第十章 第3講 二項式定理

第十章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第3講二項式定理

課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測能用多項式運算法

則和計數(shù)原理證明

二項式定理，會用

二項式定理解決與

二項展開式有關(guān)的

簡單問題.展開式中的

特定項問題2023天津T11；2022新

高考卷ⅠT13；2020全

國卷ⅠT8；2020全國卷

ⅢT14；2020北京T3；

2019全國卷ⅢT4本講是高考?？純?nèi)

容，主要考查二項展

開式的通項，求常數(shù)

項，求某項系數(shù)，求

某些項的系數(shù)和等，

主要以小題的形式出

現(xiàn)，難度不大.課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測能用多項式運算法則

和計數(shù)原理證明二項

式定理，會用二項式

定理解決與二項展開

式有關(guān)的簡單問題.二項式系數(shù)與

項的系數(shù)的問

題2022北京T8；2022

浙江T12預(yù)計2025年高考命

題常規(guī)，備考時要

掌握各種問題類型

及其求解方法.二項式定理的

綜合應(yīng)用

學(xué)生用書P2291.二項式定理二項式定理二項展開式的通項Tk＋1＝①

，即為二項展開式的第

k＋1項.二項式系數(shù)

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

A.－5B.5C.－10D.10

C123452.[教材改編]在(

x

－

y

)10的展開式中，系數(shù)最小的項是(

C

)A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項[解析]展開式共有11項，奇數(shù)項系數(shù)為正，偶數(shù)項系數(shù)為負(fù)，且第6項的二項式系

數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項是第6項.C12345

A.31B.32C.15D.16

A123454.[多選]下列說法正確的是(

CD

)B.在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間的一項或中間的兩項C.在(a＋b)n的展開式中，每一項的二項式系數(shù)都與a，b無關(guān)D.在(a＋b)n的展開式中，某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)不同CD123455.[易錯題]已知(2

x

－1)

n

＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

anxn

(

n

∈N*)，設(shè)(2

x

－1)

n

的展開

式中所有項的二項式系數(shù)和為

Sn

，

Tn

＝

a

1＋

a

2＋…＋

an

(

n

∈N*)，則

S

4

＝

，

T

4＝

?.

16

0

12345

學(xué)生用書P230命題點1

展開式中的特定項問題角度1

形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項例1(1)[2023南京市中華中學(xué)檢測]若(2－

x

)6＝

a

0＋

a

1(1＋

x

)＋

a

2(1＋

x

)2＋…＋

a

6(1＋

x

)6，則

a

4＝(

B

)A.270B.135C.－135D.－270

B例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

60

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項問題的步驟例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

A.430B.435C.245D.240

B例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

－28

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

m

(

c

＋

d

)

n

(

m

，

n

∈N*)的展開式中特定項問題的步驟例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3角度3

形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項例3(1)(

x

－

y

＋2)5的展開式中，

x

3

y

的系數(shù)為(

D

)A.80B.40C.－80D.－40

D

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

92

(2)(1＋2

x

－3

x

2)5的展開式中，

x

5的系數(shù)為

?.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3方法技巧求形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項問題的方法因式分

解法通過分解因式將三項式變成兩個二項式的積的形式，然后用二項式定理

分別展開.逐層展

開法將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含兩項的一組展開，

從而解決問題.利用組

合知識把三項式(a＋b＋c)n(n∈N*)看成n個a＋b＋c的積，然后利用組合知識求

解.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

A.－640B.－320C.640D.320

A例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3(2)(

x

2＋

x

＋

y

)5的展開式中，

x

5

y

2的系數(shù)為(

C

)A.10B.20C.30D.60

C例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3命題點2

二項式系數(shù)與項的系數(shù)的問題角度1

二項展開式中的系數(shù)和問題例4[多選]已知(1－2

x

)2023＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

2023

x

2023，則下列結(jié)論正確的

是(

ACD

)A.展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為22023ACD例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3角度2

與二項展開式中的系數(shù)有關(guān)的最值問題例5(1)[全國卷Ⅰ]設(shè)

m

為正整數(shù)，(

x

＋

y

)2

m

展開式的二項式系數(shù)的最大值為

a

，(

x

＋

y

)2

m

＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為

b

，若13

a

＝7

b

，則

m

＝(

B

)A.5B.6C.7D.8

B例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

2.項的系數(shù)最值的求法

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

A.第5項的二項式系數(shù)最大B.所有項的系數(shù)之和為1C.有且僅有第6項的系數(shù)的絕對值最大D.展開式中共有4項有理項AB例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3(2)[2022浙江]已知多項式(

x

＋2)(

x

－1)4＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋

a

3

x

3＋

a

4

x

4＋

a

5

x

5，

則

a

2＝

，

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝

?.

