2022年遼寧省沈陽市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

沈陽市2022年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)皿「學(xué),、憶試\__rx卷

試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生須用0.5mm黑色字跡的簽字筆在本試卷卷規(guī)定位置填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號;

2.考生須在答題卡上作答，不能在本試卷卷上作答，答在本試卷卷上無效；

3.考試結(jié)束，將本試卷卷和答題卡一并交回；

4.本試卷卷包括八道大題，25道小題，共6頁.如缺頁、印刷不清，考生須聲明.

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的.每小題2分，共20分）

1.計(jì)算5+（—3）正確的是（）

A.2B.-2C.8D.-8

2.如圖是由4個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（)

正面

3.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A.B.a6a3=a2C.(a//)=時(shí)D.(4/+Z?)2=a1+2ab+b2

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-3,-2)

5.調(diào)查某少年足球隊(duì)全體隊(duì)員的年齡，得到數(shù)據(jù)結(jié)果如下表:

年齡/歲1112131415

人數(shù)34722

則該足球隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)是（）

A.15歲B.14歲C.13歲D.7人

6.不等式2x+l>3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

7.如圖，在RfABC中，NA=30°,點(diǎn)。、E分別是直角邊AC、BC的中點(diǎn)，連接。E,則NCE。度數(shù)是

8.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=—x+l的圖象是（）

9.下列說法正確的是（）

A.了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式

B.如果某彩票的中獎(jiǎng)概率是1%,那么一次購買100張這種彩票一定會中獎(jiǎng)

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，S,=2.5,S；=8.7,則乙組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

D.“任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是7”是必然事件

10.如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸垂直），測P、。兩點(diǎn)距離為桃米,

ZPQT=a,則河寬PT的長度是（）

A.msinaB.rncosaC.mtanofD.--------

tana

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.分解因式：ay2+6ay+9a=.

x+2y=5

12.二元一次方程組</的解是______.

y=2x

13.化簡：fl--.三二i=.

IX+1）X

14.如圖，邊長為4的正方形ABC。內(nèi)接于）0,則AB的長是（結(jié)果保留兀）

15.如圖四邊形A8C。是平行四邊形，C。在x軸上，點(diǎn)8在y軸上，反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象經(jīng)過第一象限

點(diǎn)A,且平行四邊形4BCD的面積為6,則左=.

16.如圖，將矩形紙片ABCQ折疊，折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊A。，8C上，點(diǎn)C,。的對應(yīng)點(diǎn)分別在E,F

且點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部，板的延長線交3C與點(diǎn)G,EF交邊BC于點(diǎn)H.EN=2,AB=4,當(dāng)點(diǎn)》為GN三等分

點(diǎn)時(shí)，ATO的長為.

三、解答題：

17計(jì)算：疵—3tan3(T+出+2—2卜

18.為了調(diào)動同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，班內(nèi)組織開展了“數(shù)學(xué)小先生”講題比賽，老師將四道備講題的題號1,

2,3,4,分別寫在完全相同的4張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻.

(1)隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上數(shù)字是“4"的概率是；

(2)小明隨機(jī)抽取兩張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率.

19.如圖，在ABC中，A。是.ABC的角平分線，分別以點(diǎn)A,。為圓心，大于工人。的長為半徑作弧，兩弧交

2

于點(diǎn)N,作直線MN,分別交A8,AD,AC于點(diǎn)E,O,F,連接。E,DF.

(1)由作圖可知，直線是線段A。的.

(2)求證：四邊形4瓦不是菱形.

20.某校積極落實(shí)“雙減”政策，將要開設(shè)拓展課程，為讓學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇最喜歡的課程，進(jìn)行問

卷調(diào)查，問卷設(shè)置以下四種選項(xiàng)：A(綜合模型)、B(攝影藝術(shù))、C(音樂鑒賞)、D(勞動實(shí)踐)，隨機(jī)抽取了部

分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，每名學(xué)生必須且只能選擇其中最喜歡的一種課程，并將調(diào)查結(jié)果整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)

圖.

