人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)必殺技第一章空間向量與立體幾何14用空間向量研究夾角問題（含答案解析）

人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)必殺技第一章空間向量

與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用142用空間向量研究距離、

夾角問題課時(shí)2用空間向量研究夾角問題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)四邊形ABCD,ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)AJ_平面ABCD,則異面直線AC

與BF的夾角等于（）

A.45°B.30°

C.90°D.60°

2.如圖，在長方體ABC。-AB。,中,M,N分別是棱BBi，81cl的中點(diǎn)，若NCM290。,

則異面直線AD\和DM所成角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.在直三棱柱ABC—A5G中，明=24片=2片&,且AB_L8C,點(diǎn)M是AG的中點(diǎn),

則異面直線MB與4A所成角的余弦值為（）

A.-B,C.—D.-

3342

4.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AQGA中，E為CG的中點(diǎn)，則直線AB與平

面8OE的夾角為（)

5.如圖，平面ABCDJ_平面ABEF,四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形,

且AF=gAD=a,G是EF的中點(diǎn)，則GB與平面AGC所成角的正弦值為（）

6.如圖，正方體ABC。-A,8cA中，E,尸分別是8片和。。的中點(diǎn)，則平面比戶與

平面A8CD所成的角的余弦值為（）

7.在正方體ABCO-ABGA中，平面A3。與C/。所成二面角的余弦值為（）

A.yB.在C.-D.@

2233

8.如圖，在正三棱柱ABC-ABg中，若4A=75^4，則4片與BQ所成角的大小為

).

試卷第2頁，總8頁

A,Ci

B

A.60°B.90°C.105°D.75°

9.在正方體ABC。-A81GA中，E,尸分別為AB,G"的中點(diǎn)，則A片與平面A/尸

所成的角的正弦值為（）

A*BTC-TDY

10.在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為（0,-1,3）,（2,2,4）,

則這個(gè)二面角的余弦值為（）

人乎B?岑C.半D.±f

11.在長方體ABCO—44GR中，AB=BC=lfM=2,E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則直

線AE與平面AER所成角的大小是（）

A.60B.90C.45。D.以上都不對(duì)

12.如圖所示，在四面體?一ABC中，PCJ?平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二

面角8—AP—C的余弦值為（）

A.@B.3C.且D.-

2377

13.如圖，在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中,四棱柱為長方體，

A4,=AB=2A。，點(diǎn)七，尸分別為GA，48的中點(diǎn)，則二面角片-人田-七的余弦值

為（)

14.如圖所示，ABCD-AIBICDI是棱長為6的正方體，E,F分別是棱AB,BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.當(dāng)A”E,F.Ci共面時(shí)，平面AiDE與平面CiDF所成二面角的余

AGR1「1n2展

A.B.-C.-D.--------

2255

15.如圖所示，M,N是直角梯形ABC。兩腰的中點(diǎn)，?！阓145于點(diǎn)七，現(xiàn)將△ADE沿

DE折起，使二面角A-OE-B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面3cDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)8,則M,

N的連線與AE所成的角的大小為（）

A.45°B.90°C.135°D.180°

一一27r

16.設(shè)直線/與平面〃相交，且/的方向向量為3,a的法向量為〃，若

則/與。所成的角為（）

27r八?！肛?57r

A.—B.-C.-D.—

3366

17.三棱錐中，平面ABD與平面8。的法向量分別為I，兀,若后＞=?，

則二面角4一班）一。的大小為（）

試卷第4頁，總8頁

C.冢與D.就《

二、填空題

18.正方形A8CO所在平面與正方形所在平面成60°的二面角，則異面直線A。與

BF所成的角的余弦值是.

19.在長方體中，AB=2,BC=A4,=1,則"G與平面A^G所成角

的正弦值為.

20.在空間直角坐標(biāo)系。-型中，已知A(l,-2,0),8(2,1,#),則向量而與平面X。的

法向量的夾角的正弦值為.

21.在正四棱錐S-A5C。中，。為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且

SO=OD,則直線6C與平面FAC所成的角是.

22.在正三棱柱48C-A4G中，各棱長都相等，E為84的中點(diǎn)，則平面AEC與平面

ABC的夾角為.

23.已知正四楂柱ABC?！狝4G。中，M=2AB,E為4A中點(diǎn)，則異面直線8E與

所形成角的余弦值為.

