2022-2023學(xué)年蘇教版江蘇高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第01講 二分法與求方程近似解(詳解版)

第8章函數(shù)應(yīng)用

第01講二分法與求方程近似解

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

1.理解用二分法求方程的近似解的操作

流程；1.了解函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系

2.掌握二分法的概念應(yīng)用；2.能夠使用二分法求方程近似解

3.掌握用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解；3.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)與其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)

4.理解并掌握用二分法求方程的近似解.存在定理.

趣:知識(shí)精講

一、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

i.函數(shù)的零點(diǎn)

對于一般函數(shù)），=段），我們把使的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)），=段）的零點(diǎn).

2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程;（x）=0有實(shí)數(shù)解臺(tái)函數(shù)），=人尤）有臺(tái)函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸有-

3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)），=火的在區(qū)間口，句上的圖象是一條的曲線，且有.那么，函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（a,

份內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce（”，b）,使得,這個(gè)c也就是方程"r）=0的解.

【想一想】1.函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？

2.函數(shù)y=/U）在區(qū)間團(tuán)，力上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，犬“加力＜0時(shí)，能否判斷函數(shù)在區(qū)間（m

b）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

3.函數(shù)），=火外在區(qū)間（a,〃）上有零點(diǎn)，是不是一定有人。）貿(mào)加＜0?

［名師點(diǎn)津］

1.一個(gè)函數(shù)y=_/（x）在區(qū)間3，份內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)段）在區(qū)間［a,切上的圖象是一條連續(xù)

不斷的曲線；②Aa)7S)<0.這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立，如函數(shù)7(X)=L,易知,八—1)*1)

X

=-lXl<0,但顯然式》)=,在(-1,1)內(nèi)沒有零點(diǎn).

x

2.若函數(shù)?r)在區(qū)間也，句上的圖象是連續(xù)不斷的，且在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值式/，他)異號(hào),則函數(shù)y=

y(x)的圖象至少穿過x軸一次，即方程yu)=o在區(qū)間(〃，力內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解c.

3.零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性，而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).如圖①②，雖然都有兒?)次份<0,

但圖①中函數(shù)在區(qū)間①，刀內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，圖②中函數(shù)在區(qū)間(a,6)內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn).

4.零點(diǎn)存在定理是不可逆的，因?yàn)槿?)負(fù)6)<0可以推出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).但是，

已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(°,/?)內(nèi)存在零點(diǎn)，不一定推出/((7)：/(加<0.如圖③，雖然在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)有零點(diǎn),

但/a)貿(mào)力>0.

5.如果單調(diào)函數(shù)y=y(x)在區(qū)間［a,加上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)y

=/(x)在區(qū)間(a,加內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的cG(a,b),使得人c)=0,這個(gè)c也就是方程穴x)=0的解.

二、用二分法求方程近似解

1.二分法的概念

⑴函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間口，句上_____-

條件

(2)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足______

不斷地把函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間―使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐

方法

步_____，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

(驗(yàn)證H贏定區(qū)間驗(yàn)證/(。>/“)<°，給定區(qū)確度￡)

(求中點(diǎn)卜(求區(qū)間(。，6)的中點(diǎn)c)

_「｛若/(c)=0(此時(shí)中)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)一］

(計(jì)算”)卜，若—.Vo,則令加°(此時(shí)零點(diǎn)即/(。㈤)］

T若/(c>f(b)V0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)沏e(c,Z>)))

判斷是否達(dá)到精確度J即若|a-6|Ve,則得到

號(hào)點(diǎn)近似值a(或6)；否則繼續(xù)求中點(diǎn)驗(yàn)證

［想一想］

是否所有的函數(shù)都可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？

運(yùn)?產(chǎn)瞪運(yùn)一鬻?運(yùn)?。培蠹電.產(chǎn)塌.y??W.????.*

參考答案

一、l./(x)=02.零點(diǎn)公共點(diǎn)3.連續(xù)不斷f(a)-f(b)<0/(c)=0

【想一想】1.不是，是使/(x)=0的實(shí)數(shù)X,是方程f(x)=O的根.

2.只能判斷有無零點(diǎn)，不能判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.不一定，如Hx)=x2在區(qū)間(一1,1)上有零點(diǎn)0,但是f(—l)/(l)=lxl=l>0.

