考研數(shù)學(xué)二分類模擬219

考研數(shù)學(xué)二分類模擬219一、選擇題1.

已知四階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為四維列向量，其中α1，α2線性無關(guān)，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α（江南博哥）1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由α1+2α2-α3=β知

即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，則

η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，

η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T

是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān)。于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，從而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎(chǔ)解系。故選B。

2.

設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]根據(jù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，易知2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一個(gè)非零解。故選C。

如果題目給出非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，可直接將兩者相減得到對應(yīng)齊次線性方程組的一個(gè)非零解。

3.

已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

所以選項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確。

對于D選項(xiàng)，雖然β1-β2是非齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D選項(xiàng)也不正確。

事實(shí)上，對于B選項(xiàng)，由于α1，α1-α2與α1，α2等價(jià)(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，α1-α2也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由

可知是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，故選B。

4.

η1，η2是n元齊次方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解，若r(A)=n-1，則Ax=0的通解為______A.kη1B.kη2C.k(η1+η2)D.k(η1-η2)正確答案：D[解析]因?yàn)閞(A)=n-1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，η1-η2為Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解為k(η1-η2)。故選D。

5.

設(shè)A為n階矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對于線性方程組(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有______A.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解B.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D.(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解正確答案：A[解析]如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得

ATAα=AT(Aα)=AT0=0，

即α是(Ⅱ)的解。故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解。

反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得

0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)，

若設(shè)Aα=(b1，b2，…，bn)，即么

(Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0bi=0(i=1，2，…，n)，

即Aα=0，說明α是(Ⅰ)的解。因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解。故選A。

6.

設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，現(xiàn)有四個(gè)命題：

①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；

②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；

③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；

④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。

以上命題中正確的是______A.①②B.①④C.③④D.②③正確答案：A[解析]若Anα=0，則An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，則α必是(Ⅱ)的解，可見命題①正確。

如果An+1α=0，而Anα≠0，那么對于向量組α，Aα，A2α，…，Anα，一方面，若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的兩邊得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。類似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα線性無關(guān)。

但另一方面，這是n+1個(gè)n維向量，它們必然線性相關(guān)，兩者矛盾。故An+1α=0時(shí)，必有Anα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解。因此命題②正確。

故選A。

7.

設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)；

②若r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)；

④若r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解。

以上命題中正確的有______A.①②B.①③C.②④D.③④正確答案：B[解析]由于線性方程組Ax=0和Bx=0之間可以無任何關(guān)系，此時(shí)其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關(guān)系都不會(huì)影響它們各自解的情況，所以②④顯然不正確，利用排除法，可得正確選項(xiàng)為B。

下面證明①③正確。

對于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程組Bx=0含于Ax=0之中。從而Ax=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(B))，故r(A)≥r(B)。

對于③，由于A，B為同型矩陣，若Ax=0與Bx=0同解，則其基礎(chǔ)解系包含的解向量的個(gè)數(shù)相同，即n-r(A)=n-r(B)，從而r(A)=r(B)。故選B。

8.

設(shè)A為n階方陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，A*是A的伴隨矩陣，則______A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0與A*x=0沒有非零公共解D.Ax=0與A*x=0恰好有一個(gè)非零公共解正確答案：B[解析]由題設(shè)知n-r(A)≥2，從而有r(A)≤n-2，故A*=O，任意n維向量均是A*x=0的解。故選B。

二、填空題1.

設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，則方程組Ax=b的通解是______。正確答案：[解析]由于r(A)=3，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有4-r(A)=1個(gè)解向量。又因?yàn)?/p>

(α1+α2+2α3)-(3α1+α2)=2(α3-α1)=(0，-4，-6，-8)T

是Ax=0的解，所以其基礎(chǔ)解系為(0，2，3，4)T，由

A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，

可知是方程組Ax=b的一個(gè)解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可知，其通解是，k為任意常數(shù)。

2.

設(shè)(1，1，1)T，(2，2，3)T均為線性方程組的解向量，則該線性方程組的通解為______。正確答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R[解析]該線性方程組的系數(shù)矩陣為已知原方程組有兩個(gè)不同的解，所以系數(shù)矩陣A不滿秩，即r(A)＜3，又因?yàn)锳的一個(gè)二階子式所以r(A)≥2。故r(A)=2。

因此導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，由線性方程組解的性質(zhì)可知(2，2，3)T-(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基礎(chǔ)解系。

故原方程組的通解為k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。

3.

設(shè)n階矩陣A的秩為n-2，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則Ax=b的通解為______。正確答案：α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2為任意常數(shù)[解析]α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則α2-α1，α2-α1是Ax=0的兩個(gè)非零解，且它們線性無關(guān)。又n-r(A)=2，故α2-α1，α3-α1是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=b的通解為α1+k1(α2-α1)+k2(α3-α1)，k1，k2為任意常數(shù)。

4.

