2.6.2函數(shù)的極值課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2函數(shù)的極值北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

極值的概念

極值是函數(shù)的一種局部性質(zhì)1.如圖(1),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數(shù)值都小于點x0處的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的

,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的

.

(1)極大值點極大值2.如圖(2),在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何不為x0的一點處的函數(shù)值都大于點x0處的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)y=f(x)的

,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的

.

3.函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

極值點在區(qū)間的內(nèi)部

(2)極小值點極小值名師點睛1.極值是一個局部概念.由定義知,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小.2.極大值與極小值無確定的大小關(guān)系.在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值,即極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小.思考辨析函數(shù)f(x)可以有多個極大值和極小值嗎?提示

可以,如函數(shù)f(x)=sin

x,g(x)=cos

x在R上有無數(shù)多個極大值和極小值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)的極大值一定大于極小值.(

)(2)函數(shù)y=f(x)一定有極大值和極小值.(

)××2.函數(shù)f(x)的定義域為R,它的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的部分圖象如圖所示,則下面結(jié)論錯誤的是(

)A.在(1,2)內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增B.在(3,4)內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減C.在(1,3)內(nèi)函數(shù)f(x)有極大值D.x=3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點D解析

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知,x∈(1,2)時,f'(x)>0;x∈(2,4)時,f'(x)<0,x∈(4,5)時,f'(x)>0.∴f(x)在(1,2),(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減,x=2是f(x)在[1,5]上的極大值點,x=4是極小值點.知識點2

求函數(shù)y=f(x)極值點、極值的方法1.求出導(dǎo)數(shù)f'(x).2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有實數(shù)根.3.對于方程f'(x)=0的每一個實數(shù)根x0,分析f'(x)在x0附近的符號(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點和極值:從左到右,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的符號變化.如果f'(x)的符號由正變負,此時x0是極大值點,f(x0)是極大值;如果由負變正,此時x0是極小值點,f(x0)是極小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右側(cè),f'(x)的符號不變,則f(x0)不是極值.名師點睛導(dǎo)數(shù)等于0的解不一定是極值點;反之,極值點一定是導(dǎo)數(shù)等于0的解,故須對f'(x)=0的解進行檢驗.思考辨析對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的什么條件?提示

必要不充分條件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,b)內(nèi)單調(diào)遞減,則x0是函數(shù)y=f(x)的極大值點.(

)(2)對于函數(shù)y=f(x)=x3,因為f'(0)=0,所以x=0是它的極值點.(

)√×2.已知a是函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點,則a等于(

)

A.-4 B.-2 C.4 D.2D解析

∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x∈(-∞,-2),(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-2,2)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴f(x)的極小值點為2.3.[人教B版P93例1]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判斷所求得的數(shù)是否為函數(shù)的極值點.解

因為f'(x)=3x2,令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0.但0不是f(x)=x3的極值點,因為f(0)=0,而0左側(cè)的點的函數(shù)值總是小于0,且0右側(cè)的點的函數(shù)值總是大于0.這也可以從函數(shù)f(x)=x3的圖象看出來.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求函數(shù)的極值角度1.求不含參數(shù)的函數(shù)的極值【例1】

求函數(shù)f(x)=+ln

x的極值.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘1↗∴當(dāng)x=1時f(x)有極小值,即f(1)=1,無極大值.變式探究求函數(shù)f(x)=的極值.x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗↘因此,x=e是函數(shù)的極大值點,極大值為f(e)=,沒有極小值.規(guī)律方法

1.討論函數(shù)的性質(zhì)時,要樹立定義域優(yōu)先的原則.2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值點和極值.(1)f(x)=x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗由上表可以看出,-1為函數(shù)f(x)的極大值點,極大值為f(-1)=,3為函數(shù)f(x)的極小值點,極小值為f(3)=-6.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R.f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘由上表可以看出,0為函數(shù)f(x)的極小值點,極小值為f(0)=0.2為函數(shù)f(x)的極大值點,極大值為f(2)=4e-2.角度2.求含有參數(shù)的函數(shù)的極值【例2】

