高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

第3講等比數(shù)列及其前A項(xiàng)和

考點(diǎn)回顧考綱解讀考向預(yù)測(cè)

年份卷型考點(diǎn)題號(hào)分值

2019年等比數(shù)列為必考內(nèi)容，主

1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的概念判斷數(shù)列

2017I等比數(shù)列1712要類型有：①等比數(shù)列基本運(yùn)算；②等

是否為等比數(shù)列.

比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用；③等比數(shù)列的求和與

2016III等比數(shù)列17122.會(huì)熟練地利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、

最值；④等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合；⑤

前n項(xiàng)和公式及其相關(guān)性質(zhì)解題.

等比數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合.

2015II求數(shù)列的項(xiàng)135

板塊一知識(shí)梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識(shí)］

考點(diǎn)1等比數(shù)列的有關(guān)概念

1.定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為

1

丁/

2.等比中項(xiàng)

如果a,G,6成等比數(shù)列，那么互叫做a與6的等比中項(xiàng).即：G是a與人的等比中項(xiàng)

<=>a,G,b成等比數(shù)列=《=ab(ab#O).

考點(diǎn)2等比數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項(xiàng)公式：atl=a\Q~\

na,<7=1,

Ia(l—a\—

［必會(huì)結(jié)論］

等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a.=ar(T5,?GN*).

(2)若〃+〃=p+o=2★(如n,p,q,AGN*),則aja”=a。?a°=a：

⑶若數(shù)列｛&｝,㈤(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝!尚，｛描，｛a“?4｝,熱4W0)

仍然是等比數(shù)列.

(4)在等比數(shù)列｛a｝中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為,&+*,a-,a?

+3”…為等比數(shù)列，公比為/

(5)公比不為一1的等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S”則S,宓一S,甌一甌仍成等比數(shù)列，

其公比為Q.

4>0,或，g時(shí)，3｝是遞增數(shù)列；滿足low或

(6)等比數(shù)列｛2｝滿足

?！?

水0,

時(shí)，｛a.｝是遞減數(shù)列.

">1

［考點(diǎn)自測(cè)］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)

列.()

(2)滿足a.+,=g,,(〃GN*,。為常數(shù))的數(shù)列｛a,,｝為等比數(shù)列.()

(3)。為a,6的等比中項(xiàng)od=a6.()

(4)如果｛a｝為等比數(shù)列，6“=a2i+的”則數(shù)列｛"｝也是等比數(shù)列.()

(5)如果數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛Ina｝是等差數(shù)列.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)X

2.［2018?河南名校聯(lián)考］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a.｝中，&=3,曲,則公

比g的值為()

A.72B.小C.2D.3

答案D

解析由國(guó)=a全&得aq'=a",所以/=狀，因?yàn)榈缺葦?shù)列｛a.｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，所

以0=句=3.故選D.

3.［課本改編］等比數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S,己知S=&2+10a,a=9,則8=()

1111

A-3B--3C-9D'_9

答案C

解析由已知條件及S=a+檢+a3,得&=9&,設(shè)數(shù)列｛a0｝的公比為g,則/=9.

所以8=9=a?/=81&,得&=，.故選C.

4.［2018.黃岡調(diào)研］設(shè)等比數(shù)列｛a｝中，公比k2,前〃項(xiàng)和為S”則細(xì)值()

77

145C_-

B.4D.2

答案A

ai(l-4)

解析根據(jù)等比數(shù)列的公式,得"三*=懸=言3=學(xué)

5.[2015?全國(guó)卷I]在數(shù)列｛&｝中，4=2,“尸2a,S為｛品｝的前〃項(xiàng)和.若S,=126,

則n=.

答案6

解析,**51=2,切葉1=2&,

?,?數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

又???$=126,???一~~~=126,：.n=&,

1—2

6.[2018?衡中檢測(cè)]在等比數(shù)列｛a｝中，若a一々=6,這一2=15,則&=__.

答案4或一4

解析設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為g(gWO),則

E/—ag=6,Q9i

\4r兩式相除，得TZjT^=E，即2——5q+2=0,解得g=2或9=5.

[.a<2-a=15,1+<752

,,fa=-16,

1—1(

所以《c或彳1故a=4或&=-4.

[g=2g=].

板塊二典例探究?考向突破

考向四等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1(1)12017?全國(guó)卷H]我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍

巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共

掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

答案B

解析設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a,七層塔的總燈數(shù)為S,公比為g,則由題意知S=381,

(7=2,.?.￡=叫—。)一曰1-：)=381,解得團(tuán)=3.故選B.