24.已知正三棱柱ABC-A4G的所有棱長都相等，則AG與平面34CC所成角的余弦

值為.

25.正三棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為2:3,則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二

面角的大小為.

26.設(shè)平面48c的一個(gè)法向量為正=(1,1,0),平面說的一個(gè)法向量為3=(1,

則二面角C-AB-O的大小為.

三、解答題

27.如圖，在棱長為。的正方體中，求異面直線§4和AC所成的角.

28.如圖，在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=Z.ACB=90°，AC=2fBC=屈,

SB二回.

（1）求證：SCLBCx

（2）求SC與AB所成的角的余弦值.

29.如圖，在直三棱柱A8O—中，0。=。4=4,OB=3,乙4。8=90=。是線

段40的中點(diǎn)，P是側(cè)棱上的一點(diǎn).若OPJ_BO,試求：

（1）OP與底面A05的夾角的正切值；

（2）也）與側(cè)面400W的夾角的正弦值.

30.如圖所示，在三棱錐S-ABC中，。為8c的中點(diǎn)，SO_L平面46C,側(cè)面SA6與1sAe

均為等邊三角形，N84c=90,求二面角A-SC-8的余弦值.

試卷第6頁，總8頁

31.已知AABC中，zc=90SSA_L平面46C,且4c=2,BC=A,S8=后，

求異面直線CS與AB所成角的余弦值.

32.在平面四邊形A8CD中，AB=BD=CD=ltAB工BD,CDkBD,將AABD沿3。

折起，使得平面A3Q_L平面SCO,如圖.

(1)求證：AB1CD,

(2)若M為AO中點(diǎn)，求直線AO與平面M8C所成角的正弦值.

33.如圖所示，在三棱錐△尸4。中，平面48。，BA=BQ=BP,￡>C￡尸分別

是4Q/Q,AP/P的中點(diǎn)，AQ=2BD,P。與EQ交于G,PC與尸Q交于點(diǎn)“，連接G”.

(I)求證：AB//GH；

(II)求二面角。―GH—E的余弦值.

34.如圖，在直三棱柱中A4G-ABC中，AB1AC,AB=AC=2,M=4,點(diǎn)D是BC

的中點(diǎn).

(1)求異面直線與G。所成角的余弦值;

(2)求平面AQG與A8A所成二面角的正弦值.

試卷第8頁，總8頁

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參考答案

I.D

【分析】

以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BE所在直線為z軸建立空間宜角

坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線AC與BF的夾角.

【詳解】

以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BE所在直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖

則A(IQO),C(O,1,O),F(1,O,1),所以而=(-1,1,0),=(1,0,1).

ACBF]

所以cos(AC，昉〉=同研5?所以〈AC,赤）=120。.所以AC與BF的夾角為

60°.

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

（1）本題主要考查利用向量法求異面直線所成的角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水

平和分析推理計(jì)算能力.（2）異面直線所成的角的求法方法一：（幾何法）找一作（平移法、

補(bǔ)形法）一證（定義）一指一求（解三角形），方法二：（向量法）cosa二%，其中。是

m

異面直線所成的角，加G分別是直線小〃的方向向量.

2.D

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合NCMV=90。，求出的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求.

答案第1頁，總29頁

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【詳解】

以R為坐標(biāo)原點(diǎn),qA，RG，DQ所在直線分別為用y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,

設(shè)AA=a,AG=b,A。=C,則C(0,b,c),M(a,b,|),N(|,b,0),A30,c),0(0,0,c),

CM=(a,0,-]),麗=(-|,0,-|),DA7=(a^,-]),麗=(a,0,c)

因?yàn)镹CMN=90。,所以兩.旃=0,即有/=2a2.

因?yàn)槲?瓦7=/-9=/一/=0,所以。知《14。,即異面直線4。和0加所成角為90。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線所成角的求解，異面直線所成角主要利用幾何法和向量法，幾何法側(cè)

重于把異面直線所成角平移到同一個(gè)三角形內(nèi)，結(jié)合三角形知識(shí)求解；向量法側(cè)重于構(gòu)建坐

標(biāo)系，利用向量夾角公式求解.

