2020-2021學年河南省頂尖名校高二下學期5月聯(lián)考數(shù)學理試題解析版

2020-2021學年河南省頂尖名校高二下學期5月聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用復數(shù)的除法化簡，再利用復數(shù)的模公式求解.【詳解】，.故選：B.2．已知全集為，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合A，B，然后根據(jù)集合補集和并集的定義求解.【詳解】解：，則.故選D.3．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先畫出不等式組滿足的平面區(qū)域，然后求解即可.【詳解】作出實數(shù)，滿足，所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，其中，，，作直線，平移直線，當其經(jīng)過點時，有最大值，即.故選：D．4．已知，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式可得，求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求出答案．【詳解】解：由題可知，即，，，，，故選：A．5．曲線在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，，又，所求切線方程為，即.故選：C.6．設，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，，與0,1的大小關(guān)系，最后比較，，的大小即可.【詳解】因為，則，，的大小關(guān)系為，故選C．7．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看成個因式的乘積形式，先從個因式中，選出個得到，再從剩余的個中選出個得到，其余的個得到，再利用分步計數(shù)原理求解.【詳解】把看成個因式的乘積形式，從個因式中，選出個因式得到，選法有種；再從剩余的個因式中選出個因式得到，選法有種；其余的個因式得到，選法有種.根據(jù)分步計數(shù)原理得的系數(shù)是.故選：B.8．設，分別為雙曲線的左、右焦點．若為右支上的一點，且為線段的中點，，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再由雙曲線定義可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.【詳解】由題意可得，由雙曲線定義可得，則，．在中，，又，，整理可得，即，解得或（舍去）．故選：B9．過圓內(nèi)一點作一弦交圓于、兩點，過點、分別作圓的切線、，兩切線交于點，則點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設點坐標為，寫出以為直徑的圓的方程，作差求得公共弦所在直線的方程，將點代入方程，由此得出結(jié)論．【詳解】解：設點坐標為，根據(jù)圓的直徑式方程知，以為直徑的圓的方程為，兩圓方程作差可得公共弦的方程為，而在直線上，，故點的軌跡方程為，故選：C．10．已知是方程的解，是方程的解，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，令，則有，則由題可知，就是直線與曲線，交點的橫坐標，由反函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得【詳解】在中，令，則有，因為與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.依題意可知，就是直線與曲線，交點的橫坐標，所以，所以，即.故選：C.11．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接，，，.則在陽馬中，鱉臑的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用底面證得，然后利用線面垂直判定定理證得平面，同理平面，從而證得，又，證得平面，平面，平面，從而得出結(jié)論.【詳解】因為底面，所以，由底面為長方形，有，而，所以平面，同理平面，故四面體和都是鱉臑.而平面，所以.又因為，點是的中點，所以.而，所以平面.而平面，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面體?和的四個面都是直角三角形，即四面體?和都是鱉臑.綜上有個鱉臑.故選：B.12．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】代數(shù)法：由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡得到，求得角B，再利用正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求解；幾何解法：由，，作線段，過點畫射線，使得，是射線上的動點，與都是變量,讓長度等于的線段的一個端點與線段的一個端點重合，再從點向“外”引線段，使其長度等于，然后利用含有的直角三角形性質(zhì)求解.【詳解】代數(shù)法：，由正弦定理得，即，因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以.