高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算學(xué)案-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

考點(diǎn)回顧考綱解讀考向預(yù)測(cè)

年份卷型考點(diǎn)題號(hào)分值

1.能運(yùn)用所學(xué)向量的有關(guān)概念和定理解答相關(guān)概2019年預(yù)計(jì)考查向量

念辨析題和新定義題.概念的判斷、向量線性運(yùn)

2017n線性運(yùn)算5

2.要求能熟練地在常見平面幾何圖形中進(jìn)行相應(yīng)算、嗔的計(jì)算、根據(jù)向量共

向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算.線求參數(shù)值.試迤在求解過

2016I向量垂直5

133.理解向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，程中突出向量的“幾何

并能靈活應(yīng)用到解題中.性”，向量的線性運(yùn)算就是

2015T線性汪算54.共線向量定理是本講的重點(diǎn)，要重點(diǎn)掌握.圖形運(yùn)算.

板塊一知識(shí)梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識(shí)］

考點(diǎn)1向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的接

(2)零向量：長度為8的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量.

規(guī)定：。與任一向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向曲反的向量.

考點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

交換律：

巴a-\-b=b+a；

求兩個(gè)a

加法三角形法則結(jié)合律：

向量和的運(yùn)算

(a+b)+c=

a

a+(6+c)

平行四邊形法則

求3與，

a~b=a+(—

減法的相反向量一

b)

b的和的運(yùn)算a

三角形法則

續(xù)表

向量運(yùn)

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

算

久(〃a)=

14a|=|||a|,

(H〃)a；

求實(shí)數(shù)4當(dāng)A>0時(shí)，4a與a

(4+〃)a=

數(shù)乘與向量a的積的的方向相同;當(dāng)4V0時(shí).,Ha

^a+Pa；

運(yùn)算與a的方向相反;當(dāng)幾=0時(shí)?，

4(a+b)=

4a二0

Aa+Ab

考點(diǎn)3共線向量定理

向量a(aWO)與6共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)A,使6=4a.

［必會(huì)結(jié)論］

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終

—?—?―?—?

點(diǎn)的向量，即44+44+44H---F4-4=44.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量

和為零向量.

―?―?-?

2.若一為線段48的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則仍=/(而+如.

［考點(diǎn)自測(cè)］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.()

(2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()

―?―?―?

(3)為="一仍.()

(4)向量a—6與b—a是相反向量.()

-A-A

(5)向量46與向量儀?是共線向量，則4B,C,〃四點(diǎn)在一條直線上.()

(6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,6共線時(shí)，一定有6=4a反之成立.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)V(5)X(6)V

2.［課本改編］如圖所示，在平行四邊形4?徵中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

DC

4B

-?-A—?-A-A

A.AB=DCB,AD+AB=AC

—?―?—?—?-?

C.AB-AD=BDD.AD+CB=0

答案C

—?—?—?-?

解析由AB-AD=DB=-BD,故C錯(cuò)誤.

—?—?—?

3.[課本改編]設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP,貝M)

-A--A-A-*■

A.PA+PB=OB.PC+PA=O

―?—?―?—?-?

C.PB+PC=OD.PA+PB+PC=Q

答案B

—?—?—?-A-?

解析?:BC+BA=2BP,???P為“'的中點(diǎn)，???/T+44=0.選B.

4.[2018?溫州模擬]已知a與6是兩個(gè)不共線向量，且向量a+4b與一(6-3a)共線,

則4=.

答案-I

解析設(shè)a+4b=4]—(b—3a)]=3而一AZbAl=3/r,且X=—A,/.A=—

5.[2015?北京高考]在△力比中，點(diǎn)也4滿足⑷7=2,梃；BN=NC^MN=xAB+yAC,則

:y-

11

轡案_

---

26

解析由題中條件得加￥=掰，+0￥=；力。+；0?=[力。+^(4?—=]:AB—^AC=xAB-\~yAC,

所以x—^,y=—1.

板塊二典例探究?考向突破

考向平面向量的概念

例1給出下列命題:

①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同;

②若a與6共線，6與c共線，則a與c也共線;

③若4B,C,〃是不共線的四點(diǎn)，則則/時(shí)為平行四邊形；

④a=b的充要條件是Ial=6且@〃6；

⑤已知4,〃為實(shí)數(shù),若入a=Nb,則a與，共線.

其中真命題的序號(hào)是.

