蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊2.1軸對(duì)稱及其性質(zhì)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題2.1軸對(duì)稱及其性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

【知識(shí)點(diǎn)二】軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)

【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過來，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.【知識(shí)點(diǎn)三】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)1.軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）格點(diǎn)的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．

（1）在圖中畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；（2）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，求的面積．【變式1】（22-23八年級(jí)上·四川阿壩·期末）在以下關(guān)于體育運(yùn)動(dòng)的圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）在“線段，角，圓，長方形，梯形，三角形，等邊三角形”這七個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱的圖形有個(gè)．【題型2】成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別與判斷【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，連接AD，AE，以△ADE的邊AE所在直線為對(duì)稱軸作△ADE的軸對(duì)稱圖形△AD′E，連接D′C，若BD=CD′；（1）求證：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度數(shù)．【變式1】（24-25八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．【變式2】（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【題型3】由軸對(duì)稱的性質(zhì)特征求值【例3】（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，直線分別交于C、D兩點(diǎn)，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若求，，，求的長．【變式1】（24-25七年級(jí)上·山東·隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的延長線上．若，，，則線段的長為

A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）如圖：點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，，則的周長為．【題型4】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值【例4】如圖1：P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，M和N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn).（1）請(qǐng)你在圖2中利用作圖確定M點(diǎn)和N點(diǎn)的位置，使得△PMN的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡）；（2）在圖2中若△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是多少？【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，在上分別找一點(diǎn)M、N，使周長最小時(shí)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖，在直角中，，平分，N是上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），M是上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），則的最小值為.【題型5】折疊問題【例5】（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)F處，向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連結(jié)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求四邊形的周長．【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖北荊門·期中）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，折疊后點(diǎn)在同一直線上，己知，求的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）有一長方形紙帶，按如圖所示沿折疊．若，則紙帶重疊部分中的度數(shù)為．【題型6】生活中的軸對(duì)稱問題【例6】如圖，長方形臺(tái)球桌上有兩個(gè)球P，Q．

（1）請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊反彈后，正好撞到球Q；（2）請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊，經(jīng)過兩次反彈后，正好撞到球Q．【變式1】（2021·河北·中考真題）如圖，直線，相交于點(diǎn)．為這兩直線外一點(diǎn)，且．若點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則，之間的距離可能是（

）A．0 B．5C．6 D．7【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在鏡子上看到時(shí)間是，那么實(shí)際時(shí)間為．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得；小鐵把紙帶②沿折疊，發(fā)現(xiàn)與重合，與重合．且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（

）A．紙帶①、②的邊線都平行B．紙帶①、②的邊線都不平行C．紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D．紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）【課本再現(xiàn)】《幾何圖形初步》這一章中我們學(xué)習(xí)了角的平分線，并會(huì)用折紙的方法作角平分線．如圖是教材第135頁的探究將紙片折疊使與重合，是折痕，此時(shí)與重合，所以，射線是的平分線．探究仿照?qǐng)D，通過折紙作角平分線．

【知識(shí)初探】如圖（1），四邊形是一張正方形紙片，將正方形紙片沿對(duì)折，把正方形展平，再將和分別沿和折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，與重合，則________度；________度．【類比再探】如圖（2），將正方形紙片的沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，將沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)與點(diǎn)重合．猜想的度數(shù)，并說明理由．【拓展探究】如圖（3），在圖（2）的基礎(chǔ)．上將正方形紙片展平，然后將和分別沿和再折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處．猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【例2】（23-24七年級(jí)下·吉林長春·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上（不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)，將沿翻折得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，的大小為度．（2）當(dāng)時(shí)，求的大小．（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出的大小．專題2.1軸對(duì)稱及其性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

【知識(shí)點(diǎn)二】軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)

【要點(diǎn)提示】軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過來，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.【知識(shí)點(diǎn)三】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)1.軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）格點(diǎn)的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．