學(xué)生最喜歡的課程條形統(tǒng)計(jì)圖

學(xué)生最喜歡的課程扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)此次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為名;

(2)直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)求拓展課程。(勞動實(shí)踐)所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù);

(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請你估計(jì)該校800名學(xué)生中，有多少名學(xué)生最喜歡C(音樂鑒賞)拓展課程.

21.如圖，用一根長60厘米鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架鐵絲恰好全部用完.

(1)若所圍成矩形框架A8CD的面積為144平方厘米，則的長為多少厘米？

(2)矩形框架A2CD面積最大值為平方厘米.

22.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于圓。，是圓。的直徑，AD,的延長線交于點(diǎn)E，延長CB交于點(diǎn)

P,ZBAP+ZDCE=90°.

(1)求證：Q4是圓。的切線;

(2)連接AC,sinZBAC=-,BC=2,A￡>的長為.

3

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=履+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5(0,9),與直線OC

交于點(diǎn)C(8,3).

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

(2)過點(diǎn)C作CDLx軸于點(diǎn)O,將八4?！?gt;沿射線C8平移得到的三角形記為△A'C'D',點(diǎn)A,C,。的對應(yīng)

點(diǎn)分別為A,C,訊若△A'C'D'與一5OC重疊部分的面積為S,平移的距離CC'=m,當(dāng)點(diǎn)A，與點(diǎn)2重合

時(shí)停止運(yùn)動.

①若直線C'。'交直線OC于點(diǎn)E,則線段C'E的長為(用含有加的代數(shù)式表示);

②當(dāng)0(m<g時(shí)，S與相的關(guān)系式為

24

③當(dāng)S=7時(shí)，根的值為.

24.(1)如圖，AQB和△COZ)是等腰直角三角形，NAC?=NCOD=90。，點(diǎn)C在。4上，點(diǎn)。在線段3。延

長線上，連接A。，BC.線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,將圖1中△COD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)c(0°<e<90°)第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成

立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由.

(3)如圖，若AB=8,點(diǎn)C是線段A8外一動點(diǎn)，AC=3#，連接8C,

①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接AD,則AD的最大值______；

②若以BC為斜邊作HTBCD,(B、C、〃三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，ZCDB=90°,連接A。，當(dāng)

NCBD=ND1B=3O°時(shí)，直接寫出的值.

c

圖3

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=加+法-3經(jīng)過點(diǎn)3(6,0)和點(diǎn)￡)(4,-3)與x軸另一

個(gè)交點(diǎn)A.拋物線與y軸交于點(diǎn)C,作直線AD

②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)E是直線下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交于點(diǎn)R連接3DDE,產(chǎn)的面積記為耳，一刀七尸

的面積記為$2，當(dāng)S|=2S2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為

G，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C',點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)G',將曲線C-沿y軸向下平移w個(gè)單位長度(0</<6).曲線與直

線2C的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)。若四邊形C'G'QP是平行四邊形，直接寫出尸的坐標(biāo).

沈陽市2022年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)皿「學(xué),、憶試\__IX卷

試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生須用0.5mm黑色字跡的簽字筆在本試卷卷規(guī)定位置填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號;

2.考生須在答題卡上作答，不能在本試卷卷上作答，答在本試卷卷上無效；

3.考試結(jié)束，將本試卷卷和答題卡一并交回；

4.本試卷卷包括八道大題，25道小題，共6頁.如缺頁、印刷不清，考生須聲明.

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的.每小題2分，共20分）

1.計(jì)算5+（—3）正確的是（）

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：5+（-3）=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是由4個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）

正面

【答案】D

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】解：從正面看易得上面第一層有1個(gè)正方形，第二層左邊和右邊都有一個(gè)正方形，如圖所示:

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

3.下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

A(/)=/B.a6-^-a3-a2C.(a//)=ab&D.^a+by=a2+2ab+b~

【答案】D

【分析】分別利用幕的乘方法則，同底數(shù)塞的除法，積的乘方法則，完全平方公式分別求出即可.