答案③

解析①錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不

一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn).

②錯(cuò)誤，若6=0,則a與c不一定共線.

—?—?—?—?—?-?

③正確，因?yàn)?B=DC,所以I4劇=|比1且力勿如：又4B,C,〃是不共線的四點(diǎn)，所

以四邊形4?必為平行四邊形.

④錯(cuò)誤，當(dāng)a〃。且方向相反時(shí)，即使|a|=b\,也不能得到a=6,所以|a|=引且a

〃b不是a=6的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤錯(cuò)誤，當(dāng)兒=〃=0時(shí)，a與6可以為任意向量，滿足入a=口b,但a與6不一定共

線.

故填③.

觸類旁通

對(duì)于向量的概念應(yīng)注意的問題

(1)向量的兩個(gè)特征：有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，字母表示，也可

以用坐標(biāo)表示.

(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量則未必是相等向量.

(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可

以比較大小.

(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的.

【變式訓(xùn)練1】設(shè)&為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則@=

a-a,；②若a與國平行，貝!]a=aa；③若a與為平行且|a|=1,則a=a>.假命題的個(gè)

數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，a與的模相同，但方向不一定相同，故①

是假命題；若a與國平行，則a與&的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a

=一|司&,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.

考向圖平面向量的線性運(yùn)算

丫命題角度1…向量加減法的幾何意義

例2[2017?全國卷H]設(shè)非零向量a,6滿足|a+〃=a—引，則()

A.aLbB.|a|=|J6|

C.a//bD.\a\>\b\

答案A

解析解法一：:|a+6|=|a—引，

Ia+b|2=|a—b\2.

/.a'+1)+2a?b—a+1)-2a?b.

:?a?b=0.*.aA.b.

故選A.

解法二：利用向量加法的平行四邊形法則.

在口/版中，設(shè)/4=a,AD=b,

-A-A

由|a+6|=a—b知|力C|=,

從而四邊形/筋為矩形，即4夕,力〃，故aJ_b.

故選A.

‘命題角一度2…向量的線性運(yùn)算

-?-A

例3[2015?全國卷I]設(shè)〃為△力比'所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD,則()

—?—?—?—?—?-?

1.414

A.AD=^^AB+~ACB.AD=-^AB—^AC

—?—?—?—?—?—?

4.141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

oO,J

答案A

―?—?—?—?―?—?—>

解析AD=AC+CD=AC-V\BC=(AC-

O?J

—?―?—?—?-?

AB)~^AC—\AB^=-故選A.

?施題角度.3…利用血.量的線性運(yùn)算求參數(shù)

例4[2018?唐山模擬]在直角梯形4灰力中，N/l=90°,N6=30°,AB=2小,BC

—?—?-?

=2,點(diǎn)￡在線段CD上,若AE=AZ口AB,則口的取值范圍是.

答案

乙

—?-A

解析由題意可求得4=1,CD=y[3,所以48=2%

?..點(diǎn)￡在線段CD上,

:.DE=4WD.

—?—*—?

?：AE=AD+DE,

—?―?―?—?—?-?

2〃f

又AE=AD+uAB=AD+2UDC=AD+FN

4DE

2〃A1

???F=1,即〃=丁.???()<aWl,zz^-

觸類旁通

平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律

(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、

數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理.

(2)在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角

形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化

為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

考向3共線向量定理的應(yīng)用

例5設(shè)份，e是兩個(gè)不共線的向量，已知4?=2eL8e,G?=ei+3e>,CD=2e\—e2.

⑴求證：A,B,〃三點(diǎn)共線;

②若BF=36-ke,；且8,D,尸三點(diǎn)共線，求A的值.

解(1)證明：由已知得加一⑶=(2自一ej—(8+3金)=①一4會(huì),

?."=2e,—8e；,:.AB=2BD.

又西做有公共點(diǎn)B,

：.A,B,〃三點(diǎn)共線.

―?

⑵由⑴可知8〃=a-42,

-A

?.?以=3&—生，且6,D,尸三點(diǎn)共線，

—?—?

：.BF=ASR),

4=3,

即3a—在食=e,—4He”得｛解得k—i2.

A=—4A.

觸類旁通

怎樣用向量證明三點(diǎn)共線問題

兩向量共線且有公共點(diǎn)(起點(diǎn)相同或終點(diǎn)相同，或一個(gè)向量的起點(diǎn)是另一個(gè)向量的終

點(diǎn)），則可以得到三點(diǎn)共線；反之由三點(diǎn)共線也可得到向量共線.

