3.4.1相似三角形的判定課件九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

3.4相似三角形的判定與性質(zhì)第1課時(shí)

相似三角形的判定知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理11.

定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.深度理解“與其他兩邊相交”是指與其他兩邊所在直線相交.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.4-1，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.2.

作用：本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.特別提醒◆書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.◆根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE，圖3.4-1①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖3.4-1③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).[母題教材P78例2]如圖3.4-2所示，已知在?

ABCD中，E為AB延長線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.解題秘方：緊扣“平行線截三角形相似的兩種基本圖形：‘A’型和‘X’型”進(jìn)行查找.例1

感悟新知1-1.

[期末·婁底]如圖，在平行四邊形ABCD中，E

是AB

邊延長線上一點(diǎn)，連接DE，交AC

于點(diǎn)G，交BC

于點(diǎn)F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)A．6對(duì)

B．5對(duì)C．4對(duì)

D．3對(duì)B

例2答案：D解題秘方：掌握平行線截三角形相似的定理和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

感悟新知

知識(shí)點(diǎn)角的關(guān)系判定三角形相似定理21.

相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.2.

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.4-4所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.特別提醒由兩角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)、同弧所對(duì)的圓周角(以后會(huì)學(xué)到)都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.3.

常見的相似三角形的類型：(1)“平行線”型：如圖3.4-5①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)“相交線”型：如圖3.4-5②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如圖3.4-5③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖3.4-5④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC.整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.如圖3.4-6，在△ABC中，AD是角平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF.求證：△ABF∽△CAF.例3感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩三角形相似”證明.由于∠BFA是公共角，因此只需說明∠B＝∠4即可.證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD

－∠2，∴∠B

＝∠4.∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.感悟新知3-1.

【二模·廣州越秀區(qū)】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E

為BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B，點(diǎn)C

重合)，連接DE

并延長，交AB

的延長線于點(diǎn)F.求證：△CDE∽△AFD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AF，∠C＝∠A.∴∠CDE＝∠F.∴△CDE∽△AFD.知識(shí)點(diǎn)邊角關(guān)系判定三角形相似定理31.

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.

如圖3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn).求證：△ADQ∽△QCP.解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.例4

感悟新知4-1.

[期末·岳陽]如圖，在△ABC

中，AB=6，AC=9，點(diǎn)D，E

分別在AB，AC

上，D

為AB的中點(diǎn)，CE＝7.求證：△AED∽△ABC.知4－講知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理41.

相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.知4－講

圖3.4-10、圖3.4-11中小正方形的邊長均為1，則圖3.4-11中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖3.4-10中的△ABC相似？例5解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形三邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”判斷.

感悟新知5-1.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ACB

和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED

的延長線交AB

于點(diǎn)

F．求證：(1)△ACB

∽△DCE；感悟新知(2)EF⊥AB．