由正弦定理可得，，，(時取等)，故選：C.幾何解法：在中，確定的量有兩個：，.如圖，作線段，過點畫射線，使得.這樣是射線上的動點，與都是變量.為了求的最小值，可考慮讓長度等于的線段的一個端點與線段的一個端點重合(即“首尾相連”).考慮從點向“外”引線段，使其長度等于.聯(lián)想到含有的直角三角形性質(zhì)，作如下輔助線：如圖，作射線，使，作，垂足為，則.所以原問題等價于：是射線上的動點，求的最小值，顯然即是點到直線的距離為所求，所以的最小值為.故選：C二、填空題13．已知單位向量，互相垂直，且，，若，則___________.【答案】【分析】由題意不妨令，，由可得，求出，從而可求出的坐標，進而可求出其?！驹斀狻坎环亮睿?，則，，由得，解得，則，.故答案為：14．疫苗不良反應與受種者個體差異有關(guān).疫苗不良反應指因疫苗本身特性引起的與預防接種目的無關(guān)或者意外的反應.與其他任何疫苗一樣，接種新冠疫苗可能會出現(xiàn)一些常見的不良反應，如接種部位局部的紅腫?硬結(jié)?疼痛等；極少數(shù)人因個體差異可能會出現(xiàn)發(fā)熱?乏力?惡心?頭痛?肌肉酸痛等，一般不需處理，注意多喝水?多休息，通常天后可自行恢復.接種某種新冠疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為，現(xiàn)有人接種了該疫苗，至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為___________.【答案】【分析】依題意，符合二項分布的類型，利用二項分布求解即可.【詳解】根據(jù)題意，記至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應為事件，分析可得“至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應”包括“有人出現(xiàn)人未出現(xiàn)發(fā)熱反應”和“人全部出現(xiàn)發(fā)熱反應”兩個互斥的事件，則.故答案為：.15．已知正四棱錐的底面邊長為，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為___________.【答案】或【分析】現(xiàn)根據(jù)條件求得外接球的半徑和底面正方形的外接圓的半徑，設正四棱錐的高為，根據(jù)勾股定理可求得，再根據(jù)椎體的體積公式即可求出答案．【詳解】解：∵正四棱錐的外接球的表面積為，∴其外接球的半徑為，∵底面正方形正方形的邊長為，∴底面正方形的外接圓的半徑，設正四棱錐的高為，則，解得或，∴正四棱錐的體積或，故答案為：或．16．人均可支配收入是反映一個地區(qū)居民收入水平和城市經(jīng)濟發(fā)展水平的重要指標，并且對人均消費水平有重大影響.如圖是根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《年上半年居民收入和消費支出情況》繪制的，是我國個省(區(qū)?市)年上半年人均可支配收入(單位：元)與人均消費支出(單位：元)的散點圖.用線性回歸模型擬合人均消費支出與人均可支配收入的關(guān)系，規(guī)定半年人均盈余(人均可支配收入人均消費支出)不低于元的省(區(qū)?市)達到階段小康的標準，根據(jù)線性回歸方程(回歸方程的斜率精確到)，估計達到階段小康標準的省(區(qū)?市)的半年人均可支配收入至少為___________元.參考公式與參考數(shù)據(jù)：，【答案】【分析】由題目中所給條件求出回歸方程，再計算人均盈余方程，最后根據(jù)條件計算達到小康標準的支配收入，令，得.【詳解】，，所以.半年人均盈余為，令，得，故估計達到階段小康標準的省(區(qū)?市)的半年人均可支配收入至少為元.故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）依題意可得，即可得數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；（2）首先由對數(shù)的運算及等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項相消法求和即可；【詳解】解：（1）解：，，.又，.當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.綜上，.（2）證明：由（1）可知，，所以.18．如圖，在五面體中，平面，平面，.（1）求證：；（2）若，，且與平面所成角的大小為，設的中點為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得，再由線面平行的判定可得平面，再由線面平行的性質(zhì)即可證明.（2）過作于點，在平面中，作，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：平面，平面，.平面，平面，平面.平面平面，平面，.（2）解：平面，平面，平面平面，過作于點，則平面，，為邊長等于的等邊三角形.在平面中，作，如圖，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建系，則，，，，.設平面的法向量為，平面的法向量為，，，，取，，，，取，記平面與平面所成的角為，所以.19．