才=10或4=—2(舍去)，所求橢圓的方程為西十行=1.

34

2.已知橢圓過點(diǎn)P1,-4)和點(diǎn)Q(-13),則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

C.—+/=1D.以上都不對(duì)

25

【答案】A

【分析】設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)尸］|，-4］和點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

mx2+ny2=l(m>O,n>O,m^n),利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程.

【詳解】設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)尸［|，-4)和點(diǎn)3)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

me2+ny2=1(根〉0,〃>0,根w〃),

9k一

--m+16n-l2

代入48得，不，解得m=1,〃=卷，，所求橢圓方程為爐+乙=1.

16,0一2525

—m+9n—l

［25

類型三、定義法

1.已知△/歐的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)8(0,-4),以0,4),則頂點(diǎn)/的軌跡方程是()

xyxy

A.—+—=1(A-#0)B—+—=1(^0)

3o20203b

xyxy

C.—+—=1(^0)D.—+—=1(^r#0)

b2020b

【答案】B

【分析】看問題:求頂點(diǎn)"的軌跡方程(屬于軌跡方程問題)

想方法:求軌跡方程基本方法:

(1)待定系數(shù)法：已知曲線類型用此法；(2)定義法;

(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)；(4)直譯法(直接法)；(5)參數(shù)法。

看條件：△板'的周長(zhǎng)為20,^\AB\+\AC\+\BC\=2G,

頂點(diǎn)庾0,—4),C(0,4),則的=8,

定措施：由已知得|/引+|力。|=12>8,符合橢圓的定義，故用定義法，.

【解析】I△力及7的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)6(0,-4),。(0,4),.?.歷站=8,|力引+|4&=20-8

12,：12>8,.?.點(diǎn)/到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，，點(diǎn)/的軌跡是橢圓的一

部分，Va=6,c=4,.,.6：!=20,

22

XV

???橢圓的方程是手;+京=1(x70).

2036

2.若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)始終滿足關(guān)系式+一2)2=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

為()

A』JB1Cd，

D.-------1--------1D-

161212161216

【答案】B

【分析】由等式I4+（y+2）2++（.-2）2=8表示的幾何意義,結(jié)合相應(yīng)圓錐曲線定義

即可得解.

【詳解】因動(dòng)點(diǎn)M（x,y）滿足關(guān)系式j(luò)Y+（y+2）2+Jx2+（y-2）2=8,則該等式表示點(diǎn)

”（x,y）到兩個(gè)定點(diǎn)月（0,-2）,工（0,2）的距離的和為8,而|月產(chǎn)|=4＜8,即動(dòng)點(diǎn)/W的軌跡是

以不工為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，于是短半軸長(zhǎng)b有。2=/-22=12,所以動(dòng)點(diǎn)M的

22

軌跡方程為三+匕=1.

1216

3.若△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)5（0,-3）,C（0,3）,周長(zhǎng)為16,則第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程是

【答案】￡,24=i（-o）

【分析】根據(jù)題意可得|+|AC|=10＞\BC\=6，由橢圓的定義可知點(diǎn)A的軌跡是以8（0,-3）,

C（0,3）為焦點(diǎn)，2a=10的橢圓，去除不符合題意的點(diǎn)，進(jìn)而可得點(diǎn)A的軌跡方程.

【詳解】因?yàn)锳ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)8（0,-3）,C（0,3）,所以忸C|=6,因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為16,

^\AB\+\AC\+\BC\=16,所以|相|+|Aq=10＞忸：=6,由橢圓的定義:動(dòng)點(diǎn)A到定點(diǎn)

8（0,-3）,C（0,3）兩點(diǎn)的距離之和等于定值10,且距離之和大于兩定點(diǎn)間的距離，所以點(diǎn)A

的軌跡是以8（0,-3）,C（0,3）為焦點(diǎn)，2a=10的橢圓，所以c=3,a=5,

____________22

6=行等=4,可得橢圓的方程為：匕+土=1，又因?yàn)锳BC三點(diǎn)不共線，

2516

22

所以點(diǎn)A不能在y軸上，所以頂點(diǎn)A的軌跡方程是：^+—=1（x^0）,

2516'7

方/直弒

1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法

（1）定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定外,優(yōu)的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程

（2）待定系數(shù)法（先定位，在定量）：

若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a,b；

若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，

⑵如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為=i?＞（）,8＞（）,

2222

XVXV

（3）與橢圓一+上=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為工+士=1（4＞一如A＞—A且0.

mnm-rk〃十k

22

X2y2xV

⑷與橢圓了+了=1（，＞6＞。）有相同離心率的橢圓,可設(shè)為了+7=人（左＞。，焦點(diǎn)在X軸

K2X2

或F+R=A2（A2>0,焦點(diǎn)在y軸上）.

ab

應(yīng)國秣習(xí)辦實(shí)基勒

22后

1.已知橢圓G之+%=1@6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,%離心率為手，過用的直線/

ab3

交。于48兩點(diǎn).若的周長(zhǎng)為4/，則橢圓。的方程為（）

222

X,V

A.-+—=1B.^-+/=1

U乙O

x2y2x2y2

D—+-=1

年+『124

【答案】A

【解析】由題意及橢圓的定義知4a=4（,，所以c=l,所以6,

=2,

22

所以橢圓。的方程為a+5=1.

_22

2.過點(diǎn)（百，一逐），且與橢圓匕+土=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

259

A'。］B.