（1）在圖中畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；（2）若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，求的面積．【答案】(1)作圖見詳解；(2)．【分析】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換：作軸對(duì)稱后的圖形的依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是解決問題的關(guān)鍵（先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn)）．（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可；（2）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算的面積．解：（1）解：（1）如圖，為所作；

（2）解：的面積．【變式1】（22-23八年級(jí)上·四川阿壩·期末）在以下關(guān)于體育運(yùn)動(dòng)的圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．解：A、圖標(biāo)不屬于軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、圖標(biāo)不屬于軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、圖標(biāo)不屬于軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）在“線段，角，圓，長方形，梯形，三角形，等邊三角形”這七個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱的圖形有個(gè)．【答案】5【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，進(jìn)行判斷即可．解：在“線段，角，圓，長方形，梯形，三角形，等邊三角形”這七個(gè)圖形中，線段，角，圓，長方形，等邊三角形，都能找到一條直線，使圖形沿著直線對(duì)折后，能夠完全重合，是軸對(duì)稱圖形，共5個(gè)；故答案為：5．【題型2】成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別與判斷【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，連接AD，AE，以△ADE的邊AE所在直線為對(duì)稱軸作△ADE的軸對(duì)稱圖形△AD′E，連接D′C，若BD=CD′；（1）求證：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）解：（1）根據(jù)對(duì)稱得出AD=AD′，根據(jù)SSS證△ABD≌△ACD′即可；（2）根據(jù)全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根據(jù)對(duì)稱得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．（）證明：∵以△ADE的邊AE所在直線為對(duì)稱軸作△ADE的軸對(duì)稱圖形△AD′E，∴，在△ABD和△ACD′中，∵，∴△ABD≌△ACD′（SSS）.（）解：∵≌，∴，∴，∵以△ADE的邊AE所在直線為對(duì)稱軸作△ADE的軸對(duì)稱圖形△AD′E，∴，即．點(diǎn)撥：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì).熟練應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式1】（24-25八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段，據(jù)此即可求解，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，，與不一定平行，故項(xiàng)一定正確，項(xiàng)不一定正確，故選：．【變式2】（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【答案】5【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問題即可；解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴S△CEF=S△BEF，∴陰影部分的面積=S△ABC=×10=5，故答案為：5；【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型3】由軸對(duì)稱的性質(zhì)特征求值【例3】（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是外的一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，直線分別交于C、D兩點(diǎn)，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若求，，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，，可得，，則，，根據(jù)，求解作答即可；（2）由點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，，可得，，即，由，可求，進(jìn)而可得的長．解：（1）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)F與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱，，∴，，∴，∴，解得，∴．【變式1】（24-25七年級(jí)上·山東·隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的延長線上．若，，，則線段的長為