3.B

【分析】

以B為原點(diǎn)，區(qū)4為X軸，BC為J軸，B同為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得

麗=13'-1'一￡|'福=(°，？°%利用空間向量夾角余弦公式能求出異面直線須與人A

所成角的余弦值.

【詳解】

???在直三棱柱ABC-A與G中，"=24,用=2禺G，且AB_LBC,點(diǎn)M是AC，

「?以口為原點(diǎn)，區(qū)4為x軸，8C為)，軸，8片為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A4,=2人4=24。1=2,

答案第2頁，總29頁

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則3(0,0,0),A。,0,0),4,(1,0,2),

麗=卜"1,一力，麗=(0,0,2),

設(shè)異面直線MB與4A所成角為0,

福?羽42及

則cos。

畫|麗「心2一3，

?.異面直線也與AA所成角的余弦值為乎‘故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題.求異面直線所成的角主要方法有

兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向

向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線

等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

4.B

【分析】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，麗，DC，西分別為x軸、了軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求

出4/以及平面瓦圮的一個(gè)法向量，即可根據(jù)向量關(guān)系求出.

【詳解】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA，DC,西分別為不軸、＞軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則以0,0,0),41,0,0),A(l,0,l),

ADB=(1J,O),詼=(0,用，質(zhì)=(0,1,一1)，

設(shè)平面6OE的一個(gè)法向量H=(x,y，z),

,ln.DB=ofx+y=o

則nLk八，n即n｛IC，

n-DE=0y+—z=0

令x=l,則y=-Lz=2,

所以平面80E的一個(gè)法向量”=(1,-1,2),

???甌=(0,-1,1),

答案第3頁，總29頁

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:.cos<BAy.n>=^-y=-=—,<BAvn>e[0,^],

<BA,n>=—,

6

???直線AB與平面BOE的夾角為:.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面夾角的求法，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決是常用方法.

5.C

【解析】

如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

“Z

D-----------

/GE

則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),AG==(a,a,0),AC=(0,2a,2a),BG

=(a,—a,0),BC=(0,0,2a),

設(shè)平面AGC的法向量為m=(xi,yi.l),

由｛竺「。上.嗝=叱“

AC/=O麟帶警幽=幽),】=一1

BG,%2a76

皿|響?同國義63

6.B

【分析】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，可的方向分別為x軸、)葉由、z軸的正方向建立空間直角

答案第4頁，總29頁

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坐標(biāo)系，求出平面ECF的一個(gè)法向量與平面A8CD的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積

即可求解.

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，而，麗的方向

分別為x軸、》軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為2,則AQO,O),E(2,0,l),尸(0,2,1),C(2,2,0),

ACE=(0,-2J),CF=(-2,0,1).

???平面ECr的一個(gè)法向量為討=(112).

設(shè)平面ECF與平面ABCD的夾角為0.

???麗=(0,0,1)是平面A8CD的一個(gè)法向量,

網(wǎng)八|2|屈

:.COS0=|cos(而,n)|=1.IJ.=廣、廠=—

同.忖71x763

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量法求二面角，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【分析】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、了軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面ABO與CQD的法向量，根據(jù)向量的夾角余弦公式即可求出.

【詳解】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、5軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1,則汞離=(-1,單)，而=(1,1,0),函=(0,1,1),

答案第5頁，總29頁

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，而?麗=0,而.西=0,猬?函=0,猬.麗=0,

，UUU

???a。和AG分別是平面。田。和平面4以）的法向量，

又cos<R,而>=g,結(jié)合圖形可知平面A3。與平面CBO所成二面角的余弦值為g.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二面角的余弦值的求法，建立空間坐標(biāo)系，利用向量求解是常用方法.

8.B

【分析】

聯(lián)結(jié)3c交8G于尸點(diǎn)，取4C的中點(diǎn)￡聯(lián)結(jié)石戶，BE,A片與8G所成角即"與BG所

成角；設(shè)BB產(chǎn)a,分別求得BF,EF,BE的長，從而求得夾角.