【詳解】A.故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B.故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C.(。。4)2=。2人8,故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D.(a+b)"=a2+2ab+b2,故此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查累的乘方法則，同底數(shù)暴的除法，積的乘方法則，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解

答本題的關(guān)鍵.嘉的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；積的乘方，等于把積的

每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘；3+6)2=/+2仍+〃與(a-6)2=a2—2M+尸都叫做完全平方公

式，為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,3)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-3,-2)

【答案】B

【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可解答.

【詳解】解：點(diǎn)A（2,3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,3）.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，

縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與

縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

5.調(diào)查某少年足球隊(duì)全體隊(duì)員的年齡，得到數(shù)據(jù)結(jié)果如下表：

年齡/歲1112131415

人數(shù)34722

則該足球隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)是（）

A.15歲B.14歲C.13歲D.7人

【答案】C

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即可得出答案.

【詳解】解：?.?年齡是13歲的人數(shù)最多，有7個(gè)人，

，這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)是13；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

6.不等式2x+l>3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3A一二D—dI

【答案】B

【分析】先解不等式，將不等式的解集表示在數(shù)軸上即可.

【詳解】解：2%+1>3

移項(xiàng)合并得：2x>2,

系數(shù)化1得：龍〉1,

表示在數(shù)軸上為：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在數(shù)軸上，正確解出不等式是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在火力ABC中，NA=30°,點(diǎn)。、E分別是直角邊AC、8c的中點(diǎn)，連接。E,則NCEO度數(shù)是

()

A.70°B.60°C.30°D.20°

【答案】B

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)。、E分別是直角邊AC、8c的中點(diǎn)，所以。E是ABC的中位線，三角形的中位線平行于第

三邊，進(jìn)而得到N6=NCED,求出B3的度數(shù)，即為NC⑦的度數(shù).

【詳解】解：：點(diǎn)。、E分別是直角邊AC、8C的中點(diǎn)，

；.DE是Rt-ABC的中位線，

/.DE//AB，

：.ZB=ZCED,

VZA=30°,ZC=90°,

ZB=90°-30°=60°,

ZCED=60°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和，由三角形中位線定義，找到平行線是解答本題的關(guān)

鍵.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+l的圖象是(

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得.

【詳解】解：一次函數(shù)y=—%+1的一次項(xiàng)系數(shù)為-工常數(shù)項(xiàng)為1>0,

；?函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.下列說法正確的是（）

A.了解一批燈泡的使用壽命，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式

B.如果某彩票的中獎(jiǎng)概率是1%,那么一次購買100張這種彩票一定會中獎(jiǎng)

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，S番=2.5,=8.7,則乙組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定

D.“任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是7”是必然事件

【答案】A

【分析】根據(jù)全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義、概率的意義、方差的意義、事件可能性的大小分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.要了解一批燈泡的使用壽命，采用普查的方式不合適，破壞性較強(qiáng)，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故此選項(xiàng)

正確，符合題意；

B.如果某彩票的中獎(jiǎng)概率是1%,那么一次購買100張這種彩票不一定一定會中獎(jiǎng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，S看=2.5,=8.7,則“則甲組數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不

符合題意；

D.“任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是7”是不可能事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義、概率的意義、方差的意義、事件可能性的大小，關(guān)鍵是熟

練掌握各知識點(diǎn).

10.如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度尸T（尸7與河岸尸。垂直），測P、。兩點(diǎn)距離為機(jī)米，

NPQT=。，則河寬尸7的長度是（）

m

A.msinaB.mcosaC.mtanaD.-----

tana

【答案】C

【分析】結(jié)合圖形利用正切函數(shù)求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

PT

tana=---

PQ

：.PT=PQ-tana^mtana,

故選C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，利用正切函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.分解因式：ay2+6ay+9a=.

【答案】a（y+3）2

【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：ay2+6ay+9a

二Q（,2+6y+9）

=a（j+3）2；

故答案為：a（y+3）2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵.

x+2y=5

12.二元一次方程組＜/的解是_______

y=2x

X=1y=2

【答案】《

U=2|X=1

【分析】利用代入消元法進(jìn)行求解方程組的解即可.

x+2y=5①

【詳解】解:

y=2x?