8

－2

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3命題點3

二項式定理的綜合應(yīng)用例6(1)利用二項式定理計算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是(

D

)A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34

D例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3(2)設(shè)

a

∈N，且0≤

a

＜26，若512020＋

a

能被13整除，則

a

的值為(

D

)A.0B.11或0C.12D.12或25

D例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3方法技巧二項式定理應(yīng)用的常見題型及解題策略題型解題策略近似計算先觀察精確度，然后選取展開式中若干項求解.證明整除問題或求余數(shù)將被除式(數(shù))合理的變形，拆成二項式，使被除式(數(shù))展開后的每一

項都含有除式的因式.逆用二項式定理根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項展開式的要求，變形使之具備二項式

定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定理求解.例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

A.0B.－2C.－1＋iD.－1－i

A例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3(2)若(2

x

＋1)100＝

a0＋

a1

x

＋

a2

x

2＋…＋

a100

x

100，則2(

a1＋

a3＋

a5＋…＋

a99)－3除以8的余數(shù)為

?.

5

例1例2例3訓(xùn)練1例4例5訓(xùn)練2例6訓(xùn)練3

15

12345672.[命題點1角度2/全國卷Ⅲ](1＋2

x

2)(1＋

x

)4的展開式中

x

3的系數(shù)為(

A

)A.12B.16C.20D.24

A12345673.[命題點1角度3/2023湖南長沙第一中學(xué)段考](

x

－2

y

＋

z

)8的展開式中

x

3

y

3

z

2的系

數(shù)是

(用數(shù)字作答).

－4480

12345674.[命題點2角度1/2022北京高考]若(2

x

－1)4＝

a

4

x

4＋

a

3

x

3＋

a

2

x

2＋

a

1

x

＋

a

0，則

a

0＋

a

2＋

a

4＝(

B

)A.40B.41C.－40D.－41[解析]依題意，令

x

＝1，可得1＝

a4＋

a3＋

a2＋

a1＋

a0，令

x

＝－1，可得81＝a4－

a3＋

a2－

a1＋

a0，以上兩式相加可得82＝2(

a4＋

a2＋

a0)，所以

a0＋

a2＋

a4=41，故選B.B12345675.[命題點3]今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22021天后是(

D

)A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六

D1234567

－2

12345677.[命題點3]0.996的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是(

B

)A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943

B1234567

學(xué)生用書·作業(yè)幫P384

D1234567891011121314151617182.[2024湖北武漢第四十九中模擬](1＋

x

＋

x

2)(1－

x

)10的展開式中

x

5的系數(shù)為

(

D

)A.120B.135C.－140D.－162

D123456789101112131415161718

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

C123456789101112131415161718

A.－2B.－1C.1D.2D

123456789101112131415161718

A.n＝8B.展開式中x－2的系數(shù)為－448C.展開式中常數(shù)項為16D.展開式中所有項的系數(shù)和為1ABD123456789101112131415161718

1234567891011121314151617186.[多選/2024江蘇連云港統(tǒng)考]已知(1－2

x

)6＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

6

x

6，則下列

選項正確的是(

AC

)A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0AC123456789101112131415161718[解析]選項分析過程正誤A令x＝0，則1＝a0√B?C當(dāng)r＝1，3，5時，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729D√?123456789101112131415161718

1234567891011121314151617188.[2024吉林一中、東北師大附中等校聯(lián)考](

x

2－

x

＋1)5的展開式中，

x

5的系數(shù)

為

?.[解析]

(

x

2－

x

＋1)5可以看作5個因式(

x

2－

x

＋1)相乘，要想得到含

x

5的項，可分

三種情況：①5個因式中選2個因式取

x

2，1個因式?。?/p>

x

，2個因式取1；②5個因式中選1個因式取

x

2，3個因式?。?/p>

x

，1個因式取1；

－51

1234567891011121314151617189.[2023湖北十堰6月統(tǒng)考](2

x

＋11)10的展開式中系數(shù)最大的項是第

項.

10

123456789101112131415161718

7

123456789101112131415161718

5(答案不唯一，

n

＝5

k

，

k

∈N*均可)

12345678910111213141516171812.若

x

8＝

a

0＋

a

1(

x

＋1)＋

a

2(

x

＋1)2＋…＋

a

8(

x

＋1)8，則

a

3＝

?.

－56

123456789101112131415161718

13.(1＋

x

)2＋(1＋

x

)3＋…＋(1＋

x

)9的展開式中

x

2的系數(shù)是(

D

)A.60B.80C.84D.120

D123456789101112131415161718

A.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B.第6項的系數(shù)最大C.存在常數(shù)項D.有理項共有6項BCD123456789101112131415161718

選

項分析過程正誤A?B由題意知展開式共11項，故第6項的系數(shù)最大√C√D當(dāng)r＝0，2，4，6，8，10時，為有理項，故有理項共有6項√123456789101112131415161718

－3

12345678910111213141516171816.[2023成都模擬](5－3

x

＋2

y

)

n

展開式中不含

y

的項的系數(shù)和為64，則展開式中的

常數(shù)項為

?.

15625

123456789101112131415161718

17.[數(shù)學(xué)文化]“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最

早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).“楊輝三角”

是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)了一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望.如圖，

由“楊輝三角”，下列敘述正確的是(

D

)楊輝三角第0行

1第1行

1

1第2行