考研數(shù)學(xué)二分類模擬261

考研數(shù)學(xué)二分類模擬261解答題1.

計(jì)算二重積分，其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．正確答案：解：令u=x-1，v=y-1，則D變?yōu)镈'={(u，v)|u2+v2≤2，v≥u}，且于是

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題的積分區(qū)域較復(fù)雜，可先換元再計(jì)算二重積分．

2.

設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y'(x)＞0，y(0)=1．過(guò)曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，在區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形的面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．正確答案：解：y=y(x)在點(diǎn)P處的切線方程為Y-y=y'(X-x)．令Y=0，則于是，故由2S1-S2=1知

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得從而yy"-(y')2=0．

令y'=p(y)，則

由于y(0)=1，又對(duì)令x=0得y'(0)=1，從而C1=1，C2=0，故所求曲線方程為y=ex.[考點(diǎn)]微分方程的幾何應(yīng)用，可降階的微分方程的解法．

[解析]根據(jù)2S1-S2=1，便能得到一個(gè)含變限積分的等式，兩邊求導(dǎo)，就能得到一個(gè)形如y"=f(y，y')的可降階的微分方程．

對(duì)令x=0可得y'(0)=1，用于確定通解中一個(gè)任意常數(shù)的取值．

3.

設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且求f(0)，f'(0)，f"(0)的值．正確答案：解：由題意得

只有f(0)=-1，f'(0)=0，從而求得f'(0)=-1，f'(0)=0，[考點(diǎn)]已知極限求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

[解析]利用泰勒公式求解．

4.

設(shè)不定積分的結(jié)果中不含對(duì)數(shù)函數(shù)，求常數(shù)α，β，γ，δ應(yīng)滿足的充分必要條件，并計(jì)算此不定積分．正確答案：解：對(duì)于部分分式

若A≠0，則積分之后會(huì)出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)；若C≠0，則也會(huì)出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)，因此A=0且C=0．

將它們代入式①后通分，并令兩邊分子相等，得

αx3+βx2+γx+δ=B(x2+x+1)+D(x-1)2

=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D).

所以α=0，β=B+D，γ=B-2D，δ=B+D，從而推得α=0，β=δ以及γ可以任意．

當(dāng)滿足上述條件時(shí)，被積函數(shù)為，因此，

[考點(diǎn)]有理分式的不定積分求解．

[解析]用待定系數(shù)法進(jìn)行分式分解求不定積分．

計(jì)算有理函數(shù)的積分時(shí)，要將有理分式分解為部分分式，但必須熟悉分解原理，最終將其化為

這4種形式．

已知函數(shù)f(x)=e-xsinx，求：5.

∫f(x)dx．正確答案：解：由分部積分知[考點(diǎn)]有關(guān)周期函數(shù)定積分的計(jì)算．

[解析]根據(jù)函數(shù)的周期性利用區(qū)間的可加性求解．

這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，先根據(jù)|sinx|的周期性劃分積分區(qū)間，去掉被積函數(shù)中的絕對(duì)值，然后再計(jì)算定積分．

6.

正確答案：解：令，又因?yàn)?/p>

|sinx|=(-1)(k+1)sinx，x∈[(k-1)π，kπ]，

coskπ=(-1)k，sinkπ=0，

所以

[考點(diǎn)]有關(guān)周期函數(shù)定積分的計(jì)算．

7.

證明：．正確答案：證明：由題意，有

[考點(diǎn)]周期函數(shù)的定積分與旋轉(zhuǎn)體的體積．

[解析]根據(jù)周期性證明積分等式，利用定積分確定旋轉(zhuǎn)體的體積，并求相關(guān)極限值．

這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，根據(jù)|sinx|的周期性劃分積分區(qū)間，利用已證明的等式求極限．

8.

設(shè)f(x)=|sinx|在[0，(2n-1)π](n≥1)上與x軸所圍區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為Vn，求．正確答案：解：如下圖所示，有

所以

[考點(diǎn)]周期函數(shù)的定積分與旋轉(zhuǎn)體的體積．

9.

求積分正確答案：解：因?yàn)?/p>

[考點(diǎn)]定積分的計(jì)算．

[解析]用對(duì)稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)求解．

設(shè)f(x)連續(xù)，則常見(jiàn)的積分等式為

10.

設(shè)矩陣證明AX=B有解，但BY=A無(wú)解的充分必要條件是a≠2，b=2．正確答案：解：首先容易得|A|=12(a-2)，且

所以當(dāng)a≠2，b=2時(shí)，矩陣A可逆，B不可逆，那么矩陣方程AX=B一定有解X=A-1B.而若矩陣方程BY=A有解，不妨設(shè)為Y0，那么對(duì)BY0=A取行列式可得|B||Y0|=|A|≠0，由此可知B也可逆，矛盾，所以矩陣方程BY=A無(wú)解．

反之，若b≠2，則矩陣B可逆，所以矩陣方程BY=A一定有解y=B-1A，于是若BY=A無(wú)解，則b=2，在此情況下，對(duì)(A，B)進(jìn)行初等行變換，化為階梯形，有

