3.1 函數(shù)的概念及表示（原卷版）

.1函數(shù)的概念及表示知識點(diǎn)一函數(shù)的概念【【解題思路】1.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法（1）任取一條垂直于x軸的直線l；（2）在定義域內(nèi)平行移動直線l；（3）若l與圖形有且只有一個交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個或兩個以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).2判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法【例1-1】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）下圖中可表示函數(shù)的圖象是（

）A．B．C． D．【例1-2】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）設(shè),如下選項(xiàng)是從M到N的四種應(yīng)對方式,其中是M到N的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【例1-3】（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知，，下列對應(yīng)關(guān)系不能作為從到的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式】1．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）（多選）下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的有（

）A．B．C．D．2．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）（多選）對于集合，由下列圖形給出的對應(yīng)中，不能構(gòu)成從到的函數(shù)有（

）

A．① B．② C．③ D．④3．（23-24高一上·浙江湖州·階段練習(xí)）（多選）下列對應(yīng)關(guān)系：是集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，4．（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）（多選）下列對應(yīng)關(guān)系是從到的函數(shù)的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，知識點(diǎn)二區(qū)間的表示【【解題思路】用區(qū)間表示數(shù)集的方法(1)區(qū)間左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值．(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開．(3)含端點(diǎn)值的一端用中括號，不含端點(diǎn)值的一端用小括號．(4)以“－∞”，“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號．【例2-1】（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．用區(qū)間可表示為 B．用區(qū)間可表示為C．用集合可表示為 D．用集合可表示為【例2-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若為一確定區(qū)間，則的取值范圍為.【變式】1．（22-23高一·全國·課堂例題）用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．2．（2024湖北）已知區(qū)間[－2a，3a＋5]，則a的取值范圍為．知識點(diǎn)三函數(shù)的定義域【【解題思路】1.具體函數(shù)的定義域（1）分式：分母不等于零（2）根式：根式是偶次根式。根號內(nèi)的式子不小于零（3）0次方：一個數(shù)的0次方等于1，這個數(shù)不能為02.求抽象函數(shù)的定義域的策略（1）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；（2）若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域．口訣：對應(yīng)法則不變，括號內(nèi)等范圍3.求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題（1）不要對解析式進(jìn)行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；（2）定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．【例3-1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．【例3-2】．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，求下列函?shù)的定義域：①；②.（2）函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域.【例3-3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一下·廣東汕頭·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．{且} B．{且}C． D．{且}2．（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)的定義域是．3．（23-24高二下·上?！て谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．6．（23-24遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．知識點(diǎn)四相等函數(shù)【【解題思路】判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)（1）定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中都相同時，為同一個函數(shù)（2）在化簡解析式時，必須是等價變形.【例4-1】（2024浙江·學(xué)業(yè)考試）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．與【例4-2】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式】1．（23-24高一上·安徽阜陽·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·山東淄博·期中）（多選）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與4．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）（多選）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．與 B．與C．與 D．與知識點(diǎn)五函數(shù)的表示方法【【解題思路】函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系【例5-1】（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分與的對應(yīng)關(guān)系如下表：則（

）0123432100A． B． C． D．3【例5-2】（23-24高一上·山東·期中）下圖的四個圖象中，與下述三件事均不吻合的是（

）（1）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；（2）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；（3）我從家出發(fā)后，心情輕松，一路緩緩加速行進(jìn).A．

B．

C．

D．

【變式】1．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)分別由下表給出：則的值是（

）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和22．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（

）．123230

A．3 B．2 C．1 D．03．（23-24山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時針方向勻速走了一圈，則小明到點(diǎn)的直線距離與他從點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動的時間之間的函數(shù)圖象大致是（

）A．B．C．D．知識點(diǎn)六分段函數(shù)【例6-1】（23-24陜西西安·期中）設(shè)．(1)求的值；(2)若，求t值.【例6-2】（22-23高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡圖；(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；【變式】1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知函數(shù)(1)求；(2)若，求a的取值范圍.2．（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)利用描點(diǎn)法直接在所給坐標(biāo)系中作出的簡圖（不用列表）.3．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中y軸的左側(cè)為一條線段，右側(cè)為某拋物線的一段．

(1)寫出函數(shù)的解析式、定義域和值域；(2)求，的值．重難點(diǎn)一函數(shù)的解析式【【解題思路】1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.【例7】（24-25高一上·上海·課堂例題）（1）已知是一次函數(shù)，且，求的表達(dá)式；（2）已知，求的表達(dá)式；（3）已知，求的表達(dá)式；（4）已知，求的表達(dá)式．【變式】1．（23-24高一上·湖北·期中）已知，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．（）C．（） D．（）2．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）若函數(shù)，則．3．（23-24高一上·上?！て谥校┮阎?，則．4．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求的表達(dá)式；（2）已知，求的表達(dá)式；（3）已知，求的表達(dá)式．重難點(diǎn)二作函數(shù)圖像【例8】（23-24廣東深圳）作出下列函數(shù)的圖象.(1)；(2)；(3)．(4)(5)，（6）【變式】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）作出下列函數(shù)的草圖．(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）單選題1.（203·江蘇揚(yáng)州）下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．53．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若，則（

）A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或5．（2023·山東）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，6．（22-23高一上·浙江·期中）已知，則說法不正確的是（

）A． B．C． D．當(dāng)，7．（2024·北京）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．以上答案都不對8．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，其中，函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5多選題9．（2023·云南）下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

10．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．11．（2023-2024·高一課時練習(xí)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y（km）與時間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為D．當(dāng)30≤x≤60時，y與x的關(guān)系式為填空題12．（24-25高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）下列四種說法中，不正確的是（填序號）．①在函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應(yīng)；②函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合；③定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了；④若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素．13．（23-24高一上·天津紅橋·期中）已知函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)值時，.14．（23-24高一上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知函數(shù)和分別由下表給出，則，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為.1234514916252345613245解答題15．（23-24高一上·江西贛州·期末）設(shè)函數(shù)．(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象；(2)解不等式．16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．17．（23-24高一上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）分別根據(jù)下列兩個實(shí)際背景(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)求函數(shù)的值域.背景1：在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過付郵資80分，超過不超過付郵資160分，超過不超過付郵資240，依此類推，每的信應(yīng)付郵資（單位：分）.背景2：如圖所示，在邊長為2的正方形的邊上有一個動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)沿折線.移動一周后，回到點(diǎn).設(shè)點(diǎn)移動的路程為，的面積為.

18．（2023秋·高一單元測試）水培植物需要一種植物專用營