【變式訓(xùn)練2】已知0,A,8是不共線的三點(diǎn)，且0P=m0A+n0B5,nGR).

(1)若加+〃=1,求證：A,P,6三點(diǎn)共線；

(2)若4P,8三點(diǎn)共線，求證：應(yīng)+〃=1.

證明(1)若勿+〃=1,

—?—?―?—?—?-?

則0々加以+(I-?)0B=0B+m{0A-0B),

—?—?―?—?

：.0P-0B^m{0A-0B),

-A-A-A-A

即切，，露與物共線.

----?-A

又?.?征與物有公共點(diǎn)反P,8三點(diǎn)共線.

—?—?

(2)若4P,6三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)4，使影=4胡，

-?-?—>—?

：.0P-0B=A(0A-0&.

----?----?-A

又0P=m0A+n0B.

—?―?—?-?

故有mOA+(〃-1)0B=A0A-AOB,

―?-?

即(zff-A)0A+(n+/一1)施=0.

-A—?

'：O,A,6不共線，...a),如不共線，

m-4=0,

??,??R+n^~1.

n+4—1=0,

z------------------------------------------IG幺師筆記?心朋領(lǐng)悟I-----------------------------------------------------------------

IMi\<;sinni,iiC<XciinNAUM^FLi

核心規(guī)律

1.向量的加、減法運(yùn)算，要在所表達(dá)的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平

行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論.

2.對(duì)于向量共線定理及其等價(jià)定理，關(guān)鍵要理解向量a與b共線是指a與6所在的直線

平行或重合.

3.要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b=Aa,再結(jié)合條

件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置.

。滿分策略

1.兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和

終點(diǎn).

2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.

—?-?

3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系.向量4?與切是共線向量，但4

B,C,〃四點(diǎn)不一定在一條直線上.

4.向量共線的充要條件中要注意“a#0”，否則4可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

易錯(cuò)警示系列6-—向量線性運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn)

—?—?—A—?—?

[2018?鐵嶺模擬]已知△45C和點(diǎn)"滿足物+物+加-0.若存在實(shí)數(shù)m使得

—?

成立,則朋=()

A.2B.3C.4D.5

錯(cuò)因分析本題主要考查向量的有關(guān)運(yùn)算以及向量運(yùn)算的幾何意義.求解該題時(shí)容易出

現(xiàn)兩個(gè)問題：一是不能根據(jù)也+，監(jiān)+J心=0分析出點(diǎn)材與△48C之間的關(guān)系；二是不能靈活

―?―?—?

利用三角形的性質(zhì)和向量運(yùn)算的幾何意義找出4?,4C與4R間的關(guān)系.

—?—?-?

解析解法一：由始+刈+攸、=0,知點(diǎn)，"為的重心，設(shè)點(diǎn)〃為邊比1的中點(diǎn)，則

由向量加法，可知

2

由重心的性質(zhì),可知|掰="|4〃可

O

2

而且力/與力洞向,故力滬=鼻力〃，

O

―?―?—?―?—?

211

所以4Q三=可（力5+4。,

J乙O

—?—?-?

所以44+AC=3AM,m—3.故選B.

-?-A-A—>-A

解法二：由已知得4獷+MB+AM~\-MC—inAM,

—?—?—?—?―?―?

又,：MB+MC=~MA=AM,：.3AM=/nAM,

...〃/=3.故選B.

答案B

答題啟示進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)

出發(fā)的基底或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.充分利用相等向

量、相反向量和線段的比例關(guān)系，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

,跟蹤訓(xùn)練

―?—?—?-?

在△?（玄中，點(diǎn)〃在邊面的延長線上，旦CD=4BD=rAB—sAC,則s+r等于（）

48

A.0B.7C.-D.3

□J

答案C

―?—?—?―?―?—?-?—?—?—?-A-A

解析因?yàn)榍?4M所以切=疑又因?yàn)?31C,所以徵腑-陽=^AB-^AC,

48

所以r=s=Q,s+r=Q.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.[2018?南京模擬]對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a〃b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若a+Z>=0,則a=-6,所以a〃"若a"b,則a=48,a+Z>=0不一定成立，

故前者是后者的充分不必要條件.故選A.