1—q1—2

7

(2)[2017?江蘇高考]等比數(shù)列｛區(qū)｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前〃項(xiàng)和為Sn.己知&=-,&

63小

=彳，則38=.

答案32

解析設(shè)｛a,,｝的首項(xiàng)為a“公比為°,

'a(1-d)_7

l—q一“

則《

ai(l—Q)63

、1—q4

兩式相除得那=(1_3)(:+/)=[

'_1

解得一一7所以a="x2，=2s=32.

。=2,

觸類旁通

等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量&,n,q,a,”

$,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)所求問(wèn)題可迎刃而解.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是

熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)

化運(yùn)算的過(guò)程.

【變式訓(xùn)練1】(D[2018?東北師大附中月考]已知等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S”a,

+83=5，且生+劭=彳，則(=()

24&

A.4"-'B.4"一1C.2"-'D.2"-1

答案D

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為g,由題意，

Iai(l+/)='!，

ax—2,

<一解得《1

,,5q=.

ai式1+。)=?

則a,,=a-(3'T=券’Sk；=吟口所以?=2"-1.故選D.

1-2

(2)[2018?安徽皖江名校聯(lián)考]已知$是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a〃｝的前n項(xiàng)和，若

愚?a=16,Ss=7j貝！J徐=.

答案128

解析?.?4?&=扇=16,??.&=4（負(fù)值舍去），

4,

22（1-/）了（1+。）（1一。）

"：a=axq=\,W=7,：.q^l,~~=-------:------------=3,

31—q1—q

22

，3/—4q—4=0,解得g=一鼻或g=2,Va^O,.??,=一可舍去，:.q=2,ai=l,:.

OO

a=2'=128.

考向2等比數(shù)列的性質(zhì)

▼施題角.度.L…笠比數(shù)列.性質(zhì)的應(yīng)用

例2(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，。同外=5,4備麴=10,則國(guó)&5戊=

()

A.572B.7C.6D.4m

答案A

解析(aa續(xù))X(a7a84)=/=50,a新小=d=5y[2.選A.

⑵等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,若為＞0,q〉l,&+&=20,a2a6=64,則&=________.

答案31

解析&a=&&=64,因?yàn)閊4-55=20,所以&和&為方程/—20^+64=0的兩根，

因?yàn)槠罚?,q＞l,所以的＜a，所以戈=16,劣=4,所以q=\^=、J^=2,所以4=我=

41-o'

1=1,所以&=-j=31.

41—g

2位題角度2.…笠比數(shù)列前4項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝中，前〃項(xiàng)和為S,,已知￡=8,$=7,則與+a+麴等于()

A—1D--1r——57n——55

8888

答案A

解析因?yàn)樯?2+a&=S—矣，且S,$—W,W—W也成等比數(shù)列，即8,—1,$一

友成等比數(shù)列，所以8($-&)=1,即$一冬=4.故選A.

O

⑵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S,若S,=2,￡,,=14,則S”等于()

A.80B.30C.26D.16

答案B

解析由題意知公比大于0,由等比數(shù)列性質(zhì)知S,S〃一S”S“一S",幾一W",…仍為

等比數(shù)列.

設(shè)S〃=x,則2,*—2,14—x成等比數(shù)列.

由(X-2)2=2X(14—x),

解得x=6或x=-4(舍去).

:*Sn,SzLS",Sin-Sin,S^—Sin,…是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

又'；W"=14,.?.￡“=14+2X23=30.故選B.

觸類旁通

等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題

(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是

前〃項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的

突破口.

(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要.

等比數(shù)列的判定與證明

例4[2018?蘭州模擬]已知數(shù)列｛a｝滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,均有&+尸5&-2?3”,

且團(tuán)=8.

(1)證明：數(shù)歹U｛a“一3"｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記b,.=^,求數(shù)列｛&,｝的前n項(xiàng)和T...

O

解(1)因?yàn)閍0+i=5a"-2?3”,

,1

所以an+i-3"=5a?-2?3"—3”'=5(a〃-3"),

又國(guó)=8,所以四一3=5W0,

所以數(shù)列｛&-3"｝是首項(xiàng)為5、公比為5的等比數(shù)列.

所以a“-3"=5",所以&=3"+5".

(2)由(1)知，兒=^=%2=1+得"，

JJ\O/

則數(shù)列伍｝的前"項(xiàng)和7；=1+^0+1+^|^---Fl+^0—/?+------—

5

2,

觸類旁通

等比數(shù)列的判定方法

⑴定義法：若吧=q(Q為非零常數(shù)，"GN*)或匹=q(q為非零常數(shù)且后2,〃3*),

QnQn—\

則｛&｝是等比數(shù)列.