當(dāng)a≠2時(shí)，顯然r(A)=r(A，B)=3，所以矩陣方程AX=B有解．

當(dāng)a=2時(shí)，繼續(xù)作初等行變換，有

由此可知r(A)=2＜3=r(A，B)，所以矩陣方程AX=B無(wú)解，即AX=B有解的充分必要條件是a≠2．

綜上可知，矩陣方程AX=B有解，但BY=A無(wú)解的充分必要條件是a≠2，b=2．[考點(diǎn)]矩陣方程．

[解析]利用矩陣方程解的判別條件證明．

矩陣方程是線性代數(shù)的一個(gè)重要題型，實(shí)際上也是線性方程組的一種變形考查．本題用到了判別條件：

矩陣方程AX=B有解r(A)=r(A，B)

B的列向量可由A的列向量線性表示．

下面的證明過(guò)程可以看出矩陣方程與線性方程組的密切聯(lián)系．

令X=(x1，x2，…，xn)，B=(b1，b2，…，bn)，則

AX=B有解Axi=bi都有解(i=1，…，n)

r(A)=r(A，bi)(i=1，…，n)

r(A)=r(A，B)．

11.

設(shè)φ(x)是在[-a，a]上的連續(xù)正值函數(shù)，且定義

證明：曲線y=f(x)在[-a，a]上是凹的．正確答案：證明：利用定積分的性質(zhì)，得

所以

f"(x)=φ(x)-[-φ(x)]=2φ(x)＞0，x∈[-a，a].

因此曲線y=f(x)在[-a，a]上是凹的．[考點(diǎn)]含絕對(duì)值的積分的求解及函數(shù)的凸性．

[解析]利用變限積分的性質(zhì)，求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．

本題的關(guān)鍵是先根據(jù)區(qū)間的可加性，去掉被積函數(shù)中的絕對(duì)值，然后再根據(jù)變限積分的性質(zhì)求導(dǎo)數(shù)．

12.

計(jì)算二重積分正確答案：解：

因?yàn)閒(-x，y)=-f(x，y)，且D關(guān)于y軸對(duì)稱，故

因?yàn)間(-x，y)=g(x，y)，且D關(guān)于y軸對(duì)稱，故其中D1={(x，y)|x2+y2≤1，y≥x≥0}．

于是

[考點(diǎn)]二重積分的計(jì)算．

[解析]本題可先利用二重積分的對(duì)稱性，再利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分．

本題應(yīng)注意三角函數(shù)積分的計(jì)算．

設(shè)方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T，方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系為β1=(1，1，-1，-1，1)T，β2=(1，-1，1，-1，2)T，β3=(1，-1，-1，1，1)T.13.

問(wèn)線性方程組Ax=0和Bx=0是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解．若沒(méi)有，則說(shuō)明理由．正確答案：解：考慮線性方程組對(duì)系數(shù)矩陣(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣

因而得到方程組的基礎(chǔ)解系(-2，0，2，-1，0，1)T，代入后得到的基礎(chǔ)解系為ξ=-2α1+2α3=(0，-2，0，2，0)T，求得通解為x=(0，-k，0，k，0)T，其中k為任意非零常數(shù)．[考點(diǎn)]線性方程組的公共解．

[解析]兩個(gè)齊次線性方程組的公共解可以分別被兩個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示，從而得到一個(gè)新的齊次線性方程組，求解即得公共解．

公共解和同解的問(wèn)題也是線性方程組的變形考查內(nèi)容．

1．公共解問(wèn)題．

(1)已知兩個(gè)方程組的一般形式，聯(lián)立即可求得公共解．

(2)已知一個(gè)方程組的通解和另一個(gè)方程組的一般形式，代入即可求得公共解．

(3)已知Ax=0和Bx=0的基礎(chǔ)解系分別為ξ1，ξ2，…，ξs和η1，η2，…，ηt，則公共解γ滿足γ=x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs=y1η1+y2η2+…+ytηt，則有齊次線性方程組

x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs-y1η1-y2η2+…-ytηt=0，解得xi或yi即可求得γ．

2．同解問(wèn)題．

(1)齊次線性方程組Ax=0和Bx=0同解

(2)非齊次線性方程組Ax=b1和Bx=b2有解，則Ax=b1和Bx=b2同解

14.

求矩陣C=(AT，BT)的秩．正確答案：解：由此可見(jiàn)，矩陣C=(AT，BT)的秩為4．[考點(diǎn)]線性方程組的公共解．

求數(shù)列極限：15.

．正確答案：解：因?yàn)槎蓨A逼定理知

[考點(diǎn)]n項(xiàng)和極限的求法．

[解析]夾逼定理求數(shù)列極限．

16.

正確答案：解：因?yàn)閒(x)=sinx在內(nèi)單調(diào)增加，則當(dāng)n＞2時(shí)，

由夾逼定理知，

[考點(diǎn)]n項(xiàng)和極限的求法．

17.

