江蘇無錫市玉祁高級中學2024-2025學年高三上學期第一次月考數(shù)學試卷+

江蘇無錫市玉祁高級中學2024-2025學年高三數(shù)學上第一次月考試卷一．選擇題（共7小題）1．某校A、B、C、D、E五名學生分別上臺演講，若A須在B前面出場，且都不能在第3號位置，則不同的出場次序有（）種．A．18 B．36 C．60 D．722．對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為r1，，，第二組對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為r2，，，則（）A．若r1＞r2，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強 B．若，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強 C．若，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好 D．若，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好3．有5個相同的球，其中3個紅色、2個藍色，從中一次性隨機取2個球，則下列說法正確的是（）A．“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球“是互斥事件 B．“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件 C．“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率 D．“至多取到1個紅球“的概率大于“至多取到1個藍球“的概率

4．對于一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D，其中n（Ω）＝60，n（A）＝30，n（B）＝10，n（C）＝20，n（D）＝30，n（A∪B）＝40，n（A∩C）＝10，n（A∪D）＝60，則（）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立 C．C與D互斥 D．A與C相互獨立5．擲紅藍兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A1：紅骰子的點數(shù)為2，A2：紅骰子的點數(shù)為3，A3：兩個骰子的點數(shù)之和為7，A4：兩個骰子的點數(shù)之和為9，則（）A．A1與A2對立 B．A3與A4不互斥 C．A1與A3相互獨立 D．A2與A4相互獨立6．拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個正面”“兩個正面一個反面”“兩個反面一個正面”分別為事件A，B，C，則下列說法錯誤的是（）A．事件A，B，C兩兩互斥 B． C．P（B）+P（C）＝4P（A） D．事件A+B，B+C相互獨立

7．甲箱中有3個黃球、2個綠球，乙箱中有2個黃球、3個綠球（這10個球除顏色外，大小、形狀完全相同），先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，記事件ABC分別表示事件“取出2個黃球”，“取出2個綠球”，“取出一黃一綠兩個球”，再從乙箱中摸出一球，記事件D表示摸出的球為黃球，則下列說法正確的是（）A．A，B是對立事件 B．事件B，D相互獨立 C． D．二．多選題（共4小題）（多選）8．設(shè)a為常數(shù)，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），則（）A． B．恒成立 C．f（x+y）＝2f（x）f（y） D．滿足條件的f（x）不止一個（多選）9．第一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，第二組樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝2xi﹣1（i＝1，2，…，n），則（）A．第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍 B．第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍 C．第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差的2倍 D．第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍

（多選）10．已知在伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），我們稱將試驗進行至事件A發(fā)生r次為止，試驗進行的次數(shù)X服從負二項分布，記作X～NB（r，p），則下列說法正確的是（）A．若，則，k＝1，2，3，… B．若X～NB（r，p），則P（X＝k）＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，… C．若X～NB（r，p），Y～B（n，p），則P（X≤n）＝P（Y≥r） D．若X～NB（r，p），則當k取不小于的最小正整數(shù)時，P（X＝k）最大（多選）11．某校體育活動社團對全校學生體能情況進行檢測，以鼓勵學生積極參加體育鍛煉．學生的體能檢測結(jié)果X服從正態(tài)分布N（75，81），其中60為體能達標線，90為體能優(yōu)秀線，下列說法正確的有（）附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．A．該校學生的體能檢測結(jié)果的期望為75 B．該校學生的體能檢測結(jié)果的標準差為81 C．該校學生的體能達標率超過0.98 D．該校學生的體能不達標的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等三．填空題（共4小題）12．若直線y＝kx+b（b＜0）是曲線y＝ex﹣2的切線，也是曲線y＝lnx的切線，則b＝．

13．“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如下：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點間的曼哈頓距離d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知M（4，6），點N在圓C：x2+y2+6x+4y＝0上運動，若點P滿足d（M，P）＝2，則|PN|的最大值為．14．隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”火遍全國．現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮”、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為．（用數(shù)字作答）15．曲線在點M（﹣π，0）處的切線方程為．