若則X=______。正確答案：其中x2，y2是任意常數(shù)[解析]矩陣不可逆，故可設(shè)可得線性方程組故x1=2-x2，y1=3-y2，所以

5.

已知齊次線性方程組

有通解k1(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，則方程組

的通解是______。正確答案：k2(13，-3，1，5)T，k2為任意常數(shù)[解析]方程組(2)的通解一定會(huì)在方程組(1)的通解之中，且是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個(gè)方程的解，將(1)的通解

代入(2)的第三個(gè)方程，得

(2k1+3k2)-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0，

即5k1=k2，將其代入(1)的通解中，得方程組(2)的通解為

5k2(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，-3，1，5)T，

其中k2為任意常數(shù)。

6.

已知方程組與方程(2)x1+5x3=0，則(1)與(2)的公共解是______。正確答案：k(-5，3，1)T，k為任意常數(shù)[解析]將方程組(1)和方程(2)聯(lián)立，得到方程組(3)(3)的解就是兩者的公共解。對(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換可得

由于A的秩為2，所以自由變量有一個(gè)，令自由變量x3=1，代入可得x2=3，x1=-5，所以(3)的基礎(chǔ)解系為η=(-5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解為是(-5，3，1)T，k為任意常數(shù)。

同解與公共解的問題考查方式可以是證明題(證明兩線性方程組同解或有公共解)，也可以是判斷題(判斷兩線性方程組是否同解或有公共解)，還可以是計(jì)算題(已知兩線性方程組同解或有公共解，計(jì)算方程組中的參數(shù)或是求所有的公共解)。運(yùn)用的基本知識還是線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)定理。

三、解答題1.

設(shè)矩陣A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4線性無關(guān)，a1=2a2-a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程組Ax=b的通解。正確答案：解：已知a2，a3，a4線性無關(guān)，則r(A)≥3。又由a1，a2，a3線性相關(guān)可知a1，a2，a3，a4線性相關(guān)，故r(A)≤3。

綜上所述，r(A)=3，從而原方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為4-3=1。又因?yàn)?/p>

所以x=(1，-2，1，0)T是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。

又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程組Ax=b的一個(gè)特解。

于是原方程組的通解為

x=c(1，1，1，1)T+c(1，-2，1，0)T，c∈R。

2.

已知4×5矩陣A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α2，α3，α4，α5均為四維列向量，α1，α2，α4線性無關(guān)，又設(shè)α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2-α3+α4+α5，求Ax=β的通解。正確答案：解：由于α1，α2，α4線性無關(guān)，α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，所以r(A)=3。

由已知β=2α1+α2-α3+α4+α5，從而線性方程組Ax=β有特解η=(2，1，-1，1，1)T。

由α3=α1-α4，α5=α1+α2+α4，可知導(dǎo)出組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解為

ξ1=(1，0，-1，-1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，-1)T。

由r(A)=3，可知齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)成，故ξ1，ξ2為Ax=0的基礎(chǔ)解系，方程組Ax=β的通解為x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2為任意常數(shù)。

3.

設(shè)3階矩陣A=(α1，α2，α3)有3個(gè)不同的特征值，且α3=α1+2α2。

(Ⅰ)證明：r(A)=2；

(Ⅱ)設(shè)β=α1+α2+α3，求方程組Ax=β的通解。正確答案：解：(Ⅰ)因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值，所以A至多只有1個(gè)零特征值，故r(A)≥2。

又因?yàn)棣?=α1+2α2，所以矩陣A的列向量組線性相關(guān)，故r(A)≤2。從而r(A)=2。

(Ⅱ)由r(A)=2可知，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只有1個(gè)解向量。

再由α3=α1+2α2可得，α1+2α2-α3=0，從而可得Ax=0的基礎(chǔ)解系為(1，2，-1)T。

由β=α1+α2+α3可得，Ax=β的特解為(1，1，1)T，所以Ax=β的通解為

k(1，2，-1)T+(1，1，1)T，其中k∈R。

4.

設(shè)方程組

與方程(2)x1+2x2+x3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。正確答案：解：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組

則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。

對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有

因方程組(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0。

當(dāng)a=1時(shí)，此時(shí)方程組(3)的通解為k(-1，0，1)T(k為任意常數(shù))，即為方程組(1)與(2)的公共解。

當(dāng)a=2時(shí)，此時(shí)方程組(3)有唯一解(0，1，-1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。

5.

(Ⅰ)計(jì)算行列式|A|；

(Ⅱ)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程組Ax=β有無窮多解，并求其通解。正確答案：解：(Ⅰ)

(Ⅱ)方程組Ax=β的增廣矩陣為

要使得方程組Ax=β有無窮多解，則有1-a4=0及-a-a2=0，可知a=-1符合題意。

此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為

進(jìn)一步化為行最簡形得

則基礎(chǔ)解系為非齊次方程的特解為故其通解為

6.

設(shè)線性方程組(1)Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。線性方程組(2)Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-