—?—?-?

2.已知。A,B,，為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若24?十應(yīng)=0,則向量比等于（）

-?—?―?—?

211.2

A.-OA--OBB.--OA+-OB

OOOO

―?—?—?-?

C.20A-0BD.-0A+20B

答案C

―?—?—?—?—?―?—?―?―?—?—?—?―?—?

解析因?yàn)榱θ屎胍惶?CB^OB-OC,所以2然+加2（g-如）+（如一。0=紡-2力

―?―?—?—?

+OB=0,所以口：=22一如故選C.

3.[2018?嘉興模擬]已知向量a與。不共線，且ZlQ/a+6,AC=a+ub,則點(diǎn)力，B,

，三點(diǎn)共線應(yīng)滿足（）

A.4+〃=2B.4—〃=1C.A.u——\D.

答案D

—?—?

解析若凡B,C三點(diǎn)共線，則即4a+b=*（a+〃A）,所以Aa+b=ka+

Ukb,所以A=kt1=uk,故A〃=1.故選D.

4.設(shè)〃E,夕分別為的三邊比；CA,4?的中點(diǎn)，則所用=()

-A--?—>-A

A.ADB.^ADC.BCD.^BC

答案A

―?—?—?—?—?—?—?―?—?

解析EB+FC=^(48+CB)+1(Jf+BO=|{AB+AC)=/〃故選A.

5.在四邊形4陽9中，AB=a+2b,BC=~4a-b,G9=-5a-36,則四邊形48（6的形

狀是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對(duì)

答案C

解析由已知得，AD=AB+BC+CD=a~\-2b—4a~b~5a—3Z>=—8a—26=2（—4a—b）

-?—?―?—?-?

=2BC,故況:又因?yàn)??與切不平行，所以四邊形45（力是梯形.故選C.

—?—?—?

6.[2018?北京海淀期末]如圖，在正方形/及力中，￡為國的中點(diǎn)，若AE=XAB+uAC,

則八+〃的值為（）

------------；-----------y\C

/;

1-1

--

2C

JX

1B.1

D.-

A.

C.案

答A

1

解析因?yàn)椤隇槿说闹悬c(diǎn)，所以4c=46+加=%6+5即4￡=

2J

AC,所以A=-"=1，所以4+〃=稱故選八.

7.[2018?綿陽模擬]在等腰梯形被笫中，"=一2微M為比的中點(diǎn)，則加/=（）

B.汕+5。

―?-?

D.56+汕

答案B

解析因?yàn)閙-2CD,所以AB=2DC又M是外的中點(diǎn)，所以4T=^{AB+AD

8.若點(diǎn)。是△/8C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|仍一0。=1仍+夕一2a1|,則△/優(yōu)■的

形狀為.

答案直角三角形

-?-A-?-A-A->-?—>-A-A—A-?-A-A—A

解析因?yàn)?B+0C—20A=0B—0A+0C-04=AB+AC,OB-0C=CB=AB-AC,所以|48+

—?—?—?—?—?—?-?

AC\=|AB-AC\,即45?47=0,故/員L/C,為直角三角形.

12

9.[2018?江蘇模擬]設(shè)〃，￡分別是△被7的邊被回上的點(diǎn)，AD=-AB,BE=qBC.若

-A-A-A

DE—\AB-\~i,X2為實(shí)數(shù))，則幾1+42的值為________.

1

答案5

乙

―?-?—>—>―?-?—?—?—?—?—?―?—?

解析DE=DB+BE=^AB^BC=^AB^AC-AB)='：DE=AxAB+A2AC,

121

/.1=-42=耳，故兒+42=5.

O,5/

-?—?—?―?

10.△/仇7所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)?，滿足為+即則△必7與的面積之比

是.

依人,2

答案可

—?—?―?—?—?—?―?—?―?―?―?—?

解析因?yàn)镻A+PB+PC=AB,所以PA+PB+PgPB—PA,所以AC=即P

ocpro

是IC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，且/r=&c,由三角形的面積公式可知，浮=穿=*

o/ICo

[B級(jí)知能提升]

1.[2018?福建模擬]設(shè)"為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，。為平行四邊形/靦所

在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則勿+仍+%+a）等于（）

A.OMB.20MC.30MD.4QI/

答案D

—?—?—?―?—?—?—?―?―?—?-?

解析0A+0B+0C+0D=