專題5 構造法在導數(shù)中的應用2023-2024學年新教材高中數(shù)學選擇性必修第二冊同步教學設計 (湘教版2019)

專題5構造法在導數(shù)中的應用2023-2024學年新教材高中數(shù)學選擇性必修第二冊同步教學設計(湘教版2019)課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：構造法在導數(shù)中的應用

2.教學年級和班級：高中二年級數(shù)學選擇性必修班

3.授課時間：2023-2024學年第二學期，具體上課時間待定

4.教學時數(shù)：1課時（45分鐘）

本節(jié)課將緊密圍繞湘教版2019高中數(shù)學選擇性必修第二冊中的“構造法在導數(shù)中的應用”進行教學設計，結合教材內容，以實際例題引導學生理解并掌握構造法的原理及其在求解導數(shù)問題中的應用。通過典型題目的講解與練習，提高學生運用構造法解決問題的能力，強化數(shù)學思維與解題技巧。二、核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課圍繞構造法在導數(shù)中的應用，旨在培養(yǎng)學生以下核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算。通過引導學生運用構造法解決導數(shù)問題，提高學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學思維能力。同時，強調學生在解題過程中的數(shù)學運算精確性，加強數(shù)學表達和論證的嚴謹性，從而全面提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，為后續(xù)學習打下堅實基礎。三、學習者分析1.學生已經掌握了導數(shù)的定義、計算法則以及基本求導公式，能夠解決一些基礎的導數(shù)問題。此外，學生對函數(shù)的性質和分析方法有一定的了解，為構造法的應用打下了基礎。

2.學生在數(shù)學學習上表現(xiàn)出不同的興趣和能力，部分學生對數(shù)學問題充滿好奇心，喜歡挑戰(zhàn)性題目，具有較強的邏輯思維能力和問題解決能力；而部分學生可能對數(shù)學興趣不足，需要通過具體實例和引導來激發(fā)學習熱情。學生的學習風格多樣，有的喜歡獨立思考，有的則更傾向于小組合作。

3.學生在構造法的理解和應用過程中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：難以從復雜問題中抽象出關鍵信息，構造合適的函數(shù)解決問題；在邏輯推理和論證過程中可能出現(xiàn)思路不清晰、運算錯誤等問題。此外，部分學生可能在面對新型題目時，缺乏解題思路和策略。教學中需針對這些情況進行有針對性的指導和解惑。四、教學資源1.硬件資源：多媒體教學設備、投影儀、白板、計算器。

2.軟件資源：數(shù)學教學軟件、PPT演示文稿、電子教案。

3.課程平臺：學校教學管理系統(tǒng)、在線學習平臺。

4.信息化資源：電子教材、教學視頻、虛擬數(shù)學實驗室。

5.教學手段：講授法、案例分析法、小組合作學習、互動提問、課堂練習與反饋。五、教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設情境：通過現(xiàn)實生活中的實例，如物體運動的速度與時間的關系，引出導數(shù)的概念。

-提出問題：如何求解物體在某一時刻的瞬時速度？引導學生回顧已學的導數(shù)知識。

-激發(fā)興趣：強調構造法在解決復雜導數(shù)問題中的重要性，激發(fā)學生的求知欲。

2.講授新課（15分鐘）

-知識回顧：簡要復習導數(shù)的定義、求導法則。

-構造法原理：介紹構造法的概念，解釋其在導數(shù)求解中的應用原理。

-案例講解：結合教材中的典型例題，詳細講解構造法的步驟和技巧。

-互動提問：在講解過程中，適時提問，了解學生對構造法的理解和掌握情況。

3.鞏固練習（15分鐘）

-課堂練習：布置教材中的相關習題，要求學生在規(guī)定時間內完成。

-小組討論：將學生分成小組，針對練習中的問題進行討論，互相交流解題思路。

-解題指導：針對學生在練習中遇到的問題，給予及時的指導和解惑。

4.課堂提問與雙邊互動（5分鐘）

-提問：針對課堂練習中的重點、難點，進行有針對性的提問。

-雙邊互動：邀請學生分享自己的解題心得，鼓勵其他學生提問和補充。

-點評與總結：對學生的解答進行點評，強調解題過程中的關鍵步驟和注意事項。

5.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-問題解決：提出更具挑戰(zhàn)性的導數(shù)問題，引導學生運用構造法解決問題。

-數(shù)學建模：要求學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。

-邏輯推理：在解題過程中，強調邏輯推理的嚴謹性，提高學生的邏輯思維能力。

6.總結與作業(yè)布置（5分鐘）

-知識點回顧：簡要總結本節(jié)課所學內容，強調構造法在導數(shù)中的應用。

-作業(yè)布置：布置與課堂內容相關的作業(yè)，要求學生在課后鞏固所學知識。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：與本節(jié)課相關的數(shù)學期刊、雜志文章，以及數(shù)學故事，以豐富學生對構造法的認識和應用場景。

