高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運算學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第1講平面向量的概念及其線性運算

考點回顧考綱解讀考向預測

年份卷型考點題號分值

1.能運用所學向量的有關概念和定理解答相關概2019年預計考查向量

念辨析題和新定義題.概念的判斷、向量線性運

2017n線性運算5

2.要求能熟練地在常見平面幾何圖形中進行相應算、嗔的計算、根據(jù)向量共

向量的加法、減法和數(shù)乘運算.線求參數(shù)值.試迤在求解過

2016I向量垂直5

133.理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，程中突出向量的“幾何

并能靈活應用到解題中.性”，向量的線性運算就是

2015T線性汪算54.共線向量定理是本講的重點，要重點掌握.圖形運算.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的接

(2)零向量：長度為8的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量.

規(guī)定：。與任一向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向曲反的向量.

考點2向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

交換律：

巴a-\-b=b+a；

求兩個a

加法三角形法則結合律：

向量和的運算

(a+b)+c=

a

a+(6+c)

平行四邊形法則

求3與，

a~b=a+(—

減法的相反向量一

b)

b的和的運算a

三角形法則

續(xù)表

向量運

定義法則(或幾何意義)運算律

算

久(〃a)=

14a|=|||a|,

(H〃)a；

求實數(shù)4當A>0時，4a與a

(4+〃)a=

數(shù)乘與向量a的積的的方向相同;當4V0時.,Ha

^a+Pa；

運算與a的方向相反;當幾=0時?，

4(a+b)=

4a二0

Aa+Ab

考點3共線向量定理

向量a(aWO)與6共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)A,使6=4a.

［必會結論］

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終

—?—?―?—?

點的向量，即44+44+44H---F4-4=44.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量

和為零向量.

―?―?-?

2.若一為線段48的中點，。為平面內任一點，則仍=/(而+如.

［考點自測］

1.判斷下列結論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.()

(2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()

―?―?―?

(3)為="一仍.()

(4)向量a—6與b—a是相反向量.()

-A-A

(5)向量46與向量儀?是共線向量，則4B,C,〃四點在一條直線上.()

(6)當兩個非零向量a,6共線時，一定有6=4a反之成立.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)V(5)X(6)V

2.［課本改編］如圖所示，在平行四邊形4?徵中，下列結論中錯誤的是()

DC

4B

-?-A—?-A-A

A.AB=DCB,AD+AB=AC

—?―?—?—?-?

C.AB-AD=BDD.AD+CB=0

答案C

—?—?—?-?

解析由AB-AD=DB=-BD,故C錯誤.

—?—?—?

3.[課本改編]設P是所在平面內的一點，BC+BA=2BP,貝M)

-A--A-A-*■

A.PA+PB=OB.PC+PA=O

―?—?―?—?-?

C.PB+PC=OD.PA+PB+PC=Q

答案B

—?—?—?-A-?

解析?:BC+BA=2BP,???P為“'的中點，???/T+44=0.選B.

4.[2018?溫州模擬]已知a與6是兩個不共線向量，且向量a+4b與一(6-3a)共線,

則4=.

答案-I

解析設a+4b=4]—(b—3a)]=3而一AZbAl=3/r,且X=—A,/.A=—

5.[2015?北京高考]在△力比中，點也4滿足⑷7=2,梃；BN=NC^MN=xAB+yAC,則

:y-

11

轡案_

---

26

解析由題中條件得加￥=掰，+0￥=；力。+；0?=[力。+^(4?—=]:AB—^AC=xAB-\~yAC,

所以x—^,y=—1.

板塊二典例探究?考向突破

考向平面向量的概念

例1給出下列命題:

①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同;

②若a與6共線，6與c共線，則a與c也共線;

③若4B,C,〃是不共線的四點，則則/時為平行四邊形；

④a=b的充要條件是Ial=6且@〃6；

⑤已知4,〃為實數(shù),若入a=Nb,則a與，共線.

其中真命題的序號是.

答案③

解析①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不

一定有相同的起點和終點.

②錯誤，若6=0,則a與c不一定共線.