二、1.連續(xù)不斷f(a)-f(b)<0一分為二逼近零點(diǎn)

【想一想】不是，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)，且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才能應(yīng)用"二分法"

求函數(shù)零點(diǎn).

Q能力拓展

考法01求函數(shù)的零點(diǎn)

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)的方法

(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程人》=0,它的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)幾何法：若方程;(x)=0無法求解，可以根據(jù)函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn).例如，求定義在R上的

減函數(shù)7U)(/U)為奇函數(shù))的零點(diǎn).因?yàn)槠婧瘮?shù)y=/(x)是定義在R上的減函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知10)

=0.因?yàn)閥=_/(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使及。=0,從而y=>(x)的零點(diǎn)是0.

例

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出.

尤+3

(1求x)=-------；(2y(x)=x2+2x+4；

x

(3加的=2'—3；(4求x)=l-logM.

x+l,x<0,

【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)兀0=,八的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為()

log2x,x>0

A.{1}B.{-1}

C.{-1,1}D.{-1,0,1}

2.已知函數(shù)./U)=x2+3(〃z+l)x+"的零點(diǎn)是1和2,則mn=.

考法02函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

確定函數(shù)人外零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程./U)=o易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)了=於)在區(qū)間出，以上的圖象是否連續(xù)，再看是否有人。)述份<0.

若有，則函數(shù)在區(qū)間僅，6)內(nèi)必有零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

(鏈接教材Pi44T2求x)=e'+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【跟蹤訓(xùn)練】

2

1.函數(shù)人x)=lnx—最的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(e,+8)

2

2.函數(shù)1工)=2，一：一。的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

考法03判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù))，=/a)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法

(1)解方程法：方程區(qū)x)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)人用的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)定理法：借助函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷.

(3)圖象法：如果函數(shù)圖象易畫出，則可依據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.特別地，對于形如y=/?(x)—

g(x)的函數(shù)，可通過函數(shù)/?(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷函數(shù)y=/?(x)—g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

JT+2X_3,xWO,

(l)/(x)=2八的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

2+lnx,x>0

A.3B.2

C.1D.0

(2)判斷函數(shù)_/(x)=lnx+x2-3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.若a6c￥0,且〃=ac,則函數(shù)y(x)=ar2+bx+c的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

2.已知0<a<l,則函數(shù)〉=*一|1og“x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

考法04二分法概念的理解

二分法的適用條件

判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零

點(diǎn).因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用.

(鏈接教材P|551)下列圖象所表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()

【跟蹤訓(xùn)練】1.在用二分法求函數(shù)段）零點(diǎn)的近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[-2,4],則第三次所取的區(qū)間

可能是（）

A.[1,4]B.[-2,1]

「c5】「1J

C.-2,2D.一71

2.用二分法求函數(shù)人冗）在區(qū)間①，刀內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為o.ooi,則結(jié)果計(jì)算的條件是（）

A.|〃一例<0.1B.一例<0.001

C.|^-/?|>0.001D.口一臼=0.001

考法05用二分法求方程近似解

用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則

（1）需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間的，川（一般采用估計(jì)值的方法完成）.

（2）取區(qū)間端點(diǎn)的中點(diǎn)c,計(jì)算八c）,確定有解區(qū)間是⑺，c）還是（c,〃），逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間

的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

E'（鏈接教材Pi46例2）用二分法求方程2?+3X-3=0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.（精確度0.1）

3b)中點(diǎn)c刎加）華）

(0,1)0.5的)<0川)>0y(o.5)<o

(0.5,1)0.75X0.5)<0川)>040.75)>0

(0.5,0.75)0.625/0.5)<0X0.75)>0火0.625)<0

(0.625,0.75)0.6875X0.625)<0,A0.75)>040.6875)<0

(0.6875,0.75)10.6875-0.75=0.0625<0.1

由于10.6875—0.75|=0.0625<0.1,所以0.75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.