-視頻資料：尋找一些專業(yè)的數(shù)學教學視頻，特別是關于構造法在導數(shù)中應用的講解，幫助學生從不同角度理解知識點。

-實踐項目：設計一些實際問題，讓學生嘗試使用構造法來解決，如物理中的運動問題、經濟學中的最優(yōu)化問題等。

-跨學科學習：鼓勵學生探索構造法在其他學科中的應用，如物理學中的微分方程、工程學中的優(yōu)化問題等。

2.拓展建議：

-鼓勵學生自主閱讀相關的數(shù)學文獻，撰寫閱讀筆記，加深對構造法的理解。

-組織學生觀看教學視頻，并在課堂上分享學習心得，促進知識的內化。

-引導學生參與實踐項目，通過實際操作來提高構造法的應用能力，同時培養(yǎng)解決實際問題的能力。

-鼓勵學生參與跨學科的學習活動，通過團隊合作，探索構造法在不同領域的應用，增強學習的深度和廣度。

-建議學生在學習過程中，嘗試總結構造法的使用規(guī)律，形成自己的解題策略。

-鼓勵學生參加數(shù)學競賽或研究性學習，將所學知識應用于更廣泛的數(shù)學問題中，提高解題能力和創(chuàng)新思維。七、教學反思與改進在完成“構造法在導數(shù)中的應用”這一節(jié)課的教學后，我認為有幾個方面需要進行反思和改進。

首先，關于教學內容的講解，我發(fā)現(xiàn)有些學生對構造法的理解還不夠深入，可能是因為我在講解過程中沒有足夠地結合具體實例。在未來的教學中，我需要更多地使用實際案例來闡述構造法的原理和應用步驟，讓學生在具體情境中感受和理解構造法的價值。

其次，課堂互動方面，雖然我設計了提問和小組討論環(huán)節(jié)，但感覺學生的參與度并不高，可能是因為問題的設計不夠開放或者難度不夠。因此，我計劃在接下來的教學中，提出更具啟發(fā)性和開放性的問題，鼓勵學生積極思考，提高課堂的互動性。

再者，對于學生的課堂練習，我發(fā)現(xiàn)部分學生在解題過程中仍然存在運算錯誤和邏輯不清的問題。我打算在今后的課堂中增加一些針對性的練習，特別是對于那些容易出錯的地方，進行重點講解和反復練習，幫助學生鞏固基礎，提高解題準確性。

此外，教學資源的利用也需要改進。我發(fā)現(xiàn)在課堂上，我沒有充分利用信息化資源，如電子教材和教學視頻。在接下來的教學中，我計劃結合電子教材和教學視頻，為學生提供更多元化的學習材料，豐富他們的學習體驗。

針對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我感覺在課堂上對學生的數(shù)學建模和邏輯推理能力的培養(yǎng)還不夠。因此，我打算在課后增加一些相關的拓展活動和項目，讓學生在實際問題中鍛煉這些能力。

具體的改進措施如下：

1.教學內容調整：增加構造法在實際問題中的應用案例，讓學生在理解概念的同時，能夠看到其在解決實際問題中的重要性。

2.課堂互動優(yōu)化：設計更多開放性和挑戰(zhàn)性的問題，鼓勵學生積極參與討論，提高課堂活躍度。

3.練習環(huán)節(jié)加強：針對學生易錯點，設計專題練習，并在課堂上及時反饋，幫助學生糾正錯誤。

4.教學資源整合：充分利用電子教材、教學視頻等資源，為學生提供更豐富的學習材料。

5.核心素養(yǎng)培養(yǎng)：通過課后拓展活動和項目，加強對學生數(shù)學建模和邏輯推理能力的培養(yǎng)。八、典型例題講解例題1：

已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f'(x)$。

解答：

構造輔助函數(shù)$F(x)=x^3$，$G(x)=3x^2-2x$。

由導數(shù)的運算法則得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=3x^2-6x+2$。

例題2：

求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}$的導數(shù)。

解答：

構造輔助函數(shù)$F(x)=\sqrt{x}$，$G(x)=1$。

令$u=1+x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據鏈式法則，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

例題3：

求函數(shù)$f(x)=\ln(x^2)$的導數(shù)。

解答：

構造輔助函數(shù)$F(x)=\lnx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據鏈式法則，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$。

例題4：

已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，求$f'(x)$。

解答：

構造輔助函數(shù)$F(x)=1$，$G(x)=x$。

由導數(shù)的運算法則得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=0-1=-1$。

因此，$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。

例題5：

求函數(shù)$f(x)=\sin(x^2)$的導數(shù)。

解答：

構造輔助函數(shù)$F(x)=\sinx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據鏈式法則，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\cosu\cdot2x=2x\cos(x^2)$。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

本節(jié)課我們學習了構造法在導數(shù)中的應用，通過構造輔助函數(shù)和運用導數(shù)的運算法則，解決了求導過程中的一些復雜問題。我們強調了以下知識點：

1.構造法的原理及其在求解導數(shù)中的應用。

2.如何結合已知函數(shù)和輔助函數(shù)求解未知函數(shù)的導數(shù)。

3.鏈式法則在構造法中的應用。

4.典型例題的解題步驟和技巧。

當堂檢測：

為檢測學生對本節(jié)課知識點的掌握情況，特設計以下檢測題目：

題目1：求函數(shù)$f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1})$的導數(shù)。

題目2：已知函數(shù)$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，求$g'(x)$。

題目3：求函數(shù)$h(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的導數(shù)。

題目4：已知函數(shù)$k(x)=\frac{1}{x^2}$，求$k'(x)$。

題目5：求函數(shù)$m(x)=\sqrt{3x^3-2x^2}$的導數(shù)。

要求學生在規(guī)定時間內完成以上題目，并及時反饋答案。通過這些題目，學生可以鞏固構造法在導數(shù)中的應用，提高解題能力，同時培養(yǎng)數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。教師根據學生的答題情況，給予及時的指導和解惑，確保學生能夠扎實掌握本節(jié)課的知識點。板書設計①重點知識點：

-構造法原理

-導數(shù)的運算法則

-鏈式法則

-典型例題步驟與技巧

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