蘇科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊1.6 解一元二次方程（公式法與因式分解法）（專項練習(xí)）（含答案）

專題1.6解一元二次方程（公式法與因式分解法）（專項練習(xí)）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·河北石家莊·二模）已知一元二次方程的兩根分別為，，則這個方程不可能為（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級下·廣西梧州·期中）解關(guān)于的方程得（

）A．， B．，C．， D．，3．（23-24九年級上·福建漳州·期中）用公式法解方程，所得解正確的是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）下列一元二次方程最適合用因式分解來解的是()A． B．C． D．5．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在中，于點E，，，且a是一元二次方程的根，則的周長為（

）A． B． C．10 D．6．（23-24九年級上·河南開封·期末）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．7．（23-24八年級下·四川內(nèi)江·期中）若分式方程有增根，則a的值是（

）A．1 B．3 C． D．8．（2024·浙江杭州·一模）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“※”，其運算規(guī)則為．根據(jù)這個規(guī)則，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或9．（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知是一元二次方程較大的根，則下面對的估計正確的是A． B． C． D．10．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）如圖，已知點，點在軸正半軸上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到線段，若點的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．1二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．方程的解是．12．（2024·江西九江·二模）若關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則另一個根為．13．（23-24八年級上·上海青浦·期中）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．14．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）己知，求代數(shù)式．15．（23-24八年級下·山東泰安·期中）已知三角形的兩邊長分別是5和8，第三邊的長是一元二次方程的一個實數(shù)根，則該三角形的周長是．16．（22-23九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，點C在線段上，D在線段上，且，，，若則的長為．17．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）已知x為實數(shù)，若，則．18．（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，已知矩形，，，為邊上一點，，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿著邊向終點運動，連接，設(shè)點運動的時間為秒，則當(dāng)?shù)闹禐闀r，是以為腰的等腰三角形．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24八年級下·福建福州·階段練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．20．（8分）（2024八年級下·江蘇無錫·專題練習(xí)）（1）解方程：．（2）解分式方程：；21．（10分）（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）先化簡，再求代數(shù)式的值：，其中a滿足方程22．（10分）（23-24九年級下·山東煙臺·期中）用指定的方法解方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）(3)（用因式分解法）(4)（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?3．（10分）（2024·安徽六安·三模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第3行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和．圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，……，我們把第1個數(shù)記為，第2個數(shù)記為，第3個數(shù)記為，……，第n個數(shù)記為．

（1）根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律，，（2）這列數(shù)中有66這個數(shù)嗎？如果有，求n；如果沒有，請說明理由．24．（12分）（23-24八年級下·上海奉賢·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸和y軸分別交于點B、C，與直線相交于點A．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）已知點P在線段上．①若點P是的中點，求線段的長度；②點D在直線上，點H在x軸上，當(dāng)四邊形是正方形時，求點P的坐標(biāo)．參考答案：1．D【分析】本題考查了一元二次方程的根，分別求出各選項中方程的根，然后再根據(jù)一元二次方程的根的定義進行判斷即可得到答案.【詳解】解：A、，解得：，，符合題意；B、，解得：，，不符合題意；C、，解得：，，不符合題意；D、，解得：，，不符合題意；故選：D.2．B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用因式分解法求解即可．直接運用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，或，，．故選B．3．A【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法；因此此題可根據(jù)公式法求解方程．【詳解】解：∴，∴，∴；故選A．4．B【分析】本題主要考查解一元二次方程根據(jù)解一元二次方程的方法直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適的方法，進行判斷即可．【詳解】解：A.適合用直接開平方法，符合題意；B.，適合用因式分解法，符合題意；C.適合用公式法，符合題意；

