第二章 第2講 函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二章函數(shù)第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測借助函數(shù)圖

象，會用符號

語言表達函數(shù)

的單調(diào)性、最

大值、最小

值，理解它們

的作用和實際

意義.確定函數(shù)的單

調(diào)性(單調(diào)區(qū)

間)2023北京T4；2021全國卷

甲T4；2020全國卷ⅡT9本講每年必考，命題

穩(wěn)定.命題熱點有討論

函數(shù)的單調(diào)性，利用

函數(shù)的單調(diào)性比較大

小、解不等式、求最

值等，也常與函數(shù)的

奇偶性、周期性及對

稱性綜合命題.函數(shù)單調(diào)性的

應(yīng)用2023新高考卷ⅠT4；2023新

高考卷ⅡT6；2020新高考卷

ⅠT8；2020新高考卷ⅡT7；

2019全國卷ⅢT11課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們

的作用和實際意義.與函數(shù)的最

值(值域)有

關(guān)的問題2022北京T14題型既有選擇題、填空題，也有解答題(常與導(dǎo)數(shù)綜合命題)，單獨考查時難度不大，與導(dǎo)數(shù)綜合時難度中等偏上.預(yù)計2025年高考命題趨勢變化不大，備考時重點進行常規(guī)題型訓(xùn)練，并適當(dāng)關(guān)注創(chuàng)新性命題.

1.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時，都有①

?，那

么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別

地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞

增時，我們就稱它是增函數(shù).當(dāng)x1＜x2時，都有②

?，那

么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別

地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞

減時，我們就稱它是減函數(shù).f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象描述

自左向右圖象是③

?的

自左向右圖象是④

?的注意

(1)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.(2)“函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)區(qū)間為

M

”與“函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間

N

上單調(diào)”是兩個不同的概

念，顯然

N

?

M

.(3)注意“增(減)函數(shù)”與“單調(diào)遞增(減)”的區(qū)別，只有在定義域上單調(diào)遞增(減)，

才能稱它是增(減)函數(shù).上升

下降

規(guī)律總結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價變形若?

x

1，

x

2∈

D

(

x

1≠

x

2)，則

2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有⑤

?；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M.

(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M.

結(jié)論M是函數(shù)f(x)的最大值.M是函數(shù)f(x)的⑥

?.注意

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最

值一定在端點處取得.f(x)≤M

最小值

1.以下說法正確的是(

D

)A.對于函數(shù)y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，則f(x)為增函數(shù)C.若函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)D.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點處取到D12342.[教材改編]函數(shù)

y

＝｜

x

｜－1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

B

)A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(－∞，－1)D.(－1，＋∞)B1234

(－∞，2)∪(2，＋∞)

1234

1234

命題點1

確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)例1

(1)[2023北京高考]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

C

)A.f(x)＝－lnxD.f(x)＝3｜x－1｜C例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3(2)[全國卷Ⅱ]函數(shù)

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

D

)A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)[解析]由

x

2－2

x

－8＞0，得

x

＜－2或

x

＞4.因此，函數(shù)

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的定

義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞).(先求函數(shù)

f

(

x

)的定義域)易知函數(shù)

y

＝

x

2－2

x

－8在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)

y

＝lnt

為(0，＋∞)上的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

f

(

x

)＝ln(

x

2－2

x

－8)的

單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞).故選D.D例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3方法技巧判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)性質(zhì)法.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3訓(xùn)練1

(1)函數(shù)

g

(

x

)＝

x

·｜

x

－1｜＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為(

B

)C.[1，＋∞)

B例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3(2)[多選]下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

ABC

)A.y＝ex－e－xB.y＝lgx2C.y＝2x＋2cosx

ABC例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3命題點2

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1

比較大小

A例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3(2)[2024吉林長春東北師大附中?？几木嶿函數(shù)

f

(

x

)的定義域為(0，＋∞)，對于?

x

，

y

∈(0，＋∞)，

f

(

xy

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)，且當(dāng)

x

＞1時，

f

(

x

)＜0.則

a

＝

f

(sin3)，

b

＝

f(ln3)，

c

＝

f

(21.5)的大小關(guān)系是(

A

)A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a

A例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法比較函數(shù)值的大小時，應(yīng)先將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的

單調(diào)性求解.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3角度2

求解不等式例3

(1)[全國卷Ⅰ]函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若

f

(1)＝－1，則

滿足－1≤

f

(

x

－2)≤1的

x

的取值范圍是(

D

)A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3][解析]