（2）等比中項(xiàng)公式法：若數(shù)列｛a｝中，a“WO且成+i=a“?&+式〃6“），則數(shù)列｛a｝是等比

數(shù)列.

（3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成a,,=c?g''（c,q均是不為0的常數(shù)，〃GN"）,

則｛&｝是等比數(shù)列.

（4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S?=k-Q-k（k為常數(shù)且寧0,q#0,1）,

則｛a〃｝是等比數(shù)列.

提醒前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中.

【變式訓(xùn)練2]已知數(shù)列｛2｝滿足2a+4a+…+2>”=必產(chǎn).

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和T?.

解（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，由2al=1,得ai=g,

當(dāng)時(shí)，由24+4a2H----卜2'2"=網(wǎng)"：得

2a1+4a2H-----F2"'

于是2"a產(chǎn)至產(chǎn)―一：

整理得又&符合上式,

所以數(shù)歹曙）是等比數(shù)歹人

辦北=1X(5+2X?2+3X(5+…+〃X圖,①

（2）由（1）得，an=n

》=，出+2義映+3*/+…+〃X&。②

由①一②得》,=（/+&）+（））+（5+…+（3"一〃義(1)

"=2-2X8〃—

即T=\+◎HIM處…+凱-nX

n1

1—

2

MR-崇

,----------------------'。幺師簽記?[怫領(lǐng)惜I--------------------------------------------------------------------------------------------------

IMIN<(Sllini|lCx^CalllKAtJKCiVl1

。核心規(guī)律

1.已知d、q、n、&、S,中的任意三個(gè)，即可求得其余兩個(gè)，這體現(xiàn)了方程思想.

2.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法，其他方法用于選擇、填空題中的

判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

。滿分策略

1.求解等比數(shù)列的問(wèn)題，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用以減少運(yùn)算量，而提高解題速度.

2.在運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與q于1分類討論，防止因忽略

9=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

易錯(cuò)警示系列7——數(shù)列中的思維定式致誤

[2018?武漢檢測(cè)]已知等比數(shù)列｛d｝中加=1,則其前3項(xiàng)的和S的取值范圍是()

A.(—8,—1]B.(一8,0)U[1,+8)

C.[3,+°°)D.(-8,-1]u[3,+8)

錯(cuò)因分析本題易錯(cuò)的原因是受Q>0的思維定式的影響，遺漏當(dāng)晨0時(shí)的情況，認(rèn)為

S='+1+q23.

(7

解析因?yàn)榈缺葦?shù)列｛&｝中az=l,設(shè)其公比為q,所以$=&+勿+@3=電e+1+，=1

+g+‘.

Q

當(dāng)公比°>0時(shí)，S=l+?+->l+2A/9?-=3,當(dāng)且僅當(dāng)°=1時(shí)，等號(hào)成立；

q\]Q

當(dāng)公比※0時(shí)，s=l一2、/—q?(一：)=—1,當(dāng)且僅當(dāng)9=—1時(shí)，等

號(hào)成立.

所以￡6(—8,-1]U[3,+8).

答案D

答題啟示等比數(shù)列的公比60時(shí)，相鄰兩項(xiàng)一定異號(hào)?，相隔一項(xiàng)的兩項(xiàng)符號(hào)一定相同;

等比數(shù)列的公比00時(shí)，數(shù)列中的各項(xiàng)符號(hào)相同；用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時(shí)，如果其公比

<7不確定，要分4=1和兩種情況進(jìn)行討論.

,跟蹤訓(xùn)練

已知｛&｝為等比數(shù)列，51+57=2,全景=-8,則d+前)=()

A.7B.5C.-5D.-7

答案D

f&+a?=2,

解析由已知得C

1a5戊=。1&=-8,

a=4,<3i=-2,

解得或一

@_2n_4.

當(dāng)劭=4,a?=—2時(shí)，易得~~—8,3io=1>

從而8+功0=-7；

當(dāng)a=-2,&=4時(shí)，易得Hio=-8,a=1,

從而a+aio=-7.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.在等比數(shù)列｛a｝中，$表示前"項(xiàng)和，若as=2S+l,&=2W+1,則公比q等于()

A.3B.-3C.-1D.1

答案A

解析兩等式相減得科一a3=2a,從而求得且=3=°.故選A.