把②代入①得：5x=5,解得：x=l,

把x=l代入②得：y=2；

X=1

???原方程組的解為c

b=2

故答案為?

b=、2

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

13.化簡：fl--±二1=____.

Ix+1）x

【答案】x-1##-l+x

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：原式二上.（x+l）（xT）=x_l；

X+1X

故答案為x-l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的加減乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，邊長為4的正方形ABC。內(nèi)接于。，則A3的長是（結(jié)果保留無）

AD

J

【答案】立兀

【分析】連接OA、OB,可證NAOB=90。，根據(jù)勾股定理求出A。，根據(jù)弧長公式求出即可.

【詳解】解：連接04、OB.

:正方形ABC。內(nèi)接于O。，

：.AB=BC=DC=AD^4,AO=BO,

???AB=BC=CD=AD，

1

???NA08=—x3600=90。,

4

在心△AOB中，由勾股定理得：492+802=2492=42=16,

解得：AO=2y/2，

...AB的長=也上述=虛〃，

180

故答案為：應(yīng)兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式和正方形的性質(zhì)，能求出NAOB的度數(shù)和0A的長是解此題的關(guān)鍵.

15.如圖四邊形A8CO是平行四邊形，C。在x軸上，點(diǎn)8在y軸上，反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象經(jīng)過第一象限

點(diǎn)A,且平行四邊形48C。的面積為6,則發(fā)=

【答案】6

【分析】過點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,然后平行四邊形的性質(zhì)可知△4瓦＞之△BOC,進(jìn)而可得矩形A80E的面積與

平行四邊形ABCD的面積相等，最后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,如圖所示：

ZAED=ZBOC=90°,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

/.BC=AD,BC//AD,

：.ZADE=ZBCO,

:./XAEDqABOC(AAS),

:平行四邊形ABC。的面積為6,

??SABCD=$矩形ABOE=6,

:*k=6；

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)上的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)左

的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，將矩形紙片ABC。折疊，折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上，點(diǎn)C,D

的對應(yīng)點(diǎn)分別在E,尸且點(diǎn)尸在矩形內(nèi)部，的延長線交BC與點(diǎn)G,EF交邊BC于點(diǎn)、H.EN=2,AB4,

當(dāng)點(diǎn)H為GN三等分點(diǎn)時(shí)，V。的長為

【答案】2而-4或4

【分析】由折疊得，ZDMN=ZGMN,EF=CD==4,CN=EN=2,ZEFM=ZD=9Q0,證明AO/EANHE得

NHHFNF

——=——二——，再分兩種情況討論求解即可.

GHHFGF

【詳解】解：???四邊形A3。是矩形,

：.AD//BC,CD=AB=4,ZD=ZC=90°,

：.NDMN=NGNM,

由折疊得，/DMN=/GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,ZEFM=ZD=90°,

:./GMN=/GNM,ZGFH=ZNEH,

:.GM=GN,

又/GHE=/NHE,

：.AGHENNHE,

.NHHENE

?點(diǎn)H是GN的三等分點(diǎn)，則有兩種情況:

①若券=!時(shí)，則有:HENE1

CJH2HF~GF2

1428

EH=-EF=-,FH=-EF=-,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得,NH=y/EH2+NF2=

：.GH=2NH=~\/13

3

GM=GN=GH+NH=2屈,

MD=MF=GM-GF=2^/13-4;

NHHENE

②若一=2時(shí)，則有:—=2

GHHFGF

2…8E1…4i

：.EH=-EF=-,FH=—Eb=GF=：NE=1,

33332

由勾股定理得,NH='EH2+NF2=J(|)2+22=y,

i5

：.GH=^-NH=-

23

GM=GN=GH+NH=5；

MD=MF=GM-GF=5-1=4

綜上，的值為2而-4或4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識，進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題：

17.計(jì)算：V12-3tan30o+Q^+2—21

【答案】6

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)事，化簡絕對值進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：原式=2Q—3X曰+4+2—百

2百-6+4+2-百

=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，化簡絕對值

是解題的關(guān)鍵.