[母題探究]

（變條件）若本例中的“精確度0.1”換為“精確度0.05”結(jié)論又如何？

【跟蹤訓(xùn)練】用二分法求方程x2—2x=l的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.（精確度0.1）

高分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知函數(shù)“X）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足/（x+2）=/（x）,當(dāng)XG[0,1]時(shí)，/（x）=cos5x,則

函數(shù)y=/（x）-|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

2.函數(shù)/（x）=e=J-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.[L2]B.(0,1]C.[3,4]D.[2,3]

若函數(shù)/（*）=在區(qū)間（一上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

3.*2+6—￡1,1）則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

2

A.(-2,—)B.(0,-)C.(2,+8)D.(0,2)

4.函數(shù)/（x）=lnx+x-6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

5.函數(shù)/（x）=lnx+x-g,則函數(shù)/（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

)

A.化1)B.目)C.臣)

D.。，2）

(42,

6.函數(shù)/（x）=2'+lnx—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

兒（0，｛|'JC.(1，|)加

D.

7.下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（）

A./(x)=4x-3B./(x)=lnx+2x-8

C./(x)=sinx+lD.—3x+l

8.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程x-3=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為（）

X-10123

ex0.3712.7273920.09

x+323456

A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(-1,0)

題組B能力提升練

1.函數(shù)/(x)滿足以下條件：①/*)的定義域是R,且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②/(X)是偶函數(shù);

③/(幻在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)；④/(X)恰有2個(gè)零點(diǎn).則函數(shù)/(X)的解析式可以是()

A.f(x)^x2-2\x\B./(x)=In|^-l

C./(x)=-x2+|x|+lD./(*)=卜兇一2|

【答案】CD

【解析】顯然題設(shè)選項(xiàng)的四個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，但/(X)=m|%|T的定義域?yàn)閧x|xH°}wR，所以選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；

函數(shù)/3=/-2國的定義域是R,在(―8,—1),(0,1)單調(diào)遞減，在(一1,0),(1,+8)單調(diào)遞增，但

/(-2)=/(0)="2)=0有3個(gè)零點(diǎn),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

函數(shù)/(%)=-f+兇+1的定義域是R,當(dāng)X€(0,+8)時(shí)，/(幻=一/+》+1的圖象對稱軸為％=3,其

圖象是開口向下的拋物線，故”X)在100,一；)，(o,g)單調(diào)遞增，在(一；，°)，單調(diào)遞減，由

圖得了(X)恰有2個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；

函數(shù)/(幻=|/一2]的定義域是出,在(一8,-1112),(O,ln2)單調(diào)遞減，在(-ln2,0),(ln2,+s)單調(diào)遞

增，且/(Tn2)=/(ln2)=0有2個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)。正確.故選：CD.

2.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/(x)=2f(x—2),且xe[0,l)時(shí)，/(>)=(/()),,工注1⑵時(shí)，

/(%)=-.令g(x)=/(x)-x-a,xe[-2,6],若函數(shù)g(無)的零點(diǎn)有8個(gè)，則。的可能取值為()

X

A.2.5B.2.6C.2.8D.3

3.函數(shù)/(x)=e--x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

4.已知函數(shù)/(?J；]；；：'。則函數(shù)>7卬明的所有零點(diǎn)之和為--------?

5.若函數(shù)/(幻=2兇—a|x|+"-2(xeR)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的值為.

6.函數(shù)/(幻=2,+—1一5的零點(diǎn)七€[?！?,胤。€m，貝！|a=_________.

4

,1

7.已知函數(shù)/(x)=x+cu+-,g(x)=-lnx.

(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,+8)上的取值范圍；

(2)用min{/〃,〃}表示m,。中的最小值，設(shè)函數(shù)/z(x)=min"(x),g(x)}(x>0),討論函數(shù)〃(x)零點(diǎn)的

個(gè)數(shù).

8.已知函數(shù)/(x)=x|x-a|+/>.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=42=3時(shí)，對于xe[-1,5],使得g(x)=/2&)一(2m+1)/?@)+川+加恰有四個(gè)零點(diǎn)，求加

的取值范圍.