四．解答題（共2小題）16．為考察藥物M對預(yù)防疾病A以及藥物N對治療疾病A的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗．根據(jù)100個簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物M疾病A合計未患病患病未服用301545服用451055合計7525100（1）依據(jù)α＝0.1的獨立性檢驗，分析藥物M對預(yù)防疾病A的有效性；（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取1只，用藥物N進行治療．已知藥物N的治愈率如下：對未服用過藥物M的動物治愈率為，對服用過藥物M的動物治愈率為．若共選取3次，每次選取的結(jié)果是相互獨立的．記選取的3只動物中被治愈的動物個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：，n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828

17．某大學數(shù)學建模社團在大﹣新生中招募成員，由于報名人數(shù)過多，需要進行選拔．為此，社團依次進行筆試、機試、面試三個項目的選拔，每個項目設(shè)置優(yōu)、良、中三個成績等級；當參選同學在某個項目中獲得“優(yōu)“或“良”時，該同學通過此項目的選拔，并進入下一個項目，否則該同學在此項目中不通過，且不能參加后續(xù)的項目，通過了全部三個項目的同學進入到數(shù)學建模社團．現(xiàn)有甲同學參加數(shù)學建模社團選拔，已知該同學在每個項目中得優(yōu)、良、中的概率都分別為，，，且甲在每個項目中的成績均相互獨立．（1）求甲能進入到數(shù)學建模社團的概率；（2）設(shè)甲在本次數(shù)學建模社團選拔中恰好通過X個項目，求X的概率分布及數(shù)學期望．