出

2.已知等比數(shù)列｛a｝滿足&&=4(a-1),則&=()

11

2BC--

A.2D.8

答案c

解析設(shè)等比數(shù)列｛8｝的公比為q,必=1,&&=4(a—1),由題可.知月1,則a\q?axq

=4(國(guó)/—1),,6=4(；X/—1),二^—160'+64=O,/.(^3—8)2=0,q=8,/.q

=2,，/二號(hào)故選。

3.[2018?江西九江一模]已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛a｝中，/?a=16,a+e=10,

則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和5=()

A.2〃T—；B.

C.2"-1D.2"+1-2

答案B

解析因?yàn)閍-a6=16,所以a3?全=16,又33+35=10,等比數(shù)列｛a,,｝單調(diào)遞增，所

11K

15。-2)1

以桀=2,a$=8,所以公比g=2,團(tuán)=萬(wàn)，所以==_J_?=2"T_].故選.

4.[2018?延慶模擬]等差數(shù)列｛aj的公差為2,若念，&,,成等比數(shù)列，則｛aj的前

"項(xiàng)和￡=()

A./?(/?+1)B./7(/?—1)

Cm+1)D-〃-1)

答案A

解析?:改,a”a成等比數(shù)列,

=

**?ci\Q：I?3&,即(囪+3-2=(8+4(a+7d),

將d—2代入上式，解得ai=2,

S,=2〃+?'"W----=/?(/?+1).故選A.

5.［2015?全國(guó)卷H］已知等比數(shù)列｛a｝滿足ai=3,劭+曲+戊=21,則由+&+胡=

()

A.21B.42C.63D.84

答案B

解析設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為仍則&(1+不+/)=21,又功=3,所以/+/-6=0,

所以q2=2(/=—3舍去)，所以用=6,55=12,4=24,所以曲+&5+e=42.故選B.

1Q

6.已知｛a｝為等比數(shù)列，S是它的前〃項(xiàng)和.若2%=彳頊，且國(guó)與4的等差中項(xiàng)為曰

4o

則W等于()

A.35B.33C.31D.29

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比是S所以為&=備6=［國(guó)，得功成=3,即生=土.又8+

Z1

4

\-

助=2X*解得&=2,所以，琮所以詞,a=16,故&罟與32

31.故選C.

7.［2018?昆明模擬］設(shè)$，是等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，若微=3,則搟=()

02OI

73

A.2B.-C.-D.1或2

答案B

解析設(shè)S=hS=3k由數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，得S,S—S,W—S為等比數(shù)列，

:?Sz=k,S、一&=2k,4-&=4h

.?.&=7A,S=34,?4=咎=］故選民

S\3k3

8.已知數(shù)列1,4,a%9是等差數(shù)列，數(shù)列1,4，&,公9是等比數(shù)列，則七一的值

旬十愈

為.

答案而

解析因?yàn)?,國(guó)，@,9是等差數(shù)列，所以4+4=1+9=10.又1,b\,MA9是等比

數(shù)列，所以8=1X9=9,易知壇>0,所以慶=3,所以/-=磊.

國(guó)十410

9.商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,

最高銷售限價(jià)6（力a）以及實(shí)數(shù)x（0〈水1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x（b—a）.這里，x被稱為

樂(lè)觀系數(shù).經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得（c—a）是（6—c）和（6—a）的等比中項(xiàng).據(jù)此

可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)x的值等于.

外軍T+,

112

解析已知解一a）是知一。）和是一a）的等比中項(xiàng),即（c—a）2=（8—c）（6一a）,把c=a

+x（6一a）代入上式,得/（力一a）'=[力一a—x（6—a）]式—a）,即x｛b—a）2=（1—x）（/?—a）2.

因?yàn)椤?gt;a,所以b—aHO,所以V=l—x,即V+x—1=0,解得x=-1；"或x=—]2鄧

（舍去）.

10.等比數(shù)列｛a｝滿足：對(duì)任意〃《22（4+2-&）=3%+i,&+1>&,則公比q=________.

答案2

解析由題知2（4/-4）=3&g,即2/—3g—2=0,解得。=2或g=一/又為+1>d，

故q=2.

[B級(jí)知能提升]

1.已知等比數(shù)列｛a/的前〃項(xiàng)和為S=x?3"T一1，則x的值為（）

6

1111

民C

3--3-2-D.-2-

答案c

1V1

解析解法一：???$=才?3'1_￡=[?3”—￡,

636

由上述結(jié)論，得事=3'

解法二：當(dāng)〃=1時(shí)，akS=T

當(dāng)"22時(shí)，a?=S-S?-x=2x?3"7.

：｛4｝是等比數(shù)列，."=1時(shí)也應(yīng)適合a,=2『3