7.3.1正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象課件高一下學期數(shù)學人教B版

第七章三角函數(shù)正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象人教B版

數(shù)學

必修第三冊基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1正弦函數(shù)性質(zhì)1.對于任意一個角x,都有唯一確定的正弦sinx與之對應,因此y=sinx是一個函數(shù),一般稱為

.

2.正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象性質(zhì)與圖象y=sinx圖象定義域

正弦函數(shù)

R性質(zhì)與圖象y=sinx最值當且僅當

時,ymax=

;當且僅當

時,ymin=

奇偶性

函數(shù)

周期性周期為

單調(diào)性在區(qū)間[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上

;

在區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上

零點

(k∈Z)

對稱性對稱中心:(kπ,0)(k∈Z)對稱軸l:x=kπ+(k∈Z)1-1奇2π單調(diào)遞增單調(diào)遞減kπ3.周期:一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得對定義域內(nèi)的每一個x,都滿足

,那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),

稱為這個函數(shù)的

.

f(x+T)=f(x)

非零常數(shù)T周期

過關自診

B2.[北師大版教材習題]當x∈[-π,π]時,函數(shù)y=3sinx(

)A.在區(qū)間[-π,0]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減B又y=3sin

x的單調(diào)性與y=sin

x的單調(diào)性相同,所以選項B正確.3.[人教A版教材習題]求使函數(shù)y=2sinx取得最大值、最小值的自變量的集合,并求出最大值、最小值.解

當x∈{x|x=+2kπ,k∈Z}時,函數(shù)取得最大值2;當x∈{x|x=-+2kπ,k∈Z}時,函數(shù)取得最小值-2.知識點2正弦函數(shù)的圖象1.正弦曲線:一般地,y=sinx的函數(shù)圖象稱為

.

2.“五點法”:(2)將所得圖象向左、向右平行移動(每次2π個單位).正弦曲線

名師點睛對三角函數(shù)的圖象的理解(1)作正弦函數(shù)圖象時,函數(shù)自變量要用弧度制,以保證自變量與函數(shù)值都為實數(shù).(2)正弦曲線是軸對稱圖形,對稱軸為x=+kπ(k∈Z);正弦曲線也是中心對稱圖形,且對稱中心為(kπ,0)(k∈Z).(3)正弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,相鄰兩個對稱中心的距離也為π,對稱中心到其相鄰對稱軸的距離為

.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左右和上下無限伸展.(

)(2)函數(shù)y=sinx與y=sin(-x)的圖象完全相同.(

)(3)函數(shù)y=sinx的圖象關于點(0,0)對稱.(

)××√2.從函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π)的圖象來看,對應于sinx=的x有(

)

A.1個值 B.2個值 C.3個值

D.4個值B3.在“五點法”中,正弦曲線最低點的橫坐標與最高點的橫坐標的差的絕對值等于(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一正弦函數(shù)的值域、最值【例1】

(1)(多選題)已知函數(shù)f(x)=2asinx+a+b的定義域是[0,],值域為[-5,-1],則a,b的值為(

)A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2分析

根據(jù)正弦函數(shù)的值域,分情況表示出最大值和最小值,通過解方程組求a,b.AC(2)求函數(shù)f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值時x的值.分析

利用誘導公式、同角三角函數(shù)的關系統(tǒng)一成只含正弦函數(shù)的形式,換元求最值.規(guī)律方法

關于與正弦函數(shù)有關的最值(1)一次式:如果是關于正弦函數(shù)的一次式,要根據(jù)一次項的系數(shù)正負確定最值;(2)二次式:如果是關于正弦函數(shù)的二次式,則通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)配方求最值.變式訓練1(1)函數(shù)f(x)=1-2sin2x+2sinx的最大值與最小值的和是(

)A.-2 B.0C(2)[人教A版教材例題]求使函數(shù)y=-3sin2x取得最大值、最小值的自變量的集合,并求出最大值、最小值.因為sin

2x∈[-1,1],所以函數(shù)y=-3sin

2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.探究點二函數(shù)奇偶性的判斷【例2】

[人教A版教材習題]判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)y=2sinx;(2)y=x+sinx.分析利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.解

(1)函數(shù)的定義域為R,記f(x)=2sin

x,因為f(-x)=2sin(-x)=-2sin

x=-f(x),所以函數(shù)y=2sin

x為奇函數(shù).(2)函數(shù)的定義域為R,記f(x)=x+sin

x,因為f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin

x=-f(x),所以函數(shù)y=x+sin

x為奇函數(shù).規(guī)律方法

判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)函數(shù)的定義域是判斷函數(shù)奇偶性的前提,即首先要看定義域是否關于原點對稱,再看f(-x)與f(x)的關系.(2)注意奇偶性判定法的變通式和定義式的用法,即偶函數(shù)也可通過變式訓練2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);解