參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：先排3號位置，有3種方法，其它位置任意任意排，再除以AB的順序數(shù)，故有3?＝36種不同的出場次序，故選：B．2．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若|r1|＞|r2|，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強，A錯誤；對于B，若，必有|r1|＞|r2|，則第一組變量比第二組的線性相關(guān)關(guān)系強，B正確；對于C，若，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好，C錯誤；對于D，若，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好，D錯誤．故選：B．3．【解答】解：有5個相同的球，其中3個紅色、2個藍色，從中一次性隨機取2個球，對于A，“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球“能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，“至少取到1個紅球”的概率P＝＝0.9，“至少取到1個藍球”的概率P＝＝0.7，∴“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率，故C正確；對于D，“至多取到1個紅球”的概率P＝＝0.7，“至多取到1個藍球”的概率P＝＝0.9，∴“至多取到1個紅球“的概率小于“至多取到1個藍球“的概率，故D錯誤．故選：C．4．【解答】解：∵n（A）＝30，n（B）＝10，n（A∪B）＝40，∴n（A∪B）＝n（A）+n（B），∴A與B互斥，故A錯誤；由n（A∪D）＝n（A）+n（D）＝n（Ω）＝60，A、D互斥且對立，故B錯誤；n（C）＝20，n（A∩C）＝10，則n（D∩C）＝10，C與D不互斥，故C錯誤；由P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（A∩C）＝＝，∴P（A∩C）＝P（A）P（C），∴A與C相互獨立，故D正確．故選：D．5．【解答】解：對于A，事件A1：紅骰子的點數(shù)為2，A2：紅骰子的點數(shù)為3，A1與A2互斥但不對立，因為紅骰子的點數(shù)還有其他情況，比如4，A錯誤；對于B，A3：兩個骰子的點數(shù)之和為7，A4：兩個骰子的點數(shù)之和為9，A3與A4不可能同時發(fā)生，故A3與A4互斥，B錯誤；對于C，兩個骰子的點數(shù)之和為7的情況有1+6＝2+5＝3+4＝4+3＝5+2＝6+1，則，所以P（A1）P（A3）＝P（A1A3），所以A1與A3相互獨立，C正確；對于D，兩個骰子的點數(shù)之和為9的情況有3+6＝4+5＝5+4＝6+3，，所以P（A2）P（A4）≠P（A2A4），D錯誤．故選：C．6．【解答】解：拋擲三枚硬幣，若記出現(xiàn)“三個正面”“兩個正面一個反面”“兩個反面一個正面”分別為事件A，B，C，對于A，事件A，B，C中任意兩個事件都不能同時發(fā)生，∴事件A，B，C兩兩互斥，故A正確；對于B，P（A）+P（B）+P（C）＝＝，故B正確；對于C，P（B）+P（C）＝＝，P（A）＝，∴P（B）+P（C）≠4P（A），故C錯誤；對于D，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝，P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝，P[（A+B）（B+C）]＝P（B）＝＝P（A+B）P（B+C），故D正確．故選：C．7．【解答】解：事件A與事件B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故A錯誤；事件B發(fā)生與否，影響事件D，∴事件B，D不是相互獨立事件，故B錯誤；P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝++＝，故C正確；P（CD）＝P（C）P（D|C）＝＝，故D錯誤．故選：C．二．多選題（共4小題）8．【解答】解：令x＝y(tǒng)＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），結(jié)合f（0）＝，解得f（a）＝，故A正確；令y＝0，原式化為f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正確；再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函數(shù)值非負，令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）＝（負值舍去），故B正確；所以僅有一個函數(shù)關(guān)系式f（x）＝滿足條件，故D錯誤．故答案為：ABC．9．【解答】解：A中，由yi＝2xi﹣1可得，第二組數(shù)的平均數(shù)＝2﹣1，所以A不正確；B中，由yi＝2xi﹣1可得第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍減1，所以B不正確；C中，第一組的標準差S1＝，第二組的標準差S2＝＝＝2＝2S1，所以C正確；D中，由yi＝2xi﹣1可知第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍，所以D正確．故選：CD．10．【解答】解：對于A選項，因為X，則P（X＝K）＝，故A對；對于B選項，因為X～NB（r，p），則P（X＝k）＝pr﹣1（1﹣p）k﹣rp＝pr（1﹣p）k﹣r，k＝r，r+1，r+2，?，故B錯；對于C選項，因為從{1，2，?，n}中取出r+j（0≤j≤n﹣r）個數(shù)a1＜a2＜?＜ar+j的取法有種，這些取法可按ar的值分類，即ar＝r+i（0≤i≤n﹣r﹣j）時的取法有種，所以，，因為X～NB（r，p），Y～B（n，p），設(shè)q＝1﹣p，則p+q＝1，所以＝＝＝＝P（Y≥qr），故C對；對于D選項，因為X～NB（r，p），P（X＝k）最大，則，所以，解得，所以，當k取不小于的最小正整數(shù)時，P（X＝k）最大，故D對．故選：ACD．11．【解答】解：對于A，該校學生的體能檢測結(jié)果的期望為μ＝75，故A正確，對于B，該校學生的體能檢測結(jié)果的標準差為σ＝，故B錯誤，對于C，∵μ﹣2σ＝75﹣18＝57＜60，∴P（X＞60）＜P（X＞μ﹣2σ）＝＜ξ＜μ+2σ）＝0.9772，故C錯誤，對于D，∵60+90＝2μ，∴P（X≤60）＝P（X＞90），∴該校學生的體能不達標的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等，故D正確．故選：AD．三．填空題（共4小題）12．【解答】解：設(shè)y＝kx+b與y＝ex﹣2和y＝lnx的切點分別為（x1，）、（x2，lnx2）；由導數(shù)的幾何意義可得k＝＝，曲線y＝ex﹣2在（x1，）處的切線方程為y﹣＝（x﹣x1），即y＝，曲線y＝lnx在點（x2，lnx2）處的切線方程為y﹣，即，則，∴，解得x2＝1，或x2＝e．當x2＝1時，切線方程為y＝x﹣1，即b＝﹣1，當x2＝e時，切線方程為y＝，不合題意，∴b＝﹣1．故答案為：﹣1．13．【解答】解：M（4，6），點N在圓C：x2+y2+6x+4y＝0上運動，若點P滿足d（M，P）＝2，由題意得，圓C：（x+3）2+（y+2）2＝13，圓心C（﹣3，﹣2）設(shè)點P（x0，y0），則|x0﹣4|+|y0﹣6|＝2，∴點P的軌跡為如下所示的正方形，其中A（4，8），B（6，6），∴|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴．故答案為：．14