204

CJ。--1---=11D.1

164416

【答案】B

22

【分析】由題設(shè)條件設(shè)出橢圓方程當(dāng)+工1,再列出關(guān)于。2與所的方程組即可作答.

a1b2

22

【詳解】所求橢圓與橢圓家的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上,半焦距c有叢5M6,

22

設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為號(hào)+a=1S＞b＞。），于是得標(biāo)-5=16,又點(diǎn)（6，一亞）在所求橢圓上,

5353

即了+*1,聯(lián)立兩個(gè)方程得再正+涔1,即（次+—48=。，解得氏4,則42。,

22

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+土=1.

204

3、如果橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,過此焦點(diǎn)且垂直于X軸的弦的長(zhǎng)等于與，則這個(gè)橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.區(qū)+工=1B.二+匚1

9595

C。1T

?------1------=1D.

9449

【答案】B

22

【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+4~=1(。＞6〉0).把x=2代入，得/及一駕

a2b1a

由

即y=±.:過焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為3,2=W--,m

33

c=2,b2+c2=a1，

/=9,x2v2

可得1?.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

/=5,95

4.已知以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)噌，一4)和《一點(diǎn)3),則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

22

A?點(diǎn)+V=1

C.獲+/=1或注"+/=1D.以上都不對(duì)

2525

【答案】A

「9

-7/7+16/7=1,

25

【解析】設(shè)橢圓方程為版+)=1(277>0,/7>0,，貝卜解得

16,

2l切-H9〃1,

777=1,

1

n=25f

2

.??橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+1.

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用"逼近法"得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與

短軸長(zhǎng)的積.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)耳,心在y軸上，其面積為4百萬，過點(diǎn)耳的

直線/與橢圓C交于點(diǎn)A,3且△入AB的周長(zhǎng)為16,則橢圓。的方程為()

A.匚，

1631612

--------1--------二--------1--------=

【答案】A

【分析】由題中所給結(jié)論得“6=46，由△居的周長(zhǎng)為16結(jié)合橢圓定義得4a=16,進(jìn)而

可得結(jié)果.

【詳解】依題意得4x4信=（2〃）.（29,貝1]"=4百，由的周長(zhǎng)為16結(jié)合橢圓定義

71

L22

可得4〃=16,所以，=4,b=6,又橢圓焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓方程為匕+土=1.

163

22

6.過橢圓C：3+2=1（。>6>0）右焦點(diǎn)下的直線/：x-y-指=0交C于A、B兩點(diǎn)，P

為的中點(diǎn)，且OP的斜率為則橢圓C的方程為（）

x2y2x2y2x1y1x2y2

A.—+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.—+—=1

63758496

【答案】A

【分析】

由題意，可得右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)，聯(lián)立直線/與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，求出A3的中點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，由直線OP的斜率可得“，b的關(guān)系，再由橢圓中。，6,c的關(guān)系求出a,b的值，

進(jìn)而可得橢圓的方程.

【詳解】

解：直線百=0中，令y=0,可得x=VL所以右焦點(diǎn)0）,設(shè)A（玉,%）,

x-y->/3-0

B?,%），則A,B的中點(diǎn)P，聯(lián)立f>2,整理得

.LU

(a2+b2)y2+2^3b2y+3b2-a2b2=0,

所以％+%=-篝'玉+W=X+%+26=*'所以后，=崇=一5=一:'所以〃=2"'

22

又〃2=匕2+。2,02=3，所以々2=6,/=3,所以橢圓的方程為—十==1，

63

7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，

他利用〃逼近法〃得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓

c的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓c的離心率為立，面積為12萬，則橢圓c的

方程為（

--------1--------二--------1--------二--------1--------二

【答案】A

【分析】利用已知條件列出方程組，求出。，b,即可得到橢圓方程.

【詳解】

abji—Yin

由題意可得：￡=g,解得〃=48=3,因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，所以橢圓方

4

=b2+c'

22

8.（多選題）已知F為橢圓石:與+多=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)，4B為E的兩個(gè)頂點(diǎn).若

|4為=5,|瓦+3,則￡的方程為（）

【答案】ACD

【分析】

分別分析A,B為橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)的位置，從而求得參數(shù)a,b,寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

VIAF\=5>\3尸|=3僅有4種情況符合條件，即A為右頂點(diǎn)時(shí)，B為左頂點(diǎn)或上、下頂點(diǎn);

A為上頂點(diǎn)時(shí)，B為左頂點(diǎn)；

二①當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí)，8為左頂點(diǎn)，此時(shí)|4尸|=。+。=5,|3尸|=。一。=3,解得

_______22

2

a=49c=l,b=^4—1=A/15?橢圓方程為—^7+=l,故D正確；

1615

②當(dāng)4為右頂點(diǎn)時(shí)，8為上或下頂點(diǎn)，止匕時(shí)|A/q=a+c=5,|5歹|=，=3,解得

_________22

a=3,c=2,b=y/i2—22=y/5?橢圓方程為石~+1~=1,故A正確；

③Z為上頂點(diǎn)時(shí)，8為左頂點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)|A尸|=々=5,|5尸|=a—。=3,解得

_________22

a=5,c=2,b=V52—22=>/21，橢圓方程為--1-=1>故C正確；

2521

9.（多選題）橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于10,則橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】AD

【分析】根據(jù)橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于10,結(jié)合橢圓的

性質(zhì)列方程求出:，討論焦點(diǎn)位置后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.

[b=4

2c+2a—4b

【詳解】設(shè)橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c,2b,2a.由條件得：2〃=10.解

a2=b2+c2

〃二5

得:

b=4

若焦點(diǎn)在橫軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1+1=1,若焦點(diǎn)在縱軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

2516

--------1--------—1,

1625

10.(多選題)點(diǎn)B為橢圓c的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)尸，使得/月尸工=90。，則

橢圓C的