18.為了調(diào)動同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，班內(nèi)組織開展了“數(shù)學(xué)小先生”講題比賽，老師將四道備講題的題號1,

2,3,4,分別寫在完全相同的4張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻.

(1)隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上的數(shù)字是“4"的概率是；

(2)小明隨機(jī)抽取兩張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“2”和“3”的概率.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字是2和3的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即

可.

【小問1詳解】

解：隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上的數(shù)字是4的概率為工,

4

故答案為：一；

4

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖如下:

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字是2和3的結(jié)果有2種，

兩張卡片上的數(shù)字是2和3的概率為—

126

【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖或列表法求概率.樹狀圖或列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用

到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.熟練掌握樹狀圖或列表法是解決這類題的關(guān)鍵.

19.如圖，在一ABC中，是，ABC的角平分線，分別以點(diǎn)A,。為圓心，大于1A。的長為半徑作弧，兩弧交

2

于點(diǎn)跖N,作直線MN,分別交AB,AD,AC于點(diǎn)E,O,F,連接。E,DF.

(1)由作圖可知，直線MN是線段的

(2)求證：四邊形AEZ小是菱形.

【答案】(1)垂直平分線

(2)見詳解

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖可直接得出答案；

（2）由題意易得NA5=NAOE=90°,NE4O=N￡AO,Ab=￡>b,然后可證AOF^AOE,則有

OF=OE,進(jìn)而問題可求證.

【小問1詳解】

解：由題意得：直線MN是線段AD的垂直平分線；

故答案為：垂直平分線；

【小問2詳解】

證明：?.?直線MN是線段AD的垂直平分線，

ZAOF=ZAOE=90°,AO=DO,AF=DF,

是一ABC的角平分線，

/.ZFAO=ZEAO,

\"AO=AO,

：.AOF^AOE（ASA）,

OF=OE,

'：AO=DO,

四邊形AEDF是平行四邊形，

,:AF=DF,

四邊形4瓦不是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直

平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

20.某校積極落實(shí)“雙減”政策，將要開設(shè)拓展課程，為讓學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇最喜歡的課程，進(jìn)行問

卷調(diào)查，問卷設(shè)置以下四種選項(xiàng)：A（綜合模型）、B（攝影藝術(shù)）、C（音樂鑒賞）、D（勞動實(shí)踐），隨機(jī)抽取了部

分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，每名學(xué)生必須且只能選擇其中最喜歡的一種課程，并將調(diào)查結(jié)果整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)

圖.

學(xué)生最喜歡的課程條形統(tǒng)計(jì)圖

學(xué)生最喜歡的課程扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)此次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為名；

(2)直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)求拓展課程。(勞動實(shí)踐)所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請你估計(jì)該校800名學(xué)生中，有多少名學(xué)生最喜歡C(音樂鑒賞)拓展課程.

【答案】(1)120(2)見解析

(3)72°

(4)320名

【分析】(1)先求出B的人數(shù)，再將各項(xiàng)人數(shù)相加即可.

(2)見解析

(3)根據(jù)。的百分比乘以圓心角即可.

(4)求出C所占的百分比，乘以800.

【小問1詳解】

解：根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B是A的3倍

故喜歡B的學(xué)生數(shù)為3x12=36(名)

統(tǒng)計(jì)調(diào)查的總?cè)藬?shù)有：12+36+48+24=120(名).

【小問2詳解】

學(xué)生最喜歡的課程條形統(tǒng)計(jì)圖

【小問3詳解】

由條形統(tǒng)計(jì)圖可知：

。的人數(shù)是A的2倍，故。占總?cè)藬?shù)的20%

所以。所占圓心角為20%x360°=72°

答：課程。所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為72。.

【小問4詳解】

若有800名學(xué)生，則喜歡C的學(xué)生數(shù)有：

48

—X800=320(名)

120

答：有320名學(xué)生最喜歡C拓展課程.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)內(nèi)容，注意從圖中獲取信息，分析圖中數(shù)據(jù)之間數(shù)量關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

21.如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架A8CA鐵絲恰好全部用完.

(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米?

(2)矩形框架ABC。面積最大值為平方厘米.