題組C培優(yōu)拔尖練

[l+logr.Ix|,x<-1

1.已知函數(shù)/(尤)=j(x+l)2+2qx>T‘方程7(x)7=0有兩解，則。的取值范圍是()

A.(1,1)B.(0,；)C.(0,1)D.(1,-KO)

2.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+2)=/(—x),當(dāng)xe[—l,0]時(shí)，/?(X)H-1,若在區(qū)間

(一1,6)內(nèi)關(guān)于了的方程/*)-噢“(》+2)=0(。>()且有且只有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(K)B.(5,7)C.(1,5)D.(5,+oo)

°llnxl,“一、、

3.已知函數(shù)/(1)=▼x>八0，若函數(shù)y=/"(x))+。有6個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的可能取值是()

x+1,x<0

11

A.0B.一-C.-1D.一一

23

X

,X<1/、

4.已知函數(shù)〃X)=?x-\，若方程/(x)=a有四個(gè)不同的根士、.“2、%3、%4，且

x2-6x+9,x>1

1111

Xj<x2<x3<x4,則一+—+—+—的取值范圍是.

x2+2,x<\,

5.已知函數(shù)/(X)=<,若關(guān)于x的方程/(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)左

|ln(x-l)|+2,x>1.

的取值范圍是.

6.已知函數(shù)/(x)=(x-l)|x-a|

(I)若。=2,求人幻在0,|上的最大值;

(II)已知函數(shù)g(x)=/(x)+|x—。|-X+4-加，若存在實(shí)數(shù)1,2],使得函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

第8章函數(shù)應(yīng)用

第01講二分法與求方程近似解

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

5.理解用二分法求方程的近似解的操作

流程；1.了解函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系

6.掌握二分法的概念應(yīng)用；2.能夠使用二分法求方程近似解

7.掌握用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解；3.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)與其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)

8.理解并掌握用二分法求方程的近似解.存在定理.

趣:知識(shí)精講

一、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

i.函數(shù)的零點(diǎn)

對于一般函數(shù)），=段），我們把使的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)），=段）的零點(diǎn).

2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程;（x）=0有實(shí)數(shù)解臺(tái)函數(shù)），=人尤）有臺(tái)函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸有-

3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)），=火的在區(qū)間口，句上的圖象是一條的曲線，且有.那么，函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（a,

份內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce（”，b）,使得,這個(gè)c也就是方程"r）=0的解.

【想一想】1.函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？

2.函數(shù)y=/U）在區(qū)間團(tuán)，力上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，犬“加力＜0時(shí)，能否判斷函數(shù)在區(qū)間（m

b）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

3.函數(shù)），=火外在區(qū)間（a,〃）上有零點(diǎn)，是不是一定有人。）貿(mào)加＜0?

［名師點(diǎn)津］

1.一個(gè)函數(shù)y=_/（x）在區(qū)間3，份內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足：①函數(shù)段）在區(qū)間［a,切上的圖象是一條連續(xù)

不斷的曲線；②Aa)7S)<0.這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立，如函數(shù)7(X)=L,易知,八—1)*1)

X

=-lXl<0,但顯然式》)=,在(-1,1)內(nèi)沒有零點(diǎn).

x

2.若函數(shù)?r)在區(qū)間也，句上的圖象是連續(xù)不斷的，且在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值式/，他)異號(hào),則函數(shù)y=

y(x)的圖象至少穿過x軸一次，即方程yu)=o在區(qū)間(〃，力內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解c.

3.零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性，而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).如圖①②，雖然都有兒?)次份<0,

但圖①中函數(shù)在區(qū)間①，刀內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，圖②中函數(shù)在區(qū)間(a,6)內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn).

4.零點(diǎn)存在定理是不可逆的，因?yàn)槿?)負(fù)6)<0可以推出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).但是，

已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(°,/?)內(nèi)存在零點(diǎn)，不一定推出/((7)：/(加<0.如圖③，雖然在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)有零點(diǎn),

但/a)貿(mào)力>0.

5.如果單調(diào)函數(shù)y=7U)在區(qū)間［a,加上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)y

=/(x)在區(qū)間(a,加內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的cG(a,b),使得人c)=0,這個(gè)c也就是方程穴x)=0的解.

