3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與橢圓的綜合運用高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

橢圓的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與橢圓的綜合運用1.直線與曲線的綜合問題,經(jīng)常要借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決弦長、弦中點、弦斜率等問題.2.橢圓既是一個軸對稱圖形,又是一個中心對稱圖形.橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計算問題時,往往能起到化繁為簡的作用.3.求直線與橢圓相交時的弦長通常有兩種方法:(1)求直線與橢圓的交點,然后利用兩點間距離公式求弦長,此方法僅當(dāng)直線方程和橢圓方程相對簡單且易得交點坐標時使用,一般情況下并不采用此法.(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,然后運用根與系數(shù)的關(guān)系,再求弦長,此方法不必求直線與橢圓的交點,是求弦長的常用方法.4.有關(guān)橢圓的中點弦問題,通常采用“點差法”求解,通過“點差”易得弦所在直線的斜率與弦中點坐標間的關(guān)系.探究點一

直線與橢圓的位置關(guān)系

C

[1,5)

[素養(yǎng)小結(jié)]判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時,由直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組,消去方程組中的一個變量,得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程,則Δ>0?直線與橢圓相交;Δ=0?直線與橢圓相切;Δ<0?直線與橢圓相離.

探究點二

弦長及中點弦問題

2x+4y-3=0(2)已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m,則直線被橢圓截得的弦最長時,直線的方程是

.

y=x

探究點三

與橢圓有關(guān)的最值、范圍與證明問題

2.解決與橢圓有關(guān)的最值問題常用的方法有以下幾種:①利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理;②利用三角替代(換元法)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題處理;③利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘數(shù)學(xué)表達式的幾何特征,進而求解;④利用函數(shù)最值的研究方法,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理,此時,應(yīng)注意橢圓中x,y的取值范圍,常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題來求解.

1.直線與橢圓有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題,此時要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.解決與橢圓有關(guān)的中點、弦長問題的方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式求解.(2)點差法:利用交點在橢圓上,交點坐標滿足橢圓方程,將兩交點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出弦中點坐標和弦所在直線的斜率的關(guān)系.具體步驟如下:

3.對于探索性問題,先假設(shè)存在滿足題意的元素,然后以此為基礎(chǔ)推證滿足條件的結(jié)論.若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)結(jié)論成立,再推出條件.

B

B3.已知一條直線與橢圓4x2+9y2=36相交于A,B兩點,弦AB的中點為M(1,1),則直線AB的方程為 (

)A.4x+9y-13=