已知橢圓：（）過點，離心率，直線：與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點，使得為定值.若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在點，使得為定值.【分析】（1）由離心率得，再根據(jù)橢圓過點待定系數(shù)即可求得；（2）分別設，，，再直線與橢圓方程聯(lián)立得，故有，，再計算并化簡得，根據(jù)題意若為定值，則，代入可求得，.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率，所以，又因為，所以，又因為橢圓過點，所以有，解得，所以，故橢圓方程為：.（2）設，，，則聯(lián)立方程得.顯然，，，所以為定值.故.即，則，解得，.即存在點，使得為定值.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓的方程，橢圓中的定值定點問題，考查數(shù)學運算能力.20．已知函數(shù).（1）設曲線與軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（2）若函數(shù)的圖象上有?兩點，橫坐標分別為，且滿足.求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)求出點P坐標，切線方程，構(gòu)造函數(shù)，求其最值即可作答；(2)探討函數(shù)在(0，1)上的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)并討論函數(shù)值恒為負即可作答.【詳解】（1）由可得，即，又，則，從而有曲線在點處的切線方程為，即，設，，時，時，即在上遞減，在上遞增，，于是有，所以對于任意的正實數(shù)，都有；（2）時，，由得，在上遞減，在上遞增，，因且，則，令，，令，，即在上遞增，而，則，時，時，則在上遞減，在上遞增，因時，，又，，于是有，，從而得，即，所以.21．“”期間，某電商店鋪的活動為：全場商品每滿元返元的優(yōu)惠券，可疊加使用(比如，買元的東西，可用兩張優(yōu)惠券，只需付(元)，其中是不大于的最大整數(shù))；另一電商店鋪的活動為：全場所有商品折銷售，如果單品件數(shù)超過件，超出的每一件單品均享受元/件的會員價，其中為商品原價，為超出的單品件數(shù)優(yōu)惠店，為常數(shù)，已知若購買某種商品件，則第件商品享受折優(yōu)惠.此外，在店鋪優(yōu)惠后，扣除店鋪優(yōu)惠后余下的金額，電商平臺全場還提供每滿元減元的優(yōu)惠，可疊加使用(比如，店鋪原價元的一單，最終價格是(元)).（1）小明打算在店鋪買一款元的耳機和一款元的音箱，是下兩單(即耳機?音箱分兩次購買)劃算？還是下一單(即耳機?音箱一起購買)劃算？（2）小明打算趁“”期間囤積某生活日用品至少件，且預算不超過元，該生活日用品兩個店鋪售價均為元/件，小明打算全部在店鋪購買或者全部在店鋪購買，試分別計算在兩家店鋪購買多少件該生活日用品平均價格最低，最低平均價格分別是多少.(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)【答案】（1）下一單劃算；（2）在店鋪購買，購買件或件該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為元/件；在店鋪購買，購買件時平均價格最低，最低平均價格大約為元/件.【分析】（1）分別計算下兩單和下一單的實際付款金額，然后比較即可得到答案；（2）分別求出全部在店鋪購買與全部在店鋪購買生活日用品的每件的最低平均價格，再比較即可【詳解】解：（1）若下兩單，耳機優(yōu)惠后實際付款為(元)；音響優(yōu)惠后實際付款為(元)；耳機和音響優(yōu)惠后一共實際付款(元).若下一單，耳機和音響優(yōu)惠后一共實際付款(元)綜上，下一單劃算.（2）如果全部在店鋪購買，假設購買件，由于不能超過元預算，最多能購買件，所以.當時，店鋪優(yōu)惠后價錢為，當時，店鋪優(yōu)惠后價錢為，，所以當時能享受一次滿元減元的優(yōu)惠.當時，購買件該生活日用品的平均價格為，其中，當時，，當即時，；當時，，當時，.綜上，如果全部在店鋪購買，購買件或件該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為元/件.如果全部在店鋪購買，因為若購買件，則第件可享受折優(yōu)惠，所以，解得，現(xiàn)假設從店鋪購買件，則.方法一：購買件該生活日用品的總價格為，為估算不超出元預算最多可購買多少件，令，化簡得，由于，下面解不等式，即，得，所以時一定有，下面檢驗時滿足不等式的最大整數(shù)解，經(jīng)檢驗是不等式的最大整數(shù)解.所以如果全部在店鋪購買，最多能購買件，.當時，購買件該生活日用品店鋪優(yōu)惠后的總價格為，不能享受滿元減元的優(yōu)惠，平均價格不可能最低；當時，可享受一次滿元減元的優(yōu)惠，前件折優(yōu)惠，超出件的部分，超出的越多，超出的部分平均價格就越低，所以當時平均價格取得最小值，元/件.綜上，如果全部在店鋪購買，購買件時平均價格最低，最低平均價格大約為元/件.方法二：如果在店鋪購買，假設購買的生活日用品全部按折計算，元最多可買件，由于超出件的部分價格低于元/件，所以元最多可購買的件數(shù)大于，而當購買的件數(shù)時，超