考研數(shù)學(xué)二分類模擬253

考研數(shù)學(xué)二分類模擬253解答題1.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可微，b＞a＞0，證明：在(a，b)內(nèi)存在x1，x2，x3，使得

①正確答案：證明：要證式①只需證明

令G(x)=x2，在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理有

即

令H(x)=x4，在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理有

即

令M(x)=lnx，則

即

由③④⑤即證②，從而證得①成立．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

2.

求．正確答案：解：由于分母涉及x13，故需將展開(kāi)到含x13的項(xiàng)，

所以

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

3.

求的通解．正確答案：解：設(shè)，則，則原方程變?yōu)?/p>

即，分離變量得，積分得sinu=Cx，故方程的通解為．[考點(diǎn)]常微分方程

4.

設(shè)，求．正確答案：解：，則

．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

5.

作直角坐標(biāo)變換，把下述方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

正確答案：解：此方程的二次項(xiàng)部分

f(x，y，z)=x2+4y2+z2-4xy-8xz-4yz

的矩陣為

于是A的全部特征值是5(二重)，-4．

對(duì)特征值5，求出(5E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：α1，α2；經(jīng)過(guò)施密特正交化和單位化得η1，η2．

對(duì)特征值-4，求出(-4E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：α3，經(jīng)單位化得η3．令

則T是正交矩陣，且

T-1AT=diag{5，5，-4}

作正交替換

則二次型f(x，y，z)化成了標(biāo)準(zhǔn)形5x'2+5y'2-4z'2．

故此時(shí)原方程化為

將①的左端對(duì)z'配方得

令

則方程變成

5x*2+5y*2-4z*2=1③

總的直角坐標(biāo)變換公式為

[考點(diǎn)]二次型

6.

設(shè)f(x)在[0，2]上二次可微，且|f(x)|≤1，|f"(x)|≤1．證明：|f'(x)|≤2．正確答案：證明：由泰勒公式有

則

所以

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

7.

設(shè)z=xxy(x＞0)，求．正確答案：解1：(鏈?zhǔn)椒▌t)令u=xy，z=xu=f(x，u)，于是

解2：(取對(duì)數(shù)法)由z=xxy，兩邊取對(duì)數(shù)有l(wèi)nz=xylnx，再給等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)有

即

同樣給lnz=xylnx，兩端同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)可得，，即

解3：利用全微分一階形式不變性．

記z=f(x，u)=xu，u=xy．則

dz=f'xdx+f'udu=uxu-1dx+xulnxdu

=xy·xxy-1dx+xxy·lnx·(y·xy-1dx+xylnxdy),

=(xy·xxy-1+ylnx·xxy·xy-1)dx+xxy·xy(lnx)2dy

于是

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

8.

已知u=ax2+by2+cz2，其中a＞0，b＞0，c＞0，求在條件x+y+z=1下的極小值．正確答案：解：利用拉格朗日乘數(shù)法，解得

故所求最小值為

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

9.

證明

正確答案：證明：設(shè)函數(shù)

則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)．由于

因此f(x)必在上取得最小值．下面證明，x=0是函數(shù)的唯一最小值點(diǎn)．

反證法．若是函數(shù)的最小值點(diǎn)，則f(x0)≤1．對(duì)函數(shù)tanxsin2x與x3在[0，x0]上應(yīng)用柯西中值定理，則存在ξ∈(0，x0)，使得

由此推得

f(x0)＞1

這與f(x0)是函數(shù)的最小值的假設(shè)矛盾．這就證明了x=0是函數(shù)的唯一最小值點(diǎn)，因此

有

于是得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

10.

求．正確答案：解：令y=-x，則原極限等于

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

設(shè)α為n維非零列向量，．11.

證明A可逆，并求A-1；正確答案：證明：因?yàn)?/p>

所以A可逆且A-1=A．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

12.

證明α為矩陣A的特征向量．正確答案：證明：因?yàn)?/p>

所以α是矩陣A的特征向量，其對(duì)應(yīng)的特征值為-1．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

13.

．正確答案：解：設(shè)，則將x=6lnt，代入得

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：14.

arcsinx；正確答案：解：y=arcsinx．

上式中，從而，則

其中．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

15.

arctanx．正確答案：解：y=arctanx．

令，則

其中，利用(令u=arctant)．

注[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

16.

證明：當(dāng)s＞0時(shí)，．正確答案：證明：在[k，k+1]上對(duì)函數(shù)f(x)=xs+1應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

(k+1)s+1-ks+1=(s+1)ξs

其中k＜ξ＜k+1，從而ks＜ξs＜(k+1)s(k=0，1，2，…)．因此

在不等式中，令k=0，1，…n，再將這n+1個(gè)不等式相加，即得

同樣，在不等式中，令k=0，1，…，n-1，將這n個(gè)不等式相加，即得

綜上，，即．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

17.

設(shè)A為n階矩陣，且A2-2A-8E=0．證明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．正確答案：證明：因A2-2A-8E=0，故(4E-A)(2E+A)=0，則

r(4E-A)+r(2E+A)≤n

又

r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n

即

r(4E-A)+r[2E+A)=n[考點(diǎn)]矩陣

18.

如果當(dāng)x＞0時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解，求a的取值范圍．正確答案：解：設(shè)，則

當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，知f'(x)＜0，故f(x)單調(diào)遞減，又且當(dāng)a＜0時(shí)，；當(dāng)a=0時(shí)，．因此，當(dāng)a≤0時(shí)，原方程在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)解．

當(dāng)a＞0時(shí)，令f'(x)=0，得唯一駐點(diǎn)，顯然，所以此唯一駐點(diǎn)是極小值點(diǎn)．由于f"(x)＞0，因此f(x)在(0，+∞)內(nèi)是凹的，如果函數(shù)的極小值為零，

由此解得，此時(shí)原方程有且僅有一個(gè)解．當(dāng)時(shí)，原方程或無(wú)解或有兩個(gè)解．

綜上所述，當(dāng)或a≤0時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

19.

改變的積分次序．正確答案：解：如圖所示，由二次積分的上下限知，所對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)?/p>

積分區(qū)域的邊界曲線的交點(diǎn)為．

改變積分次序，D由三部分組成

從而

[考點(diǎn)]二重積分

20.

求由橢球在第一象限中的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所成的四面體的最小體積．正確答案：解：橢球上一點(diǎn)(x，y，z)(xyz≠0)處的切平面方程為

此切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為．當(dāng)x＞0，y＞0，z＞0時(shí)，切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所成的四面體的體積為

令

由于當(dāng)x，y，z中有一個(gè)趨于零時(shí)，xyz→0，因此xyz在橢球面上必有最大值，從而V在橢球面上必有最小值．

因?yàn)閤yz≠0，所以λ≠0，于是由前三式得，代入第四