D.適合用配方法法，符合題意；故選：B．5．A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．先解方程求得，再根據(jù)勾股定理求得，從而計算出的周長即可．【詳解】解：是一元二次方程的根，，即，解得，或（不合題意，舍去）．∴，，在中，，，的周長．故選：A．6．C【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于熟知關(guān)于一元二次方程若有解，則其解為．【詳解】解：由題意得：，，，∴該方程為，故選：．7．B【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過程中，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計算即可求出的值．【詳解】解：去分母得：，分式方程有增根，，，把代入，得，，經(jīng)檢驗：時分式方程有增根，符合題意．故選B．8．C【分析】根據(jù)新定義，列出常規(guī)式的方程，解答即可．本題考查了新定義的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解定義，建立方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴，整理，得，解得或，故選C．9．C【分析】先用公式法求出兩個解，再觀察可知，較大解中包含，最后利用的范圍，求出解的范圍．【詳解】解：∵一元二次方程的解為：，∴較大的根為：，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的解法和無理數(shù)取值范圍，正確代入公式計算是關(guān)鍵．10．A【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，先證明，設(shè)，再建立方程組解題即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，設(shè)，∴，由①得：③，把③代入②得：，∴，∴，解得：，（經(jīng)檢驗負(fù)根舍去）；故選A11．，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵．把方程化為，再利用因式分解的方法解方程即可．【詳解】解：∵，，，或，解得：．故答案為：，．12．【分析】此題考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含義先求解，再解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根為，∴，解得：，∴原方程為，∴，解得：，；故答案為：13．【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根據(jù)題目中所說的方法進行分解因式即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握求方程的根再分解因式的方法．【詳解】解：令，解得：，，∴，故答案為：．14．或【分析】本題考查了解一元二次方程，求代數(shù)式的值；由已知消去字母a，得到關(guān)于b的一元二次方程，解之求得b的值，即可求得a的值，從而求得結(jié)果．【詳解】解：由得：，代入中，整理得，解得：，對應(yīng)地：；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上，代數(shù)式的值為或；故答案為：或．15．【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形的三邊關(guān)系，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三邊關(guān)系判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：，∴或，解得：，當(dāng)時，∵，∴不能構(gòu)成三角形，∴不合題意，舍去，當(dāng)時，∵，∴能構(gòu)成三角形，此時該三角形的周長是，故答案為：．16．【分析】根據(jù)，有，再根據(jù)，可得，即，解方程即可求解，問題隨之得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到關(guān)于的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．17．1【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解該方程求得y的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，整理，得．所以或．解得或．當(dāng)時，，此時該方程無解，故舍去．綜上所述，．故答案為：1．18．或【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，求出，，由勾股定理求出，，分為兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，求出即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，，由勾股定理得：，過作于，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，由勾股定理得：，①當(dāng)時，，解得：，，∵不符合題意，舍去；②當(dāng)時，，解得：，即當(dāng)?shù)闹禐榛驎r，是以為腰的等腰三角形，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知識點，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．19．(1)，(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：整理得：，，∴，．（2），或，解得：，．20．（1），；（2）【分析】本題主要考查解一元二次方程，分式方程，熟練掌握一元二次方程和分式方程的解法是解題的關(guān)鍵，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進行檢驗即可得．【詳解】解：（1）(∴或，解得：，．（2）去分母得，解得檢驗：將代入∴原方程的解為．21．，時，原式；時，原式【分析】本題考查分式的化簡求值，解一元二次方程，先根據(jù)分式的混合運算法則，進行化簡，再求出方程的解，將方程的解代入求解即可【詳解】解：原式；∵，∴，或，∴原式，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式．22．(1)，(2)(3)(4)【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用配方法解方程，先移項再配方，然后開方即可作答．（2）先化為一般式，再根據(jù)算出，以及代入進行化簡，即可作答．（3）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進行解出的值，即可作答．（4）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進行解出的值，即可作答．【詳解】（1）解：移項，得配方，得，即∴解得，；（2）解：∴解得；（3）解：則解得；（4）解：∴解得．23．(1)45，(2)有66這個數(shù)，是第11個數(shù)，理由見解析．【分析】本題主要考查找規(guī)律和解一元二次方程：（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾項，從而可以數(shù)字的變化特點，然后即可得到的值；（2）當(dāng)時，得一元二次方程，求解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，，，，，…，∴，∴當(dāng)時，，故答案為：45；；（2）解：當(dāng)時，即：