設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論f(x)的極值.解

由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,(1)當(dāng)a=1時,f'(x)=6x2≥0,f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)a>1時,f'(x)=6x[x-(a-1)],當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,a-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(a-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a=1時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);當(dāng)a>1時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(a-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a-1).(2)由(1)知,當(dāng)a=1時,函數(shù)f(x)沒有極值.當(dāng)a>1時,函數(shù)在x=0處取得極大值1,在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3.規(guī)律方法

討論參數(shù)應(yīng)從f'(x)=0的根所在的范圍與大小關(guān)系入手進行.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x-aln

x(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解

函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1-.(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x-2ln

x,f'(x)=1-(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1.所以曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>0時,由f'(x)=0,解得x=a.又因為當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln

a,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln

a,無極大值.探究點二根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)【例3】

[2024陜西咸陽期中]已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+12x+b在x=3處取得極小值-2.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若函數(shù)y=f(x)-λ有三個零點,求實數(shù)λ的取值范圍.解

(1)f'(x)=4x2-2ax+12,因為f(x)在x=3處取得極小值-2,所以f'(3)=36-6a+12=0,得a=8,此時f'(x)=4x2-16x+12=4(x-1)(x-3),所以f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,在(3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=3時取得極小值,符合題意,所以a=8,f(x)=x3-8x2+12x+b.又f(3)=b=-2,所以b=-2.(2)由(1)知y=f(x)-λ=x3-8x2+12x-2-λ,所以y'=4(x-1)(x-3),列表如下:x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞)y'+0-0+y↗極大值

-λ↘極小值-2-λ↗規(guī)律方法

已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應(yīng)注意兩點(1)待定系數(shù)法:常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組,用待定系數(shù)法求解.(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0的解不一定就是極值點,故利用上述方程組解出的解必須驗證.變式訓(xùn)練3設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln

x+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由.當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,2)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(2,+∞)時,f'(x)<0.故x=1是函數(shù)f(x)的極小值點,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點.探究點三由函數(shù)圖象分析函數(shù)的極值【例4】

已知函數(shù)y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說法:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值;③函數(shù)f(x)在x=-處取得極大值;④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,其中正確的說法有

.(填所有正確的序號)

①②④

解析

從圖象上可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x∈(1,+∞)時,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,①正確;當(dāng)x∈(-∞,-1)時,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,當(dāng)x∈(-1,0)時,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,②正確;當(dāng)x∈(-1,1)時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,③錯誤;當(dāng)x∈(0,1)時,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,而在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,④正確.規(guī)律方法

由函數(shù)圖象研究極值的方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題是較為常見的一種題型,解答這類問題的關(guān)鍵是選準(zhǔn)出發(fā)點.對于導(dǎo)函數(shù)的圖象,我們重點考查其在哪個區(qū)間上為正、哪個區(qū)間上為負、在哪個點處與x軸相交(在該點處,導(dǎo)函數(shù)的值是怎樣變化的,若是由正值變?yōu)樨撝?則在該點處取得極大值;若由負值變?yōu)檎?則在該點處取得極小值).變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:①函數(shù)f(x)在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)f(x)在(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減;③函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,在x=1處取得極小值;④函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值.其中真命題的序號是

.(填所有真命題的序號)

②④

解析

函數(shù)f(x)在(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,故①錯誤;因為f'(x)在(-2,0)內(nèi)大于0,所以函數(shù)f(x)在(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞增,同理f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,故②正確;③錯誤;當(dāng)-2<x<0時,f'(x)>0,當(dāng)0<x<2時,f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,④正確.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)求函數(shù)的極值.(2)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù).(3)由函數(shù)的圖象分析函數(shù)的極值.2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):求極值時忽略f'(x)=0的根的左右兩側(cè)符號的判斷.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練ABC12345678910111213141516172.[探究點二]若函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)和(1,+∞)A12345678910111213141516173.[探究點二]函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值10,則a,b的值為(

)A.a=3,b=-3或a=-4,b=11B.a=-4,b=2或a=-4,b=11C.a=-4,b=11D.以上都不對C12345678910111213141516174.[探究點一(角度1)](多選題)