【答案】(1)的長為8厘米或12厘米.

(2)150

【分析】(1)設(shè)AB的長為x厘米，則有40=里匕亙厘米，然后根據(jù)題意可得方程史凸?*=144,進(jìn)而求解

22

即可；

60-3Y3

(2)由(1)可設(shè)矩形框架A8C。的面積為S,則有5=二一?x=--(x-10)9+150,然后根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

二八Q-V

解：設(shè)的長為x厘米，則有AD=—T厘米，由題意得：

2

60-3%

-x=144

-2-

整理得：工2—2。％+96=0，

解得：％=8,々=12,

60-3%_

-------->0,

2

0<x<20,

.?.再=8,%=12都符合題意，

答：AB的長為8厘米或12厘米.

【小問2詳解】

解：由(1)可設(shè)矩形框架ABC。的面積為S平方厘米，則有：

60-3%33/2

Sc--------x=—x2+30%=—(%—1M0)+150,

222V7

3

—<0,且0<九<20,

2

.?.當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，即為S=150；

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系.

22.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于圓。，AD是圓。的直徑，AD,的延長線交于點(diǎn)E，延長CB交于點(diǎn)

P,ZBAP+ZDCE=90°.

(1)求證：Q4是圓。的切線；

(2)連接AC,sinZBAC=-,BC=2,A￡＞的長為.

3

【答案】(1)證明見解析

(2)6

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和NBAP+NDCE=90°,可得出NR4E＞=90。，再根據(jù)A￡＞是圓。的直

徑，由切線的判定可得證；

(2)延長。。交A3的延長線于點(diǎn)尸，由A。是圓。的直徑，可說明AC*是直角三角形，從而得到

CF1CBCF

sinZBAC=—=—,再證明△FCBSAEAO,得到一=一，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.

AF3ADAF

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形A3CD內(nèi)接于圓。，

：.ZBAD^ZDCE,

,：ZBAP+ZDCE=90°,

：.ZBAP+ZBAD=90°,

ZPAD=90°,

PA±AD,

1/AO是圓。的直徑，

是圓。的切線.

【小問2詳解】

解：延長。。交A3的延長線于點(diǎn)

,/AD是圓。的直徑，

ZACD=90°,

：.ZACF=180°-ZACD=90°,

ACF是直角三角形，

CF

：.sinZBAC=—,

AF

..?四邊形A3CD內(nèi)接于圓。,

：.ZFCB=ZFAD,

又,:ZF=ZF,

AFCBSBAD,

.CBCF

"AD~AF'

?：sinZBAC=-,BC=2,

3

?2CF1

"AD-AF-3'

：.AD=6.

故答案：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)

等知識.通過作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=履+匕的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5(0,9),與直線OC

交于點(diǎn)C(8,3).

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)。，將“⑺沿射線平移得到的三角形記為△4'CD',點(diǎn)A,C,D

的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,C,若△A'。'。'與4BOC重疊部分的面積為S,平移的距離。。'=加，當(dāng)點(diǎn)A，與點(diǎn)

8重合時(shí)停止運(yùn)動.

①若直線C'。'交直線OC于點(diǎn)E,則線段CE的長為(用含有優(yōu)的代數(shù)式表示)；

②當(dāng)0＜相＜電時(shí)，S與機(jī)的關(guān)系式為；

3

24

③當(dāng)S=?-時(shí)，機(jī)的值為.

3

【答案】(1)y=--%+9；

4

(2)①—m-②三"源；③"~或15-2下.

10253

【分析】(1)將點(diǎn)B(0,9),C(8,3)的坐標(biāo)代入直線解析式，求解即可；

(2)①過點(diǎn)C作CF1CD',易得△5(7s△AOB,可用m表達(dá)CP和C亭的長度，進(jìn)而可表達(dá)點(diǎn)C,。的坐標(biāo),

由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線OC的解析式，代入可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②根據(jù)題意可知，當(dāng)0＜根時(shí)，點(diǎn)〃未到直線OC,利用三角形面積公式可得出本題結(jié)果；

③分情況討論，分別求出當(dāng)0＜根＜絲?時(shí)，當(dāng)竺?〈“zVS時(shí)，當(dāng)5＜機(jī)＜10時(shí)，當(dāng)10＜機(jī)＜15時(shí)，S與機(jī)的關(guān)系

33

24

式，分別令5=彳，建立方程，求出機(jī)即可.

