蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊2.10 等邊三角形的軸對稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）（含答案）

專題2.10等邊三角形的軸對稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，湖邊棧道，互相垂直，棧道的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得的長為，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．2．（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，直線，等邊的頂點(diǎn)B在直線b上，若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）在中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，，且滿足等式，這個(gè)三角形是（）A．只有兩邊相等的等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形4．（23-24七年級(jí)下·山東泰安·期末）如圖所示，是等邊三角形，D為的中點(diǎn)，，垂足為E．若，則的邊長為（

）A．12 B．10 C．8 D．65．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在兩平行線上，若斜邊與直線交于的中點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．6．（23-24七年級(jí)下·吉林長春·期末）如圖，在中，，是等邊三角形，與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)N．若，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．7．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)B、A．連結(jié)，用尺規(guī)作圖法依據(jù)圖中的作圖痕跡作射線交于點(diǎn)C，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．8．（22-23七年級(jí)下·上?！て谀┤鐖D，已知等腰三角形中，，腰上存在一點(diǎn)，連接，將三角形沿著折疊后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若此時(shí)點(diǎn)恰好落在底邊的高所在的直線上，則的度數(shù)的取值范圍為（

）A．； B．； C．； D．9．（22-23八年級(jí)上·遼寧盤錦·期末）已知，都是等邊的中線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（

）．

A． B． C． D．610．（22-23七年級(jí)下·福建泉州·期中）一副三角板和如圖擺放，，，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．平分 B．平分 C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·期末）如圖，直線，將等邊按如圖方式放置，點(diǎn)在直線上，邊AB交直線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．12．（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，已知，D為邊上一點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，線段長為半徑作弧，交于點(diǎn)E，連接，則的長是.13．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，點(diǎn)D為的邊上一點(diǎn)，且滿足，作于點(diǎn)E，若，則的長為．

14．（22-23八年級(jí)上·陜西延安·期末）如圖，，，，，若，，且長為奇數(shù)，則的長為．15．（23-24八年級(jí)上·湖南常德·期中）如圖，，是延長線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形.

16．（23-24八年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在邊長為等邊中，E是上一點(diǎn)且，D、P兩點(diǎn)分別在、上移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，才能使與全等．

17．（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽·期中）如圖，四邊形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，使得，則的最大值為．（用含m的式子表示）18．（21-22八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知：等邊三角形，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)E在直線上，，連接，直線交于點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)E在的延長線上，過點(diǎn)A作，垂足為H，若，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)F．已知．（1）求的度數(shù)．（2）若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，請判斷的形狀，并說明理由．20．（8分）（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，為等邊三角形，即，分別是，上的點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．21．（10分）（18-19八年級(jí)上·山東德州·期末）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．22．（10分）（23-24八年級(jí)上·上海靜安·期末）已知：如圖，中，，．操作：過點(diǎn)作，垂足為，在的延長線上，求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到兩邊的距離相等，連接，與相交于點(diǎn)．猜想：線段與之間的數(shù)量關(guān)系為：___________．證明：23．（10分）（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）看圖解答：

（1）如圖1，將含的三角板的直角頂點(diǎn)D放置在含的直角三角板的斜邊的中點(diǎn)位置上，兩直角邊分別交、于M、N，利用三角形的全等，發(fā)現(xiàn)與數(shù)量關(guān)系是________；若，，，y與x的關(guān)系式為________；（2）若將三角板繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別與、的延長線交于M、N，如圖2，（1）中的與數(shù)量關(guān)系是否改變？并說明理由；（3）若將三角板的頂點(diǎn)D從中點(diǎn)處沿方向平移、旋轉(zhuǎn)至，如圖3，其余條件不變，求證：．24．（12分）（22-23八年級(jí)上·廣西桂林·期中）小明遇到這樣一個(gè)問題：是等邊三角形，點(diǎn)在射線上，且滿足，交等邊外角平分線于點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系．(1)【初步探究】小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠得到線段與的數(shù)量關(guān)系，則線段與的數(shù)量關(guān)系是∶；構(gòu)造的的形狀是：(2)【類比探究】當(dāng)點(diǎn)是線段上（不與點(diǎn)、重合）任意一點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，如圖②，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，其他條件不變，連接．請?jiān)趫D③中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的大小為參考答案：1．A【分析】本考考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由已知條件可得出，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出．【詳解】解：∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，故選：A．2．C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)對頂角的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵，∵是等邊三角形，∴，∴，∵直線，∴，故選C．3．B【分析】本題考查了絕對值和平方的非負(fù)性，等邊三角形的性質(zhì)，正確理解絕對值、平方的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求出，，之間的等量關(guān)系，即可求解．【詳解】解：，，，，，，這個(gè)三角形是等邊三角形．故選：B．4．A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于；在直角三角形中角所對應(yīng)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可知，在直角三角形中求得的長，即可求得的長．【詳解】解：∵是等邊三角形，D為的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)E．若，∴在直角三角形中，，，，∴，又∵D為的中點(diǎn)，∴，∴等邊三角形的邊長為12，故選：A．5．A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，則由平行線的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵斜邊與直線交于的中點(diǎn)E，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故選：A．6．C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，對頂角相等．由等邊三角形的性質(zhì)得，由直角三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而求出，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，