二、用二分法求方程近似解

1.二分法的概念

⑴函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間口，句上_____-

條件

(2)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足______

不斷地把函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間―使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐

方法

步_____，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

(驗(yàn)證H贏定區(qū)間驗(yàn)證/(。>/“)<°，給定區(qū)確度￡)

(求中點(diǎn)卜(求區(qū)間(。，6)的中點(diǎn)c)

_「｛若/(c)=0(此時(shí)中)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)一］

(計(jì)算”)卜，若—.Vo,則令加°(此時(shí)零點(diǎn)即/(。㈤)］

T若/(c>f(b)V0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)沏e(c,Z>)))

判斷是否達(dá)到精確度J即若|a-6|Ve,則得到

號(hào)點(diǎn)近似值a(或6)；否則繼續(xù)求中點(diǎn)驗(yàn)證

［想一想］

是否所有的函數(shù)都可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)？

運(yùn)?產(chǎn)瞪運(yùn)一鬻?運(yùn)?。培蠹電.產(chǎn)塌.y??W.????.*

參考答案

一、l./(x)=02.零點(diǎn)公共點(diǎn)3.連續(xù)不斷f(a)-f(b)<0/(c)=0

【想一想】1.不是，是使/(x)=0的實(shí)數(shù)X,是方程f(x)=O的根.

2.只能判斷有無零點(diǎn)，不能判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.不一定，如Hx)=x2在區(qū)間(一1,1)上有零點(diǎn)0,但是f(—l)/(l)=lxl=l>0.

二、1.連續(xù)不斷f(a)-f(b)<0一分為二逼近零點(diǎn)

【想一想】不是，只有滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)，且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)時(shí)，才能應(yīng)用"二分法"

求函數(shù)零點(diǎn).

Q能力拓展

考法01求函數(shù)的零點(diǎn)

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)的方法

(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程人》=0,它的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)幾何法：若方程;(x)=0無法求解，可以根據(jù)函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn).例如，求定義在R上的

減函數(shù)7U)(/U)為奇函數(shù))的零點(diǎn).因?yàn)槠婧瘮?shù)y=/(x)是定義在R上的減函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知10)

=0.因?yàn)閥=_/(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使及丫)=0,從而y=>(x)的零點(diǎn)是0.

例

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出.

尤+3

(l)/(x)=:------；(2區(qū)工)=，+2%+4；

x

(3次0=2，-3；(4^)=1-log3x.

【解析】⑴令x+二3=0,

x

解得*=-3,

X+3

所以函數(shù)/(x)=的零點(diǎn)是X——3.

X

(2)令/+2%+4=0,由于』=22—4X1X4=-12<O,

所以方程/+2%+4=0無實(shí)數(shù)解，

所以函數(shù)?r)=『+2x+4不存在零點(diǎn).

(3)令2'—3=0,解得x=log23.

所以函數(shù)人x)=2'-3的零點(diǎn)是x=log23.

(4)令1—log3X=0,解得x=3,

所以函數(shù)<X)=1—log*的零點(diǎn)是x=3.

x+l,x<0,

【跟蹤訓(xùn)練】i.函數(shù)yu)=的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為()

log2x,x>0

A.{1}B.{-1}

c.{-1,1}D.{-1,0,1)

【答案】C

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，，/(x)=x+l=0今x=-1,當(dāng)x>0時(shí)，?r)=log2%=0=>x=l,所以函數(shù)K0的所有零點(diǎn)構(gòu)

成的集合為

2.已知函數(shù)兀v)=x2+3(m+l)x+〃的零點(diǎn)是1和2,則川=.

【答案】4

【解析】因?yàn)殪?=x2+3(/n+l)x+〃的零點(diǎn)為1和2,

所以1和2是方程1+3(歷+l)x+〃=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

1+x=-3(/7/+1),[m=-2,

所以《解得<所以〃?"=4.

1x2=〃.[〃=2

考法02函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間

確定函數(shù)/U)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程大x)=0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口，句上的圖象是否連續(xù)，再看是否有火“)負(fù)與<0.

若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,匕)內(nèi)必有零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象與無軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

(鏈接教材Pi44T2)_/U)=e，+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】法一：，.V(0)=-l<0,y(l)=e-l>0,

?V/U)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn).

法二：e'+.r—2=0,即e'=2—x,所以原函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間即為函/r數(shù)丫=6工和y=2一

x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間.如圖，由圖象可得函數(shù)>=^和y=2-x的圖象交

點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1).一0*\1

1y=2-?