已知函數(shù)f(x)=2ex-x的極值點為x0,則(

)A.x0∈(-2,-1) B.x0∈(0,2)C.f(x0)∈(-1,0) D.f(x0)∈AD1234567891011121314151617解析

對于A選項,由已知可得,f'(x)=2ex-,令f'(x)=0,則x0=-ln

4,當(dāng)x<-ln

4時,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-ln

4)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x>-ln

4時,f'(x)>0,所以f(x)在(-ln

4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以,f(x)在x=-ln

4時,有極小值,且x0=-ln

4∈(-2,-1),故A選項正確;對于B選項,由A知x0=-ln

4∈(-2,-1),故B選項錯誤;故選AD.12345678910111213141516175.

[探究點二](多選題)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,則a=(

)A.3 B.1 C.-3 D.-1AD解析

因為f(x)=x3-ax2-a2x+3,故f'(x)=3x2-2ax-a2,由函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0,解得a=3或a=-1,當(dāng)a=3時,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),此時當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(-1,3)時,f'(x)<0,則函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,符合題意;當(dāng)a=-1時,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),此時當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈

時,f'(x)<0,則函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,符合題意,故a=3或a=-1,故選AD.123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究點一(角度1)]函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為

.

12345678910111213141516177.[探究點一(角度1)]設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,則函數(shù)f(x)的極大值為

,極小值為

.

π+212345678910111213141516178.[探究點二]若函數(shù)f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2處有極值,則函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為

.

-5解析

∵函數(shù)f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2處有極值,且f'(x)=(x2+c)+2x(x-2),∴f'(2)=0,∴(c+4)+(2-2)×4=0,∴c=-4,∴f'(x)=(x2-4)+2x(x-2).∴函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.12345678910111213141516179.[探究點一(角度2)]已知函數(shù)f(x)=+x+1,求函數(shù)f(x)的極值.①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù),f(x)無極值.②當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln

a.當(dāng)x∈(-∞,ln

a)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(ln

a,+∞)時,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,ln

a)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln

a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)在x=ln

a取得極小值,極小值為f(ln

a)=ln

a+2,無極大值.綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)無極值;當(dāng)a>0時,f(x)有極小值ln

a+2,無極大值.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練10.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(1-x)·f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是(

)A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)D解析

由函數(shù)的圖象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且當(dāng)x<-2時,f'(x)>0;當(dāng)-2<x<1時,f'(x)<0;當(dāng)1<x<2時,f'(x)<0;當(dāng)x>2時,f'(x)>0,故函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2).123456789101112131415161711.若函數(shù)f(x)=x2-4x+alnx有唯一的極值點,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2}C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪{2}C若f(x)有唯一的極值點,則令g(x)=2x2-4x+a,g(x)圖象的對稱軸為x=1,∴g(0)≤0,解得a≤0.故選C.123456789101112131415161712.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,則下列說法正確的是(

)AD1234567891011121314151617123456789101112131415161713.(多選題)函數(shù)f(x)的定義域為R,它的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(-2)>f(-1)B.x=1是f(x)的極小值點C.函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)有極大值D.x=-3是f(x)的極大值點AD解析

由y=f'(x)的圖象可知,當(dāng)x∈(-∞,-3)時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-3,-1)時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,因此有f(-2)>f(-1),x=-3是f(x)的極大值點,所以選項A,D正確;當(dāng)x∈(-1,1)或x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,因此函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)沒有極大值,且x=1不是f(x)的極小值點,所以選項B,C不正確,故選AD.1234567891011121314151617123456789101112131415161714.(多選題)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,對于下列四個判斷,其中正確的是(

)A.f(x)在(-2,-1)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)B.f(x)在(2,4)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)C.當(dāng)x=-1時,f(x)取得極小值D.當(dāng)x=1時,f(x)取得極大值BC解析

從導(dǎo)函數(shù)圖象可以看出函數(shù)f(x)在(-2,-1),(2,4)內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù);f(x)在(-1,2),(4,5)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),故A錯誤,B正確,f(x)在x=-1處取得極小值,f(x)在x=2處取得極大值,C正確,D錯誤.故選BC.123456789