∵是等邊三角形，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故選C．7．C【分析】本題考查作圖-基本作圖、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖方法、等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由作圖痕跡可知，射線為的平分線，，則為等邊三角形，即可得，即．【詳解】解：由作圖痕跡可知，射線為的平分線，，，為等邊三角形，，．故選：C．8．C【分析】題目主要考查折疊問題及等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，得出為等邊三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，分別利用等邊三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，∵三角形沿著折疊后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若此時(shí)點(diǎn)恰好落在底邊的高所在的直線上，∴，∵等腰三角形，，∴垂直平分，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖所示：∵三角形沿著折疊后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若此時(shí)點(diǎn)恰好落在底邊的高所在的直線上，∴，∵等腰三角形，，∴垂直平分，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合時(shí)，，綜上可得：故選：C．9．D【分析】本題考查了軸對稱最短路徑問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出、關(guān)于對稱，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解．【詳解】解：，都是等邊的中線，、關(guān)于對稱，，故選：D10．B【分析】根據(jù)三角形板各角的特點(diǎn)，平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，則，∴平分，故選項(xiàng)正確；∵，，如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，

∴，由選項(xiàng)正確可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分錯(cuò)誤，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由上述證明可得，，∴，故選項(xiàng)正確；根據(jù)上述證明可得，，∵，且，∴，∴，∴，故選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行性中三角板的計(jì)算，掌握三角板中各角度的關(guān)系，平行性的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．/40度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由題意得出，然后再利用平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖所示，∵是等邊三角形，∴，∵∴，∵，∴，故答案為：．12．4【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)作圖得到，從而得到為等邊三角形即可得到答案．【詳解】解：∵，為線段的中點(diǎn)，∴，∵以點(diǎn)O為圓心，線段長為半徑作弧，交于點(diǎn)E，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，故答案為：4．13．3【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形中30度角所對的邊等于斜邊的一半．由等腰三角形的性質(zhì)得，求出，然后由30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：3．14．3【分析】由已知條件得，進(jìn)而得出，，再根據(jù)得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出．【詳解】解：在和中，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，,長為奇數(shù)，，故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．或【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，運(yùn)用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，是等腰三角形，，即：，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O右側(cè)時(shí)，，為等邊三角形，，即：，解得：，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形，故答案為：或．16．2或【分析】根據(jù)D、P兩點(diǎn)不同的位置，分兩種情況，當(dāng)?shù)玫剑偾蟪龅拈L即可；當(dāng)時(shí)，得到即可得出結(jié)果．【詳解】解：為等邊三角形，，如圖，當(dāng)時(shí)，

，；如圖，當(dāng)時(shí)，

，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置分兩種情況求解是解答本題的關(guān)鍵．17．/【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊問題，兩點(diǎn)之間線段最短，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．將沿翻折得到，將沿翻折得到，連接，證明是等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可得，即可求出最大值．【詳解】解：將沿翻折得到，將沿翻折得到，連接，由翻折可知：，，，，∵E是中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴，∵，∴當(dāng)D，M，N，C共線時(shí)，取得最大值為，故答案為：．18．【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)，證明，得出，根據(jù)，進(jìn)而可得，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形∴，∴，又∵，∴∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，故答案為：．19．(1)(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，等邊三角形的判定；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可得到答案；（2）由（1）得：，從而得到，再由點(diǎn)F是的中點(diǎn)，可得，然后根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為；（2）解：是等邊三角形，理由：由（1）得：，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．20．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）通過證明，即可得出；（2）通過證明，即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，；（2）解：由（1）可知，，，，．21．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴．∵，∴，．∴是等邊三角形．（2）∵為等邊三角形，∴．∵平分，∴．

∵是等邊三角形，∴．∴．22．猜想，證明見解析【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P在的角平分線上，則，由此推出，設(shè)，由平行線的性質(zhì)可得，如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，則，根據(jù)等邊對等角得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明，得到，則．【詳解】解：猜想，證明如下：∵點(diǎn)到兩邊的距離相等，∴點(diǎn)P在的角平分線上，∴，∵，∴，設(shè)，∵，∴，如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義和角平分線的判定，平行線的性質(zhì)，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般是解題的關(guān)鍵．23．(1)；；(2)與數(shù)量關(guān)系不變，理由見解析；(3)見解析．【分析】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)判定，據(jù)此得出對應(yīng)邊相等．解題時(shí)注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．（1）根據(jù)是等腰直角三角形，且是的中點(diǎn)，得出，即可得到，且，再根據(jù)，即可得到，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，且是的中點(diǎn)，證明出，即可得到；（3）根據(jù)，得到，，，再根據(jù)是等腰直角三角形，可知，可