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查軸對(duì)稱，線段和差的計(jì)算，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用，得出的長，即可得出的長．解：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的延長線上，，，，，，，，∴，則線段的長為：．故選：．【變式2】（23-24七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）如圖：點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，，則的周長為．【答案】27【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．證明的周長，可得結(jié)論．解：如圖：連接∵P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，，，的周長，故答案為：27．【題型4】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值【例4】如圖1：P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，M和N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn).（1）請(qǐng)你在圖2中利用作圖確定M點(diǎn)和N點(diǎn)的位置，使得△PMN的周長最小（保留作圖痕跡）；（2）在圖2中若△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是多少？【答案】（1）詳見解析；（2）∠AOB=30°．【分析】(1)分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN即可;(2)由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．解：（1）（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接PM、PN、MN，則△PMN的周長最小，連接OC、OD，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，在上分別找一點(diǎn)M、N，使周長最小時(shí)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問題．要使周長最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到，進(jìn)而求得，即可得到答案．解：作點(diǎn)A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M，交于N，，則即為周長最小值，，，，，，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖，在直角中，，平分，N是上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），M是上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），則的最小值為.【答案】【分析】作于點(diǎn)，由，求得，在上取點(diǎn)，使，連接，則，可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，則的最小值為．解：作于點(diǎn)，，，，，，，，在上取點(diǎn)，使，連接，平分，，在和中，，，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則的值最小，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查根據(jù)面積等式求線段的長度、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)與方法，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【題型5】折疊問題【例5】（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)F處，向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連結(jié)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求四邊形的周長．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根據(jù)折疊的性質(zhì)，平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解；（）由折疊的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可求解；本題考查了折疊的性質(zhì)，平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．解：（1）解：由折疊性質(zhì)可知，，∴，由平移性質(zhì)可知：，∴；（2）由折疊性質(zhì)可知，，由平移性質(zhì)可知：，，則四邊形的周長為．【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖北荊門·期中）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，折疊后點(diǎn)在同一直線上，己知，求的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，即可求解．解：由折疊的性質(zhì)得：，∴．故選：B【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）有一長方形紙帶，按如圖所示沿折疊．若，則紙帶重疊部分中的度數(shù)為．【答案】/75度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、折疊問題與角的計(jì)算，需要計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬中檔題．根據(jù)兩直線平行同位角相等得到，再由折疊的性質(zhì)得到，則問題得解．解：由下圖可知又由折疊的性質(zhì)得到，且．故答案為：．【題型6】生活中的軸對(duì)稱問題【例6】如圖，長方形臺(tái)球桌上有兩個(gè)球P，Q．

（1）請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊反彈后，正好撞到球Q；（2）請(qǐng)畫出一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊，經(jīng)過兩次反彈后，正好撞到球Q．【分析】（1）作點(diǎn)P關(guān)于是對(duì)稱點(diǎn)，連接′交于M，點(diǎn)M即為所求．（2）作點(diǎn)P關(guān)于是對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于E，交于F，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．解：（1）解：如圖，運(yùn)動(dòng)路徑：，點(diǎn)M即為所求．

（2）解：如圖，運(yùn)動(dòng)路徑：，點(diǎn)E，點(diǎn)F即為所求．

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決實(shí)際問題．【變式1】（2021·河北·中考真題）如圖，直線，相交于點(diǎn)．為這兩直線外一點(diǎn)，且．若點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則，之間的距離可能是（

）A．0 B．5C．6 D．7【答案】B【分析】連接根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．解：連接，如圖，∵是P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線l是的垂直平分線，∴∵是P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線m是的垂直平分線，∴當(dāng)不在同一條直線上時(shí)，即當(dāng)在同一條直線上時(shí)，故選：B【點(diǎn)撥】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在鏡子上看到時(shí)間是，那么實(shí)際時(shí)間為．【答案】【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的特征進(jìn)行作答即可．解：在鏡子里看見的時(shí)間是，實(shí)際時(shí)間是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱內(nèi)容，涉及電子鐘示數(shù)的鏡面對(duì)稱，根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好是左右顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，難度中等，第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對(duì)稱的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查成軸對(duì)稱的定義，掌握成軸對(duì)稱的定義是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫作對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫作對(duì)稱點(diǎn)．根據(jù)兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的定義，逐一判斷選項(xiàng)即可．解：A．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；B．圖案成軸對(duì)稱，故符合題意；C．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；D．圖案不成軸對(duì)稱，故不符合題意；故你：B．【例2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得；小鐵把紙帶②沿折疊，發(fā)現(xiàn)與重合，與重合．且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（

）A．紙帶①、②的邊線都平行B．紙帶①、②的邊線都不平行C．紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D．紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行【答案】D【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，利用三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，，，由平角的定義從而可得，，再根據(jù)平行線的判定即可判斷．解：對(duì)于紙帶①，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，，∴，∴與不平行，對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，，，又∵點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上，∴，，∴，，∴，∴，綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）【課本再現(xiàn)】《幾何圖形初步》這一章中我們學(xué)習(xí)了角的平分線，并會(huì)用折紙的方法作角平分線．如圖是教