【詳解】

聯(lián)結(jié)耳。交SC；于尸點(diǎn)，取4C的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)七凡BE,

則在正三棱柱ABC-ABC中，EF//AB,,

故A用與BC、所成角即EF與BG所成角，

答案第6頁，總29頁

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設(shè)=a,則A8=>/2a?BF=—BC.—a,

22

s1AR&Rh6E正

21222

則在三角形8EF中，滿足BF?+EF2=BE2,

故N8氏E=90,即A片與8G所成角為90

故選：B

9.B

【分析】

首先設(shè)正方體的棱長為1,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,DC,。烏分別為X,y,Z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求線面角即可.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長為1,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,分別為x,y,Z軸,

則4(1,0,1),EH,1,oLFfol2.ll4(1,1,1),

2

所以病=（0,1,0）,m=（o］，T），

設(shè)平面A.EF的法向量為萬=（x,y,z）,

___1

n-AiE=—y-z=0

2],令y=2,則;;=(1,2,1),

則

=-x+—y=0

2國

設(shè)A4與平面所成的角為。，則sin。麗旭飛

答案第7頁，總29頁

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即A用與平面\EF所成的角的正弦值為遺.

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量法求線面角，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于簡單題.

10.D

【分析】

直接求出這兩個(gè)向量夾角的余弦值即為二面角的余弦值的絕對(duì)值.

【詳解】

設(shè)這兩個(gè)向量分別為2=(0,-1,3)^=(2,2,4),

由題可知，這兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角余弦值的絕對(duì)值,

:.ab=0x2+(-l)x2+3x4=10,

同=Jo?+(.+32=回，|5|=^22+22+42=276,

\cos<)x廠=叵,

V10x2V66

，這個(gè)二面角的余弦值為姮或-姮.

66

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量法求二面角的余弦值，注意因?yàn)橄蛄糠较虻脑?，在取結(jié)果的時(shí)候要考慮

有兩種情況.

II.B

【解析】

分析：由題意結(jié)合幾何體的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可知：AE=AiE=yj2r則從爐+人爐二斗天，故AE_LA|E,

ABCD-ABCR為長方體,則AR_L平面ABB4,

由線面垂直的定義可知：A,D,1AE,且ARCAE=A，

故平面ARE,即直線AE與平面AER所成角的大小是90.

本題選擇B選項(xiàng).

答案第8頁，總29頁

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點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的判定定理，直線與平面所成的角的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

12.C

【分析】

本題首先可作BDLAP于點(diǎn)、D以及作CE_LAP于點(diǎn)E,然后通過覺=麗+瓦+配求出

?------^C^BD

ECBD=--,最后根據(jù)8s（加）,比〉二同咽可以及二面角B-AP-C為銳二面角即可得

出結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，作瓦＞_L"于點(diǎn)。，作CEJ.A尸于點(diǎn)E,

設(shè)AB=1,則易得CE=￥，EP=與，PA=PB=6.，

可以求得5。=巫，ED=顯.

44

因?yàn)榕?麗+屁+反，

=BD2+DE2+EC2+2fiDD￡+2DEEC+2EC-5D?

ECBD_幣

則反.而=——cos(BD,EC)==

4\EC[\BD\~~

因?yàn)槎娼?—AP—C為銳二面憑，

所以二面角3-AP-C的余弦值為且，

7

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二面角的余弦值的求法，考查向量的數(shù)量積公式的靈活應(yīng)用，考查向量加法法則的

幾何應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.

答案第9頁，總29頁

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13.C

【分析】

根據(jù)四棱柱ABC。—A4GA為長方體，令M=A8=24O=2,可確定四、B、E、尸的

坐標(biāo)，再由二面角四-48-￡中，找到平面A8E、平面A4B的法向量，由法向量夾角與

二面角的關(guān)系即可求余弦值

【詳解】

設(shè)AZ)=1,則A(l,0,2),3(120)

?；E,"分別為G",AB的中點(diǎn)

/.E(0,l,2),尸(1,1,1),即率二(—1,1,0),=(0,2,-2)

[A￡-/w=0f—x+y=0

設(shè)所=(x,y,z)是平面ABE的法向量，貝IJI一即:八

[AB?m=0[2y-2z=Q

取x=l,則y=z=l,即有平面ABE的一個(gè)法向量為比=(1,1,1)

又D4_L平面AB】B，即礪=(1,0,0)是平面AB】B的一個(gè)法向量

和DA

（所，DA）=

/.cos|同|函一耳-，又二面角四-A8-E為銳二面角

??二面角片一.一七的余弦值為宇

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用空間向量求二面角的余弦值，首先由線段間的等量關(guān)系設(shè)值定點(diǎn)，進(jìn)而找到