【跟蹤訓(xùn)練】

2

1.函數(shù)人x)=lnx—2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(e,+8)

【答案】B

【解析】???川)=一2<0,./(2)=ln2-l<0,

...在(1,2)內(nèi)火x)無零點(diǎn)，A錯(cuò):

又力3)=m3—|>0,.?.42)93)<0,

.?次0在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).

2

2.函數(shù)段)=2'—的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

【答案】C

22

【解析】易知函數(shù)人犬)=2》一"一〃在區(qū)間(L2)內(nèi)是增函數(shù)，又函數(shù)凡0=2'一：一〃的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),

/(1)==2—2—^<0,

所以所以0<q<3.

/(2)=22-l-a>0,

考法03判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù))，=/U)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法

(1)解方程法：方程段)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)人x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)定理法：借助函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷.

(3)圖象法：如果函數(shù)圖象易畫出，則可依據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.特別地，對于形如y=/?(x)—

g(x)的函數(shù)，可通過函數(shù)/?(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷函數(shù)y=%(x)—g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

xz+2x~3,xWO,

(1次0=一，八的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

—2+lnx,x>0

A.3B.2

C.1D.0

【答案】B

【解析】(1)當(dāng)xWO時(shí)，由式》)=記+2]-3=0得乃=一3,也=1(舍去)；

當(dāng)%>0時(shí)，由Kx)=-2+lnx=0得x=e2.

二.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

(2)判斷函數(shù)y(x)=lnx+x2—3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】法一圖象法

函數(shù)對應(yīng)的方程為Inx+x2—3=0,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=lnx與y=3—x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖所示).

由圖象知，函數(shù)y=3—x2與y=lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，從而InX+A2—3=0有一個(gè)根，

即函數(shù)y=lnx+1一3有一個(gè)零點(diǎn).

法二定理法

由于/U)=ln1+12—3=—2<0,

X2)=ln2+22-3=ln2+1>0,

.\Al)：A2)<0,又危)=1g+/-3的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，所以/U)在(1,2)上必有零點(diǎn),

又凡r)在(0,+8)上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個(gè).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.若abcW0,且t>2=ac,則函數(shù)火工)=加+以+<?的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】0

【解析】：加+法+，=0的根的判別式/=6一4收，b2=ac,且abc?豐0,.,./=-3/<0,

方程“小+以+<?=0無實(shí)根.

函數(shù)無零點(diǎn).

2.已知?jiǎng)t函數(shù)產(chǎn)》T1og“x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】2

【解析】畫出函數(shù)於)=a叫與g(x)=|log"X|(0<a<l)的圖象，如圖所示，觀察可得函數(shù)於)=。叫0<。<1)

與g(x)=|logdl(0<〃<l)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,從而函數(shù)y=aN-|log,國的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

gG)=|log3|

考法04二分法概念的理解

二分法的適用條件

判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零

點(diǎn).因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用.

ABCD

【答案】C

【解析】A中，函數(shù)無零點(diǎn).B和D中，函數(shù)有零點(diǎn)，但它們均是不變號(hào)零點(diǎn)，因此它們都不能用二分法

來求零點(diǎn).而在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，故選C.

【跟蹤訓(xùn)練】1.在用二分法求函數(shù)/U）零點(diǎn)的近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[-2,4],則第三次所取的區(qū)間

可能是（）

A.[1,4]B.[-2,1]

C.~2,1D.-1

【答案】D

【解析】?.?第一次所取的區(qū)間是[-2,4],.?.第二次所取的區(qū)間可能為[一2,1],[1,4],.?.第三次所取的區(qū)間可

能為—2,—11,1,|,|,4.

2.用二分法求函數(shù)次x）在區(qū)間伍，份內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為0.001,則結(jié)果計(jì)算的條件是（）

A.|a-/?|<0.1B.m一加<0.001

C.|“一句>0.001D.|0一臼=0.001

【答案】B

【解析】由二分法求近似值的步驟（4）,其精確度為0.001,應(yīng)滿足的條件為一/4〈O.OOl,故選B.

