天津市南開中學(xué)2025屆高三上學(xué)期統(tǒng)練2數(shù)學(xué)試題

2025屆南開中學(xué)高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練2一?單選題（每小題5分，共45分）1.已知數(shù)集滿足：，若，則一定有：（）A.B.C.D.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)（）A.2B.1C.0D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.4.某零售行業(yè)為了解宣傳對(duì)銷售額的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了5個(gè)大型零售賣場(chǎng)，得到其宣傳費(fèi)用（單位：萬元）和銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：（萬元）34567（萬元）4550606570由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知與滿足線性回歸方程，其中，當(dāng)宣傳費(fèi)用時(shí)，銷售額的估計(jì)值為（）A.89.5B.90.5C.92.5D.94.55.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，則的解集是（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)滿足：，則；當(dāng)時(shí)，則（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.9.函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（）A.B.C.D.1二?填空題（每小題5分，共30分）10.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值是__________.11.的展開式中，不含字母的項(xiàng)為__________.12.計(jì)算的值為__________.13.甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無人機(jī).已知甲乙兩人擊中無人機(jī)的概率分別為，且甲乙射擊互不影響，則無人機(jī)被擊中的概率為__________.若無人機(jī)恰好被一人擊中，則被擊落的概率為0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6，那么無人機(jī)被擊落的概率為__________.14.已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.設(shè)函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.三?解答題16.（14分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（15分）已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍.18.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面.（1）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求異面直線所成角的余弦值；（2）求平面和平面的夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由.19.（15分）已知橢圓C：的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為軸上一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).20.（16分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.2025屆南開中學(xué)高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練2試卷答案一?單選題123456789CCABDAAAD二?填空題10111213141528；三?解答題16.【詳解】解：因?yàn)?，令，則，（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即，解得，滿足；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，即，解得，滿足.所以實(shí)數(shù)的值為1或.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上有唯一的零點(diǎn)，且在是增函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，令，因?yàn)?，①?dāng)，即時(shí)，滿足題意②當(dāng)，則時(shí)，此時(shí)，令，解得或，不滿足；③當(dāng)時(shí)，且此時(shí)無解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.解：（1）由，得，當(dāng)時(shí)，恒成立，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，定義域?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，定義域?yàn)榛?（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，.因此在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù).則.（3）對(duì)任意，恒有.即對(duì)恒成立..令.由于在上是減函數(shù)，.故時(shí)，恒有.因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.（1）解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面且平面所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以因?yàn)椋运运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，可得，設(shè)異面直線所成角為，則所以異面直線所成角的余弦值為.（2）解：由（1）得，.設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）解：設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得，設(shè)，則，，所以.所以，所以.所以因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量.若平面，則，所以，此時(shí)方程組無解，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.19.（1）的周長(zhǎng)為8，由橢圓的定義得，所以.橢圓的離心率為，所以，所以，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立消去得，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，所以，解得，①②.則，代入，得，故，由題意知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，故，即，故，即，解得③，故，由，得，即，整理得，將①②③代入上式，化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)?，所以，故直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.20.（1）由題意得，，由，得.若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.（2）（i）由，得.設(shè)，由（1）得在區(qū)間內(nèi)單