對(duì)應(yīng)二面角中兩個(gè)面的方向量坐標(biāo)表示，最后由法向量夾角與二面角的關(guān)系求二面角余弦值

14.B

【詳解】

以D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

易知當(dāng)E(6,3,0)、F(3,6,0)時(shí)，Ai、E、F、Ci共面，

設(shè)平面AiDE的法向量為/；=(a,b,c),依題意得

答案第10頁，總29頁

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同理可得平面CiDF的一個(gè)法向量為記=(2,-1,1),

inn2+2-11

故平面AiDE與平面CiDF所成二面角的余弦值為瓦R==2.

【分析】

首先根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出邊長，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量的坐標(biāo)，利

用向量數(shù)量積等于零,得到兩向量的夾角為90,進(jìn)而得到異面直線所成角的大小.

【詳解】

建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:

由題意知為等腰直角三角形.

設(shè)CD=1,則BE=1,AB=\,AE=@

設(shè)BC=DE=2a,則E(0,0,0),A(l,0,l),N(l,a,0),。(0,2%0),

所以麗=AE=(-l,0,-l),

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所以麗?胡二次6?(-1,0,-1)=0.故通_1_麗,

從而MN與4E所成的角為90°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用空間向量求異面直線所成角，屬

于簡單題目.

16.C

【分析】

根據(jù)<〃一,一〃>=胃2冗以及線面角的范圍可知/與法向量所在直線所成角為T玄T，即可求出/與。所

成的角.

【詳解】

?.?線面角的范圍是［0,yb，<￡,?>=笄，

，/與法向量所在直線所成角為

?"與。所成的角為夕.

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面角的求法，考查了空間向量所成角與線面角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

17.C

【分析】

利用法向量和平面垂直的關(guān)系可得兩個(gè)法向量所成角與二面角相等或者互補(bǔ)，從而可求.

【詳解】

因?yàn)榉ㄏ蛄亢推矫娲怪保苑ㄏ蛄克山桥c二面角相等或者互補(bǔ)，

由于從圖形中無法判定二面角A-8。-C是銳角還是鈍角，

所以二面角A-80-C的大小為g或子.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查法向量夾角與二面角之間的關(guān)系，明確兩個(gè)法向量所成角與二面角相等或者互

補(bǔ)是求解關(guān)鍵.

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18.立

4

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出而和航，利用向量關(guān)系求出所成角的余弦值.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1,則4000),,建1,0,0),W1,0),

DAAAB,FAAAB,則N￡)A尸是平面A8C￡)和平面AB"所成二面角,

即ND4"=60,且。在x4z平面上，

AD=,BF=?

./______\4D-BF另+0+0>/2

KG吁研二標(biāo)=7

???異面直線40與8尸所成的角的余弦值是也.

4

故答案為：也.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角的求法，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決是常用方法.

叫

【詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-m，

則A(0,0,D,C,(0,2,1),A(l，0，l)，8(1,2,0),

所以扇=(0,2,0),設(shè)平面ABG的一個(gè)法向量為五=(X,y,Z),

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由題可得無碼=("z)?(T2,0)=r+2尸0

[小AB=(x,y,z)(0,2,—l)=2y-z=0

令￥=1，可得G=(2J2),

設(shè)D￡與平面A8G所成角為。，

則sin'=H際訃儒計(jì)

故直線D￡與平面A.BC,所成角的正弦值為1.

20,五

4

【分析】

首先根據(jù)題意得到平面X。的法向量為后二(0J0)和麗=(1,3,76),再利用向量夾角公式計(jì)

算即可得到答案.

【詳解】

平面xOz的一個(gè)法向量為?=(0,1,0),AB=(1,3,x/6),

所以8ss叫二福二

?.,(爪福)e[0,/r],

"sin(萬,而)=,-(()=?.

故答案為：也

4

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【點(diǎn)睛】

木題主要考查空間向量的夾角公式，熟記公式為解題關(guān)鍵，屬于簡單題.

21.30°

【詳解】

如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)OO=SO=Q4=OB=OC=a(a>0),

則A(a,0,0),8(0,?0),C(-a,0,0),2(0,一垓￡).

則存=(2a,0,0),而=(一〃,4令,而=3,a,0).