∵函數(shù)

f

(

x

)為奇函數(shù)，且

f

(1)＝－1，∴

f

(－1)＝－

f

(1)＝1，由－1≤

f

(

x

－

2)≤1，得

f

(1)≤

f

(

x

－2)≤

f

(－1)，(將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值)又函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤

x

－2≤1，∴1≤

x

≤3.故選D.D例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

A.(－∞，5)C例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性求解或證明不等式的策略(1)將不等式轉(zhuǎn)化為

f

(

x

1)＞

f

(

x

2)的形式，(2)根據(jù)函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號“

f

”化為形如“

x

1＞

x

2”或“

x

1＜

x

2”的不等式求解，注意必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行.若不等式一邊沒有“

f

”，而是常數(shù)，則應(yīng)將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3角度3

已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例4

(1)[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝2

x

(

x

－

a

)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則

a

的取值范

圍是(

D

)A.(－∞，－2]B.[－2，0)C.(0，2]D.[2，＋∞)

D例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

A.(0，1)B.(3，6)C.(1，4]D.(1，2]

C例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3方法技巧已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)進行求解，或先得到圖象的升

降情況，再結(jié)合圖象求解.注意

若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則不僅要各段上函數(shù)單調(diào)性一致，還要在整個定義

域內(nèi)單調(diào)，即要注意分界點處的函數(shù)值大小.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

A.(0，2]B.(0，2)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)

A例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

A.f(2x)≤f(x2)B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)＝f(x2)D.不確定B例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

當(dāng)

x

≥0時，令2

x

＝

x

2，得

x

＝2或

x

＝4.結(jié)合圖象可知，當(dāng)0≤

x

＜2時，4＞2

x

＞

x

2≥0，則

f

(2

x

)＞

f

(

x

2)，當(dāng)2≤

x

≤4時，

4≤2

x

≤

x

2≤16，則

f

(2

x

)≥

f

(

x

2)，當(dāng)

x

＞4時，2

x

＞

x

2＞16，則

f

(2

x

)＞

f

(

x

2).綜上所述，當(dāng)

x

≥0時，

f

(2

x

)≥

f

(

x

2).故選B.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3(3)[2023山東模擬]不等式

x

6－(2

x

＋3)＞(2

x

＋3)3－

x

2的解集是(

A

)A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]由不等式

x

6－(2

x

＋3)＞(2

x

＋3)3－

x

2，得(

x

2)3＋

x

2＞(2

x

＋3)3＋(2

x

＋3).

設(shè)函數(shù)

f

(

t

)＝

t

3＋

t

，易知

f

(

t

)在R上單調(diào)遞增，因為

f

(

x

2)＞

f

(2

x

＋3)，所以

x

2＞2

x

＋3，解得

x

＞3或

x

＜－1.故選A.A例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

(－∞，－3]∪[1，＋∞)例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

0(答案不唯一)

1

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3方法技巧求函數(shù)最值(值域)的方法(1)單調(diào)性法；(2)圖象法；(3)基本不等式法.注意

對于較復(fù)雜的函數(shù)，可通過換元、分離常數(shù)等進行轉(zhuǎn)化，對于無法變形化簡

的函數(shù)，則常利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其值域.例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，2]

D例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3(2)[2024重慶市渝北中學(xué)模擬]已知

f

(

x

)＝2＋log3

x

，

x

∈[1，81]，則

y

＝[

f

(

x

)]2＋

f

(

x

2)的最大值為

?.

22

例1訓(xùn)練1例2例3例4訓(xùn)練2例5訓(xùn)練3

1.[命題點1/2023貴州安順模擬]若定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)，對任意

x

1≠

x

2，都有

x

1

f

(

x

1)＋

x

2

f

(

x

2)≥

x

1

f

(

x

2)＋

x

2

f

(

x

1)，則稱

f

(

x

)為“

H

函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù)，其中是“

H

函數(shù)”的有

.(填上所有正確答案的序號)①

f

(

x

)＝

x

2－2

x

＋3；②

f

(

x

)＝2

x

－1；③

f

(

x

)＝lg(

x

－1)；

②④

12345[解析]根據(jù)題意，對任意

x

1≠

x

2，都有

x

1

f

(

x

1)＋

x

2

f

(

x

2)≥

x

1

f

(

x

2)＋

x

2

f

(

x

1)恒

成立，則有

f

(

x

1)(

x

1－

x

2)－

f

(

x

2)(

x

1－

x

2)≥0，即[

f

(

x

1)－

f

(

x

2)](

x

1－

x

2)≥0，當(dāng)