求微分方程y"+4y'+4y=eax的通解，其中a為常數(shù)．正確答案：解：對(duì)于y"+4y'+4y=0，解特征方程r2+4r+4=0得r1=r2=-2，故其通解為Y=(C1+C2x)e-2x．

當(dāng)a≠-2時(shí)，設(shè)y*=b0eax，代入原方程得(a2+4a+4)b0=1，即

當(dāng)a=-2時(shí)，設(shè)y*=b0x2e-2x，代入原方程得2b0=1，即

所以，原方程的通解為[考點(diǎn)]二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解．

[解析]原方程為自由項(xiàng)形如f(x)=eλxPm(x)(λ為常數(shù)，Pm(x)為x的一個(gè)m次多項(xiàng)式)的二階常系數(shù)非齊次線性方程，應(yīng)先求其對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解，再求其自身的一個(gè)特解．

值得注意的是，本題中參數(shù)a的取值影響了特解的形式，故應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論．

18.

試確定常數(shù)A，B，C的值，使正確答案：解：由題意得，則A=2．

[考點(diǎn)]已知極限求待定系數(shù)．

[解析]利用常見(jiàn)結(jié)論：

已知極限存在確定待定常數(shù)的問(wèn)題是考研數(shù)學(xué)的?？碱}型，其主要方法是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的極限求解．

設(shè)求：19.

正交矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．正確答案：解：得λ1=a+2，λ2=λ3=a-1.

當(dāng)λ1=a+2時(shí)，

得特征向量為

當(dāng)λ2=λ3=a-1時(shí)，

得特征向量為

[考點(diǎn)]實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化，正定矩陣的性質(zhì)．

20.

正定矩陣C，使得C2=(a+3)E-A.正確答案：解：

[考點(diǎn)]實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化，正定矩陣的性質(zhì)．

[解析]先把C2對(duì)角化，再反求矩陣C.

本質(zhì)上是相似對(duì)角化的應(yīng)用問(wèn)題，即已知相似對(duì)角化，反求矩陣，因此先把C2對(duì)角化，再反求矩陣C.

21.

設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得

正確答案：證明：令，將f(x)在x=c處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得

其中，η介于x與c之間，取x=a，x=b，則

其中，ξ1介于a與c之間，ξ2介于c與b之間．

式①+式②得

其中，m，M分別為f"(x)在[ξ1，ξ2]上的最小值和最大值．

由介值定理可知，存在，使得

[考點(diǎn)]有關(guān)中值等式的證明問(wèn)題．

[解析]利用泰勒公式證明．

22.

已知問(wèn)：

(1)當(dāng)a，b，c為何值時(shí)，方程組只有零解?

(2)當(dāng)a，b，c為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解?并求通解．正確答案：解：系數(shù)行列式

(1)當(dāng)a≠b，b≠c，c≠a時(shí)，D≠0，方程組僅有零解x1=x2=x3=0．

(2)下面分4種情況：

1)當(dāng)a=b≠c時(shí)，同解方程組為

方程組有無(wú)窮多解，全部解為k1(1，-1，0)T，其中k1為任意常數(shù)．

2)當(dāng)a=c≠b時(shí)，同解方程組為

方程組有無(wú)窮多解，全部解為k2(1，0，-1)T，其中k2為任意常數(shù)．

3)當(dāng)b=c≠a時(shí)，同解方程組為

方程組有無(wú)窮多解，全部解為k3(0，1，-1)T，其中k3為任意常數(shù)．

4)當(dāng)a=b=c時(shí)，同解方程組為

x1+x2+x3=0．

方程組有無(wú)窮多解，全部解為k4(-1，1，0)T+k5(-1，0，1)T，其中k4，k5為任意常數(shù)．[考點(diǎn)]具體型齊次線性方程組的求解．

[解析]先利用克拉默法則確定參數(shù)的范圍，再對(duì)參數(shù)的不同取值用消元法求解．

具體型線性方程組的求解難度不高，但需要注意兩點(diǎn)：

(1)如果系數(shù)矩陣是方陣，而且系數(shù)行列式容易求解，則先考慮克拉默法則；

(2)含參數(shù)方程組的計(jì)算量相對(duì)較大，這也是近年來(lái)命題的一個(gè)趨勢(shì)，所以必須計(jì)算過(guò)關(guān)!

23.

設(shè)半徑為R的圓形閘門，水面與其閘頂平齊，如下圖所示，求閘門一側(cè)所受的水壓力(水密度為ρ，重力加速度為g)．

正確答案：解：如下圖所示，由微元法知

故水壓力為

根據(jù)定積分的幾何意義和奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)知(也可用換元法x=Rsint求解)

P=ρgπR3+0=ρgπR3.

[考點(diǎn)]定積分的物理應(yīng)用．

[解析]用微元法求水壓力問(wèn)題．

24.

設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，f'(x)＞0，0≤t≤1，記S1(t)為y=f(x)，y=f(t)，x=0所圍區(qū)域的面積，S2(t)為y=f(x)，y=f(t)，x=1所圍區(qū)域的面積，證明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得

S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0．正確答