設(shè)平面心。的法向量為九則1_L而

2or=0

即，aac，得x=0，令￥=1,則z=l

-ax——y+—z=0

x2

.i=(0,1,1),

則cos<CB、n>=S?J=f-。f-=—.

\CB\\n\y/2-yf2a2

A<CByn>=60°.

工直線BC與平面B4C所成的角為90。-60。=30。.

故答案為：30°.

222

?6

【分析】

首先設(shè)正三棱柱的棱長為2,以AC中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,。8分別為大軸，)，軸，4C的

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垂直平分線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求二面角即可.

【詳解】

設(shè)正三棱柱的棱長為2,以AC中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,08分別為丫軸，y軸,

AC的垂直平分線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A=(l,0,0),C=(-l,0,0),8=僅,石,0),E=(0,73,1),

nil__

AC=(-20,0)，AE=(-1,V3,1).

設(shè)平面AEC的法向量為〃1=(x,y,z),

則仁一，令2=6,得々=(O,TG.

n,AE=-x+j3ry+z=0'7

111

平面ABC的一個(gè)法向量為巧=(0,0,1),

則8s何小麗二三

所以(雇E)=2,故平面詆與平面ABC的夾角為2

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量法求二面角，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，數(shù)簡單題.

23.3屈

10

【詳解】

如圖：

答案第16頁，總29頁

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連結(jié)器布，則舞*葩，所以以邯毅即為異面直線器舞與北&所成角，設(shè)或抖，-L則戌樂-，口，

式氐資舞J/13—修一蟾,揖船一%好+?建_圾,感潛一1由余弦定理得

=訃1L=海須

二丟舛遇匕魚總°F-

24.叵

4

【分析】

取8C的中點(diǎn)E,連接CE,AE,證明他，面8瓦￡C,可得NAgE就是AQ與平面8片。。

所成的角，解直角三角形AGE即可.

【詳解】

如上圖，取8C的中點(diǎn)E,連接CE，AE,則AE_LBC,

???正三棱柱ABC-A81G中，面ABCJL面BBCC，面ABC。面BB￡C=BC,

.*.4￡_1_面88℃,

??.NAGE就是AG與平面BB￡C所成的角,

不妨設(shè)正三棱柱48C-A8c的所有棱長都為2,則。盧二石，AC,=2>/2,

在R/AAGE中，cosZAC,E=-^=^=—.

4G2夜4

答案第17頁，總29頁

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故答案為：叵.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于常考題.

25.60

【分析】

由題意作出正三棱錐S-ABC,設(shè)O為底面AABC的中心，過S作SE_LAB交48于點(diǎn)E,連

接EO,可得NSE。為側(cè)面和底面所成二面角的平面角，由條件沁=；,得出博=2,從

SJBC3\OE\

而得出答案.

【詳解】

如圖在正三棱錐S—A3C中，設(shè)0為底面AABC的中心，連接S。,則SOJ?平面48c.

過S作SEJ_AB交A8于點(diǎn)及連接E0

則S0_L45,又SE_LAB,且SEcSO=S，所以AB_L平面SEO

則OE_LA&所以ZSEO為側(cè)面和底面所成二面角的平面角.

在正三角形△血;中，。為中心，山蛇=5市+5e5℃=3508=小訓(xùn)。目

由條件有2二?陰陽q可得品=2

S皿華陽.|。目3\OE\

\EO\1

在直角三角形SOE中，COSZS￡O=L1=-

所以NSEO=60。

故答案為：60。

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的線面關(guān)系，正三棱錐的側(cè)面面積與底面積的關(guān)系，考查二面角，屬于中檔

題.

答案第18頁，總29頁

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26.60'或120°

【分析】

利用空間向量二面角公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

:.(6,〃?)=60°或120'.

即二面角C-AB-。的大小為60°或120'.

故答案為：60“或120°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量法求解二面角問題,屬干簡單題.

27.60°

【分析】

分別以DA,DC,。。所在的直線為％軸、5軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

棱長為4，用向量表示出可和衣，利用向量關(guān)系求出所成角的余弦值.

【詳解】

分別以DA,DC,。口所在的直線為x軸、)，軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(〃,0,0),a,0),C(0,a,0),A(a,0,a),所以對(duì)=(0,-a,〃)，AC=(-d,d,0),

答案第19頁，總29頁

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又＜甌，*＞w[0°,180°],所以＜甌，前＞=120°.