x

1＜

x

2

時，

x

1－

x

2＜0，則

f

(

x

1)－

f

(

x

2)≤0，即

f

(

x

1)≤

f

(

x

2)，所以若函數(shù)

f

(

x

)為“

H

函數(shù)”，則函數(shù)

f

(

x

)在R上為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù).對于①，因為

f

(

x

)＝

x

2－2

x

＋3的圖象開口向上，對稱軸為

x

＝1，所以

f

(

x

)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在

(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故其不是“

H

函數(shù)”.對于②，易得

f

(

x

)＝2

x

－1在R上單調(diào)遞增，滿足“

H

函數(shù)”的定義.對于③，

f

(

x

)＝lg(

x

－1)的定義域為(1，＋∞)，不滿足“

H

函數(shù)”的定義.

12345

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞c＞b

D123453.[命題點2角度2]已知定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(

x

)＝

f

(－

x

)，且

f

(

x

)在(－∞，

0]上單調(diào)遞減，若不等式

f

(

ax

＋2)≤

f

(－1)對任意的

x

∈[1，2]恒成立，則

a

的最大

值為

?.

－1

12345

[－1，0)123455.[命題點3/2023河北唐山聯(lián)考]若函數(shù)

f

(

x

)與

g

(

x

)對任意的

x

1，

x

2∈[

c

，

d

]，都有

f

(

x

1)·

g

(

x

2)≥

k

，則稱函數(shù)

f

(

x

)與

g

(

x

)是區(qū)間[

c

，

d

]上的“

k

階友好函數(shù)”.已知函

數(shù)

f

(

x

)＝2022

x

－1與

g

(

x

)＝

x

2－(

a

＋1)

x

＋2－

a

是區(qū)間[1，2]上的“3階友好函

數(shù)”，則實數(shù)

a

的取值范圍是

?.

12345

12345

1.[2024河北省唐山市第二中學(xué)模擬]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是

(

C

)B.f(x)＝｜x｜D.f(x)＝2｜x－1｜C1234567891011121314

1234567891011121314

A.(－∞，3]B.(2，3)C.(2，3]D.[3，＋∞)

C12345678910111213143.設(shè)函數(shù)

f

(

x

)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是(

D

)B.y＝｜f(x)｜在R上為增函數(shù)D.y＝－f(x)在R上為減函數(shù)D1234567891011121314

12345678910111213144.[2024廣東七校聯(lián)考]若函數(shù)

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3在區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，則

a

的取值范圍是(

B

)A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]B1234567891011121314[解析]函數(shù)

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3的大致圖象如圖所示，其形狀如一個“V”，開

口向上，頂點坐標為(

a

，3)，對稱軸方程為

x

＝

a

.由于函數(shù)

f

(

x

)＝2｜

x

－

a

｜＋3在

區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，因此需滿足對稱軸

x

＝

a

在直線

x

＝1的右側(cè)，則

a

＞1，故

選B.1234567891011121314

A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(a)＞f(c)＞f(b)D.f(c)＞f(a)＞f(b)[解析]因為

y

＝e

x

是增函數(shù)，

y

＝e－

x

是減函數(shù)，所以

f

(

x

)＝e

x

－e－

x

在(0，＋∞)

上單調(diào)遞增，且

f

(

x

)＞0.又

f

(

x

)＝－

x

2在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且

f

(

x

)≤0，所以

f

(

x

)在R上單調(diào)遞增.又

c

＝log20.9＜0，0＜

b

＝log32＜1，

a

＝50.01＞1，即

a

＞

b

＞

c

，所以

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

).A12345678910111213146.[2024浙江名校聯(lián)考]已知函數(shù)

y

＝log2(

ax

2－

x

)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)

a

的取值范圍為(

D

)D.[1，＋∞)

解得

a

≥1.故選D.D1234567891011121314

B1234567891011121314

1234567891011121314

A.當(dāng)a＞0時，f(x)在定義域上單調(diào)遞增B.當(dāng)a＝－4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)C.當(dāng)a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.當(dāng)a＞0時，f(x)的值域為RBCD1234567891011121314

∵

f

(

x

)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴A錯誤.

12345678910111213149.[2024河南鄭州模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝4

x

－2

x

＋1－1的值域是

?.[解析]由題知

f

(

x

)＝(2

x

)2－2·2

x

－1，令2

x

＝

t

(

t

＞0)，得

m

(

t

)＝

t

2－2

t

－1＝(

t

－

1)2－2(

t

＞0)，由于

m

(

t

)＝(

t

－1)