(1)函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱.又f(x)=xsin(π+x)=-xsin

x,所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin

x=f(x),因此f(x)是偶函數(shù).(2)f(x)=sin

2x+x2sin

x,因為x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin

2x-x2sin

x=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).探究點三正弦函數(shù)單調(diào)性的應用【例3】

比較下列各組數(shù)的大小:(4)sin194°和cos160°.分析變形主要有兩種:一是異名函數(shù)化為同名函數(shù);二是利用誘導公式將角變換到同一單調(diào)區(qū)間上.(4)sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.因為0°<14°<70°<90°,所以sin

14°<sin

70°.所以-sin

14°>-sin

70°,即sin

194°>cos

160°.規(guī)律方法

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較正弦值的大小的方法(1)同名函數(shù):若兩角在同一單調(diào)區(qū)間,直接利用單調(diào)性得出,若兩角不在同一單調(diào)區(qū)間,則要通過誘導公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再進行比較;(2)異名函數(shù):先應用誘導公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù),然后再比較.探究點四用“五點法”作函數(shù)的圖象【例4】

[北師大版教材例題改編]畫出函數(shù)y=sinx-1的圖象,并寫出它圖象的對稱軸和對稱中心.解

函數(shù)y=sin

x的周期是2π,按五個關鍵點列表.描點,并用光滑曲線將它們順次連接起來,就畫出函數(shù)y=sin

x-1在區(qū)間[0,2π]上的圖象,將其按周期延拓到R上得到y(tǒng)=sin

x-1在實數(shù)集上的圖象,如圖所示.由函數(shù)圖象,結(jié)合y=sin

x的圖象可知其圖象對稱軸為x=kπ+,k∈Z,對稱中心為(kπ,-1)(k∈Z).規(guī)律方法

用“五點法”畫函數(shù)圖象的基本步驟(1)列表:(2)描點:在平面直角坐標系中描出下列五個點:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點連接起來;如果定義域為R,則需左右延伸.變式訓練4函數(shù)y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致圖象為圖中的(

)B解析

(方法一)利用五點法作出x∈[0,2π]上的函數(shù)圖象,列表如下:描點、連線得其大致圖象如圖所示,對照選項中的圖象,可知選B.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎練181.[探究點三]下列關系式中正確的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°

B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°

D.sin168°<cos10°<sin11°C解析

∵sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°,cos

10°=sin(90°-10°)=sin

80°,又11°<12°<80°,∴sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.故選C.123456789101112131415161718B1234567891011121314151617183.[探究點二·2023福建福州期末]若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)是奇函數(shù),則φ可取的一個值為(

)A解析

函數(shù)f(x)=sin(x+φ)是奇函數(shù),由奇函數(shù)的定義可知φ可取的一個值為-π.故選A.123456789101112131415161718C1234567891011121314151617185.[探究點四·2023寧夏興慶校級月考]函數(shù)

與函數(shù)y=1的圖象圍成一個封閉圖形,這個封閉圖形的面積是

.

2π1234567891011121314151617186.[探究點一·2023黑龍江香坊校級期中]若y=a+bsinx的值域是[],則此函數(shù)的表達式是

.

123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關鍵能力提升練8.(多選題)函數(shù)y=sinx與y=sin(-x)的圖象的對稱軸是(

)A.x軸

B.y軸C.直線y=x

AB解析

函數(shù)y=sin

x與y=sin(-x)的圖象關于y軸對稱.∵y=sin(-x)=-sin

x,∴函數(shù)y=sin

x與y=sin(-x)的圖象關于x軸對稱.123456789101112131415161718A12345678910111213141516171810.函數(shù)y=-sin|x|的圖象是(

)D解析

因為函數(shù)y=-sin|x|是定義域R上的偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,所以排除A;因為函數(shù)y=-sin|x|的值有正有負,所以排除C;當x≥0時,y=-sin

x,所以排除B.12345678910111213141516171811.函數(shù)y=sin2x+2cos2x-sinx-3的最大值是(

)B123456789101112131415161718A12345678910111213141516171813.(多選題)[2023甘肅酒泉期末]若f(x)=sin,則下列等式成立的是(

)A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=-f(x)