—?—?—?—?—?-?

③正確，因為4B=DC,所以I4劇=|比1且力勿如：又4B,C,〃是不共線的四點，所

以四邊形4?必為平行四邊形.

④錯誤，當a〃。且方向相反時，即使|a|=b\,也不能得到a=6,所以|a|=引且a

〃b不是a=6的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤錯誤，當兒=〃=0時，a與6可以為任意向量，滿足入a=口b,但a與6不一定共

線.

故填③.

觸類旁通

對于向量的概念應注意的問題

(1)向量的兩個特征：有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，字母表示，也可

以用坐標表示.

(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量則未必是相等向量.

(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可

以比較大小.

(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價的.

【變式訓練1】設&為單位向量，下列命題中：①若a為平面內的某個向量，則@=

a-a,；②若a與國平行，貝!]a=aa；③若a與為平行且|a|=1,則a=a>.假命題的個

數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，a與的模相同，但方向不一定相同，故①

是假命題；若a與國平行，則a與&的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a

=一|司&,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.

考向圖平面向量的線性運算

丫命題角度1…向量加減法的幾何意義

例2[2017?全國卷H]設非零向量a,6滿足|a+〃=a—引，則()

A.aLbB.|a|=|J6|

C.a//bD.\a\>\b\

答案A

解析解法一：:|a+6|=|a—引，

Ia+b|2=|a—b\2.

/.a'+1)+2a?b—a+1)-2a?b.

:?a?b=0.*.aA.b.

故選A.

解法二：利用向量加法的平行四邊形法則.

在口/版中，設/4=a,AD=b,

-A-A

由|a+6|=a—b知|力C|=,

從而四邊形/筋為矩形，即4夕,力〃，故aJ_b.

故選A.

‘命題角一度2…向量的線性運算

-?-A

例3[2015?全國卷I]設〃為△力比'所在平面內一點，BC=3CD,則()

—?—?—?—?—?-?

1.414

A.AD=^^AB+~ACB.AD=-^AB—^AC

—?—?—?—?—?—?

4.141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

oO,J

答案A

―?—?—?—?―?—?—>

解析AD=AC+CD=AC-V\BC=(AC-

O?J

—?―?—?—?-?

AB)~^AC—\AB^=-故選A.

?施題角度.3…利用血.量的線性運算求參數(shù)

例4[2018?唐山模擬]在直角梯形4灰力中，N/l=90°,N6=30°,AB=2小,BC

—?—?-?

=2,點￡在線段CD上,若AE=AZ口AB,則口的取值范圍是.

答案

乙

—?-A

解析由題意可求得4=1,CD=y[3,所以48=2%

?..點￡在線段CD上,

:.DE=4WD.

—?—*—?

?：AE=AD+DE,

—?―?―?—?—?-?

2〃f

又AE=AD+uAB=AD+2UDC=AD+FN

4DE

2〃A1

???F=1,即〃=丁.???()<aWl,zz^-

觸類旁通

平面向量線性運算的一般規(guī)律

(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、

數(shù)乘運算外，還應充分利用平面幾何的一些定理.

(2)在求向量時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角

形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化

為與已知向量有直接關系的向量來求解.

考向3共線向量定理的應用

例5設份，e是兩個不共線的向量，已知4?=2eL8e,G?=ei+3e>,CD=2e\—e2.

⑴求證：A,B,〃三點共線;

②若BF=36-ke,；且8,D,尸三點共線，求A的值.

解(1)證明：由已知得加一⑶=(2自一ej—(8+3金)=①一4會,

?."=2e,—8e；,:.AB=2BD.

又西做有公共點B,

：.A,B,〃三點共線.

―?

⑵由⑴可知8〃=a-42,

-A

?.?以=3&—生，且6,D,尸三點共線，

—?—?

：.BF=ASR),

4=3,

即3a—在食=e,—4He”得｛解得k—i2.

A=—4A.

觸類旁通

怎樣用向量證明三點共線問題

兩向量共線且有公共點(起點相同或終點相同，或一個向量的起點是另一個向量的終

點），則可以得到三點共線；反之由三點共線也可得到向量共線.