所以異面直線BA和AC所成的角為60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角的求法，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解決是常用方法.

28.(1)證明見解析；(2)叵.

17

【分析】

(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，垂直于A8的直線為x軸，AB,AS所在直線分別為y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，求出豆，西，只需證明豆.而=0即可；

SCAB

(2)分別求出豆，而，利用cosa=求出即可.

\SC\-\AB\

【詳解】

(1)證明:如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，垂直于48的直線為x軸，AB,AS所在直線分別為)'軸、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

[134

則由AC=2,BC=9,54=廊，得8(0,折,0),5(0,0,25/3),C

?*SCCB=0,-SCICB，即5cll8C；

(2)設(shè)SC與AB所成的角為a,

麻4、

VAB=(0,717,0),5C=，-20

豆而=4，由II而|=4而,

答案第20頁，總29頁

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sc-AB二叵

cosa=

\SC\\AB\

，SC與A8所成的角的余弦值為近.

17

【點(diǎn)睛】

本題考查用向量法證明空間中直線與直線垂直，異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.

29.(1)：；(2)也L

889

【分析】

(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，確定點(diǎn)尸的位置，根據(jù)線面角的平面角

的定義，確定出/POB是0P與底面A08的夾角，求得正切值，得到結(jié)果；

(2)求得平面AOGA的的法向量為麗=(3,0,0),求得cos〈麗，麗)=嚕^,進(jìn)而得到BO

與側(cè)面AOOA的夾角的正弦值.

【詳解】

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，得3(3,0,0),。((2'4]

設(shè)P(3,0,z),貝ijB。=(一5,2,4),OP=(3,0,z).

-----------99

*：BD1OP,：.BDOP=一一+0+4z=0,解得z=一.

28

???中。5

(1)???88_1_平面A03,JN汽出是。尸與底面A08的夾角.

9

**tan/P0B=&=3

38

:.OP與底面AOB的夾角的正切值是J

O

(2)=(3,0,0),且0B1平面AOO7V,

答案第21頁，總29頁

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:.平面AOOA的一個(gè)法向量為0B=(3,0,0).又???麗=-2,-4

_____39

：.OBDB=3x-+Ox(-2)+Ox(-4)=-,

22

又?.」而|=3,|Dfi|=jfj'l+(-2)2+(—4產(chǎn)=當(dāng)，

9

\OB\\DB\°屈89

3x-----

2

???8。與側(cè)面A0O4的夾角的正弦值為巫.

89

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用空間向量求線面角，屬于簡單題

目.

30.3

3

【分析】

證明出OA_LBC,然后以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA、QS所在直線分別為x、＞\z軸建

立空間直角坐標(biāo)系。-個(gè)z,取SC的中點(diǎn)M,證明出OMJ.SC,AM1SC,可得出

＜MO,MA＞為二面角A-SC-6的平面角，利用空間向量法求解即可.

【詳解】

因?yàn)锳SAB與ASAC均為等邊三角形，所以A3=5A=AC.

連接。4,丁。為BC的中點(diǎn)，則O4_L8c.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、。4、所在宜線分別為X、N、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一町2.

設(shè)06=1,則30,0,0),C(-l,0,0),A(0,l,0),S(0,0,l).

八z

S

設(shè)SC的中點(diǎn)為M,則

答案第22頁，總29頁

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，桶=（；/,_：

連接QM、AM，故被=SC=(-1,O,-1),

所以麗?豆=0，M4SC=0，所以MO_LSC,MA1SC,

故＜麗,正＞為二面角4-5。一3的平面角.

777^T77MO-MA￡

因?yàn)?S＜MO,AM＞=甌憫=?’

所以二面角A—SC-8的余弦值為由.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查利用空間向量法計(jì)算二面角的余弦值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

31.叵

17

【分析】

以AC,AS所在直線為x軸，z軸，在平面ABC內(nèi)作過A且垂直于AC的直線為）'軸，建

CSAB

立空間直角坐標(biāo)系，求出麗，而，即可根據(jù)cos＜麗，而＞=求出.

\CS\\AB\

【詳解】

如圖所示，分別以AC,/所在直線為工軸，z軸，在平面ABC內(nèi)作過A且垂直于AC的

直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(2,0