考研數學二分類模擬258

考研數學二分類模擬258解答題1.

設ε1=(1，0，…，0)T，ε2=(0，1，…，0)T，…，εn=(0，0，…，1)T均為n維向量，證明：任一向量α=(a1，a2，…，an)T能夠由向量組ε1，ε2（江南博哥），…，εn線性表出，并且表出方式唯一，寫出這種表出方式．正確答案：證明：線性方程組x1ε1+x2ε2+…+xnεn=α的系數行列式為

因此，這個線性方程組有唯一解，從而任一向量α都能由ε1，ε2，…，εn線性表出(且表出方式唯一)，顯然α=a1ε1+a2ε2+…+anεn．[考點]向量

2.

設A是三階矩陣，其三個特征值為，求|4A*+3E|．正確答案：解：，A*的特征值為，4A*+3E的特征值為5，1，2，于是|4A*+3E|=10．[考點]特征值與特征向量

3.

設f(x)在(-∞，+∞)上有定義，且對任意x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，證明：F(x)=f(x)+x在(-∞，+∞)上單調遞增．正確答案：證明：對任意x1，x2∈(-∞，+∞)，設x1＜x2，則

f(x1)-f(x2)≤|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|=x2-x1

故f(x1)+x1＜f(x2)+x2，所以F(x1)＜F(x2)，即F(x)在(-∞，+∞)上單調遞增．[考點]函數、極限

4.

計算n階行列式

正確答案：解1：逐行相加法．第1行的倍加到第2行，得

再把第2行的倍加到第3行，得

繼續(xù)把第3行的倍加到第4行，……，依次進行下去，可得

顯然Dn=n+1．

解2：遞推公式法．當n=1時，D1=2．下面設n＞1，把第2，3，…，n列都加到第1列上，然后按第1列展開，得

顯然，D1，D2，…，Dn是首項為2，公差為1的等差數列．因此

Dn=2+(n-1)·1=n+1

解3：用第一數學歸納法計算．

當n=1時，D1=2=1+1；當n=2時，D2=3=2+1．

假設對k-1階行列式有Dk-1=(k-1)+1=k．將Dk按解2的過程處理，得Dk=Dk-1+1，則由歸納假設，Dk=k+1．由數學歸納法知，Dn=n+1，對一切n≥1成立．[考點]行列式

5.

討論的連續(xù)性．正確答案：解：由于

而

因此

即f(x，y)在R2上處處連續(xù)．[考點]多元函數微分學

6.

求繞Ox軸旋轉一周所成的曲面的面積．正確答案：解：．設所求的表面積為Px，則

[考點]定積分的應用

7.

試求不定積分，進而求出不定積分．正確答案：解：因為

所以

其中C為非零常數．

②+①可得

②-①可得

[考點]不定積分、定積分、反常積分

8.

證明：橢球面與平面Ax+By+Cz=0相交所成橢圓的面積為

正確答案：解：由于平面Ax+By+Cz=0過原點，此橢圓的長、短半軸分別是橢圓上任意點(x，y，z)到原點的距離的最大值d1與最小值d2，而S=πd1d2．

為此設

并令

①②③分別乘以x，y，z后相加，并利用④⑤，得到

d2=x2+y2+z2=λ

于是問題轉化為求λ的值．為此，將①②③分別乘以，后相加，并利用④，又得

消去μ后得到關于λ的一個二次方程

⑥

記式⑥等號左端為a2λ2+a1λ+a0，則

由一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)，有

其中λ1，λ2分別為a2λ2+a1λ+a0=0的兩個根．

由此即得

[考點]多元函數微積分

設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1．常數a＞0，b＞0，證明：9.

存在ξ∈(0，1)，使得．正確答案：證明：令，那么g(x)在[0，1]上連續(xù)，且

由連續(xù)函數零點定理可知，存在一點ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即．[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅱ)

10.

存在ζ，η∈(0，1)，ζ≠η，使得．正確答案：證明：根據已知條件f(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，1]上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是，存在ζ∈(0，ξ)與η∈(ξ，1)，使得

進而

[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅱ)

設矩陣有一個特征值為3．11.

求y；正確答案：解：因為3為A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．[考點]特征值與特征向量

12.

求可逆矩陣P，使得(AP)T(AP)為對角矩陣．正確答案：解：(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P

令，|λE-A1|=0，得λ1=1，λ2=9，當λ=1時，由(E-A1)x=0得；當λ=9時，由(9E-A1)x=0得，單位化得

令

則

(AP)T(AP)=diag{1，1，1，9}[考點]特征值與特征向量

13.

設f(x)連續(xù)，f(0)=0，f'(0)=1，求

正確答案：解：

由，得當a→0時，于是

[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅰ)

14.

．正確答案：解：

若記，則．于是，有

[考點]一元函數微積分

15.

證明：數列收斂，并求其極限．正確答案：解：x1=2，，相鄰兩項滿足．顯然x1＜x2，x2＞x3，x3＜x4，此數列似乎有點奇怪，因為它并不是單純地遞增或者遞減．但仔細觀察，不難發(fā)現x1＜x3，x2＞x4，所以我們有理由相信該數列的奇子列單調遞增，偶子列單調遞減．

下面討論奇子列{x2n-1}和偶子列{x2n}．

即奇子列相鄰兩項的正負號相同．又因為x3-x1＞0，所以{x2n-1}單調遞增．同理可證{x2n}單調遞減．又知對所有的n，有2≤xn≤3，由單調有界定理知都存在，分別記為A，B．再由，可得，兩邊同時取極限，得，兩邊同時取極限，得．顯然A=B，因此{xn}收斂．于是再對兩邊取極限，可得．注意到xn＞2，所以．[考點]極限、連續(xù)及其應用

16.

求．正確答案：解：令φ(x)=max{x3，x2，1}，則

設F(x)為φ(x)的一個原函數，則有

其中C1，C2，C3為待定常數．

因為F(x)連續(xù)，故

所以

因此

[考點]不定積分、定積分、反常積分

分別求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積．17.

y=x2，x+y=2；正確答案：解：如圖1所示，交點A(-2，4)及B(1，1)．所求的面積為

圖1[考點]定積分的應用

18.

y=2x-x2，x+y=0；正確答案：解：如圖2所示，交點A(3，-3)及O(0，0)．所求的面積為

圖2[考點]定積分的應用

19.

y=x，y=x+sin2x(0≤x≤π)．正確答案：解：所求面積為

[考點]定積分的應用

求：20.

；正確答案：解：令，得

[考點]一元函數微積分

21.

．正確答案：解：

[考點]一元函數微積分

22.

設A為n階非零矩陣，且存在自然數k，使得Ak=0．證明：A不可對角化．正確答案：證1：令Ax=λx(x≠0)，則有Akx=λkx，因為Ak=0，所以λkx=0，注意到x≠0，故λk=0，從而λ=0，即矩陣A只有特征值0．

因為r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程組(0E-A)x=0的基礎解系至多含n-1個線性無關