【變式訓練2】已知0,A,8是不共線的三點，且0P=m0A+n0B5,nGR).

(1)若加+〃=1,求證：A,P,6三點共線；

(2)若4P,8三點共線，求證：應+〃=1.

證明(1)若勿+〃=1,

—?—?―?—?—?-?

則0々加以+(I-?)0B=0B+m{0A-0B),

—?—?―?—?

：.0P-0B^m{0A-0B),

-A-A-A-A

即切，，露與物共線.

----?-A

又?.?征與物有公共點反P,8三點共線.

—?—?

(2)若4P,6三點共線，存在實數(shù)4，使影=4胡，

-?-?—>—?

：.0P-0B=A(0A-0&.

----?----?-A

又0P=m0A+n0B.

—?―?—?-?

故有mOA+(〃-1)0B=A0A-AOB,

―?-?

即(zff-A)0A+(n+/一1)施=0.

-A—?

'：O,A,6不共線，...a),如不共線，

m-4=0,

??,??R+n^~1.

n+4—1=0,

z------------------------------------------IG幺師筆記?心朋領悟I-----------------------------------------------------------------

IMi\<;sinni,iiC<XciinNAUM^FLi

核心規(guī)律

1.向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關的幾何圖形，比如平

行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關的結論.

2.對于向量共線定理及其等價定理，關鍵要理解向量a與b共線是指a與6所在的直線

平行或重合.

3.要證明三點共線或直線平行都是先探索有關的向量滿足向量等式b=Aa,再結合條

件或圖形有無公共點證明幾何位置.

。滿分策略

1.兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和

終點.

2.零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.

—?-?

3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關系.向量4?與切是共線向量，但4

B,C,〃四點不一定在一條直線上.

4.向量共線的充要條件中要注意“a#0”，否則4可能不存在，也可能有無數(shù)個.

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

易錯警示系列6-—向量線性運算中的易錯點

—?—?—A—?—?

[2018?鐵嶺模擬]已知△45C和點"滿足物+物+加-0.若存在實數(shù)m使得

—?

成立,則朋=()

A.2B.3C.4D.5

錯因分析本題主要考查向量的有關運算以及向量運算的幾何意義.求解該題時容易出

現(xiàn)兩個問題：一是不能根據(jù)也+，監(jiān)+J心=0分析出點材與△48C之間的關系；二是不能靈活

―?―?—?

利用三角形的性質和向量運算的幾何意義找出4?,4C與4R間的關系.

—?—?-?

解析解法一：由始+刈+攸、=0,知點，"為的重心，設點〃為邊比1的中點，則

由向量加法，可知

2

由重心的性質,可知|掰="|4〃可

O

2

而且力/與力洞向,故力滬=鼻力〃，

O

―?―?—?―?—?

211

所以4Q三=可（力5+4。,

J乙O

—?—?-?

所以44+AC=3AM,m—3.故選B.

-?-A-A—>-A

解法二：由已知得4獷+MB+AM~\-MC—inAM,

—?—?—?—?―?―?

又,：MB+MC=~MA=AM,：.3AM=/nAM,

...〃/=3.故選B.

答案B

答題啟示進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點

出發(fā)的基底或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.充分利用相等向

量、相反向量和線段的比例關系，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.

,跟蹤訓練

―?—?—?-?

在△?（玄中，點〃在邊面的延長線上，旦CD=4BD=rAB—sAC,則s+r等于（）

48

A.0B.7C.-D.3

□J

答案C

―?—?—?―?―?—?-?—?—?—?-A-A

解析因為切=4M所以切=疑又因為331C,所以徵腑-陽=^AB-^AC,

48

所以r=s=Q,s+r=Q.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎達標]

1.[2018?南京模擬]對于非零向量a,b,“a+b=0”是“a〃b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若a+Z>=0,則a=-6,所以a〃"若a"b,則a=48,a+Z>=0不一定成立，

故前者是后者的充分不必要條件.故選A.

—?—?-?