考法05用二分法求方程近似解

用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則

（1）需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間的，〃]（一般采用估計(jì)值的方法完成）.

（2）取區(qū)間端點(diǎn)的中點(diǎn)c,計(jì)算1c）,確定有解區(qū)間是⑺，c）還是（c,〃），逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間

的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

（鏈接教材Pi46例2）用二分法求方程2?+31-3=0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.（精確度0.1）

【解析】令心）=*+力-3,

經(jīng)計(jì)算，X0）=-3<0,A1）=2X）,A0）：AD<0,

所以函數(shù)在（0,1）內(nèi)存在零點(diǎn)，

即方程2/+3x=3在（0,1）內(nèi)有解.

?。?,1）的中點(diǎn)0.5,經(jīng)計(jì)算人0.5）<0,

又所以方程2f+3x-3=o在（0.5,1）內(nèi)有解.

如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：

(“，b)中點(diǎn)C仙）加）伸）

(0,1)0.5旭)<0川)>0人0.5)<0

(0.5,1)0.75赦5)<0XD>0A0.75)>0

(0.5,0,75)0.625的.5)<0,A0.75)>0,A0.625)<0

(0.625,0.75)0.6875X0.625)<0X0.75)>0#0.6875)<0

(0.6875,0.75)|0.6875-0.75|=0.0625<0.1

由于10.6875—0.75|=0。625<0.1,所以0.75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.

［母題探究］

(變條件)若本例中的“精確度0.1”換為“精確度0.05”結(jié)論又如何？

【解析】在本例的基礎(chǔ)上，取區(qū)間(0.6875,0.75)的中點(diǎn)》=0.71875,因?yàn)?(0.71875)<0,10.75)>0且|0.718

75-0.751=0.03125<0.05,所以x=0.72可作為方程的一個(gè)近似解.

【跟蹤訓(xùn)練】用二分法求方程2x=l的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解.(精確度0.1)

【解析】設(shè)_/(*)=*—2T—1.

V.A2)=-l<0,A3)=2>0.

，在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程/一〃一1=0有一解，記為孫

取2與3的平均數(shù)2.5,

：/(2.5)=0.25>0,.,.2<xo<2.5;

再取2與2.5的平均數(shù)2.25,

V/(2.25)=-0.4375<0,

?*.2.25<ro<2.5;

如此繼續(xù)下去，有

共2.375)<0,7(2.5)>O=>xoG(2.375,2.5):

,A2.375)<0,X2.4375)>0=x()W(2.375,2.4375).

V12.375-2.4375|=0.0625<0.1,

方程f-2x=l的一個(gè)精確度為0.1的近似解可取為2.4375.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足〃x+2)=/(x),當(dāng)xe［0,l］時(shí)，“x)=cos］x,則

函數(shù)y=/(x)—|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】???/(x+2)=〃x),則函數(shù)/(x)是周期T=2的周期函數(shù).

又?函數(shù)/.(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且xe[o,l]時(shí)，/(x)=cos^x,

，兀)7C

當(dāng)xe[-l,O)時(shí)，，/(x)=/(-x)=cosl--xl=cos—x,

令/(x)—兇=0,則函數(shù)y=/(x)—|H的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/(x)和g(x)=W的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),

分別作出函數(shù)>=/(力和g(x)=|乂的圖象，如下圖，

顯然/(%)與g(力在[-1,0)上有1個(gè)交點(diǎn),在[0,1]上有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)N>1時(shí)，g(x)>l,而

所以x>l或尤<一1時(shí)，/(x)與g(x)無交點(diǎn).

綜上，函數(shù)y=f(x)和g(x)=N的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,即函數(shù)y=/(x)—國的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：A

2.函數(shù)〃x)=e*—L—4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.[1,2]B.(0,1]C.[3,4]D.[2,3]

【答案】A

Q

【解析】因?yàn)?6=e-5<0,/(2)=e2-|>0,/(1)/(2)<0,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)在[1,2]內(nèi).

故選：A.

3,若函數(shù)./?(幻=/+斯-鼻在區(qū)間(一1,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-2,1)B.(0.|)C.(2,+<?)D.(0,2)

【答案】B

【解析】因?yàn)閒(x)為開口向上的拋物線，