2.已知。A,B,，為同一平面內的四個點，若24?十應=0,則向量比等于（）

-?—?―?—?

211.2

A.-OA--OBB.--OA+-OB

OOOO

―?—?—?-?

C.20A-0BD.-0A+20B

答案C

―?—?—?—?—?―?—?―?―?—?—?—?―?—?

解析因為力仁弘一處,CB^OB-OC,所以2然+加2（g-如）+（如一。0=紡-2力

―?―?—?—?

+OB=0,所以口：=22一如故選C.

3.[2018?嘉興模擬]已知向量a與。不共線，且ZlQ/a+6,AC=a+ub,則點力，B,

，三點共線應滿足（）

A.4+〃=2B.4—〃=1C.A.u——\D.

答案D

—?—?

解析若凡B,C三點共線，則即4a+b=*（a+〃A）,所以Aa+b=ka+

Ukb,所以A=kt1=uk,故A〃=1.故選D.

4.設〃E,夕分別為的三邊比；CA,4?的中點，則所用=()

-A--?—>-A

A.ADB.^ADC.BCD.^BC

答案A

―?—?—?—?—?—?—?―?—?

解析EB+FC=^(48+CB)+1(Jf+BO=|{AB+AC)=/〃故選A.

5.在四邊形4陽9中，AB=a+2b,BC=~4a-b,G9=-5a-36,則四邊形48（6的形

狀是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

答案C

解析由已知得，AD=AB+BC+CD=a~\-2b—4a~b~5a—3Z>=—8a—26=2（—4a—b）

-?—?―?—?-?

=2BC,故況:又因為4?與切不平行，所以四邊形45（力是梯形.故選C.

—?—?—?

6.[2018?北京海淀期末]如圖，在正方形/及力中，￡為國的中點，若AE=XAB+uAC,

則八+〃的值為（）

------------；-----------y\C

/;

1-1

--

2C

JX

1B.1

D.-

A.

C.案

答A

1

解析因為￡為人的中點，所以4c=46+加=%6+5即4￡=

2J

AC,所以A=-"=1，所以4+〃=稱故選八.

7.[2018?綿陽模擬]在等腰梯形被笫中，"=一2微M為比的中點，則加/=（）

B.汕+5。

―?-?

D.56+汕

答案B

解析因為m-2CD,所以AB=2DC又M是外的中點，所以4T=^{AB+AD

8.若點。是△/8C所在平面內的一點，且滿足|仍一0。=1仍+夕一2a1|,則△/優(yōu)■的

形狀為.

答案直角三角形

-?-A-?-A-A->-?—>-A-A—A-?-A-A—A

解析因為0B+0C—20A=0B—0A+0C-04=AB+AC,OB-0C=CB=AB-AC,所以|48+

—?—?—?—?—?—?-?

AC\=|AB-AC\,即45?47=0,故/員L/C,為直角三角形.

12

9.[2018?江蘇模擬]設〃，￡分別是△被7的邊被回上的點，AD=-AB,BE=qBC.若

-A-A-A

DE—\AB-\~i,X2為實數(shù))，則幾1+42的值為________.

1

答案5

乙

―?-?—>—>―?-?—?—?—?—?—?―?—?

解析DE=DB+BE=^AB^BC=^AB^AC-AB)='：DE=AxAB+A2AC,

121

/.1=-42=耳，故兒+42=5.

O,5/

-?—?—?―?

10.△/仇7所在的平面內有一點?，滿足為+即則△必7與的面積之比

是.

依人,2

答案可

—?—?―?—?—?—?―?—?―?―?―?—?

解析因為PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PgPB—PA,所以AC=即P

ocpro

是IC邊的一個三等分點，且/r=&c,由三角形的面積公式可知，浮=穿=*

o/ICo

[B級知能提升]

1.[2018?福建模擬]設"為平行四邊形對角線的交點，。為平行四邊形/靦所

在平面內任意一點，則勿+仍+%+a）等于（）

A.OMB.20MC.30MD.4QI/

答案D

—?—?—?―?—?—?—?―?―?—?-?

解析0A+0B+0C+0D=