【小問1詳解】

解：將點(diǎn)8(0,9),C(8,3)的坐標(biāo)代入直線y=fcc+6,

,"b=9

"＜8k+b=3,

\=_l_

解得J—4.

b=9

3

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y=尤+9；

-4

【小問2詳解】

3

①由(1)知直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=--x+9,

4

令y=0,貝ijx=12,

.1.A(12,0),

：.OA=12,OB=9,

：.AB=15；

圖1

J.CF//OA,

r

：.ZOAB=ZFCCf

u：ZCFC=ZBOA=90°,

???△CR7s"03,

AOB：0A：AB=CF：CF：CCf=9：12：15,

*.*CC'=m,

43

CF=—m,C'F=—m,

55

434343

C(8-----m,3+—m),A'(12-----m,—m),Dr(8-----m,—m),

555555

VC(8,3),

3

...直線OC的解析式為：無，

o

43、

.E(8-----m,3------m).

510

33_9_

、.C'E=3+—m-(3------m)-

510"To

9

故答案為：—m.

10

334

②當(dāng)點(diǎn)。落在直線OC上時(shí)，有一根=三(8--m),

585

解得m,

.?.當(dāng)0＜機(jī)〈電時(shí)，點(diǎn)。未到直線0C,

3

?]949

止匕時(shí)S=—C'E9CF=—?——m9—m=——m2；

2210525,

9

故答案為：—m2.

③分情況討論，

109

當(dāng)0<根<一時(shí)，由②可知，S=一m2；

325

人。9,242儷、10/人、T2730,―

令S=一機(jī)2=一,斛得機(jī)=----->一（舍）或相=-------（舍）；

255333

圖2

設(shè)線段4D與直線OC交于點(diǎn)M,

,8船),

.,.M(—m,

55

3(3」)9

.\DrE=-m-—m-3,

51010

412

D'M=-m-(8----m)—m-8；

555

￡12

—m2-3)?(——m-8)

25~2105

18,36

------m~+—m-12,

255

人18,3624

令----m-+—m-12=

2555

整理得，3/"2-30〃z+70=0,

解得或％=15+71?>5（舍）；

33

當(dāng)5Sn<10時(shí),如圖3,

34

BN=—(15-m),A'N=—(15-m),

55

.\S=(15-m)?—(15-m)=-(15-m)2,

25525

624

令石(15-m)2=彳，解得m=15+2J?>15(舍)或加=15-2J?.

故答案為：”二巫或15-2J?.

3

【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)與判定、

一元二次方程、分類討論思想等知識，根據(jù)的運(yùn)動，進(jìn)行正確的分類討論是解題關(guān)鍵.

24.(1)如圖，AQB和△COZ)是等腰直角三角形，/4OB=NCO￡>=90。，點(diǎn)C在。4上，點(diǎn)。在線段80延

長線上，連接A。，BC.線段與BC的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,將圖1中的△COD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)&(0。<c<90°)第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成

立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由.

(3)如圖，若AB=8,點(diǎn)C是線段外一動點(diǎn)，AC=35連接2C，

①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接AD,則AD的最大值

②若以BC為斜邊作RJBCD,(B、C、。三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，ZCDB=90°,連接A。，當(dāng)

NCBD=ND4B=30°時(shí)，直接寫出的值.

【答案】⑴AD=BC；⑵結(jié)論仍成立，理由見詳解；(3)①3立+庖，@AD=2j3+--.

【分析】(1)由題意易得40=80,0￡)=0。,/幺0￡>=/80。=90°,然后可證AAO恒△BOC,進(jìn)而問題

可求解；

(2)由題意易得40=6。,。。=。。，然后可證進(jìn)而問題可求證；

(3)①根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可得AC+CD之A。，則當(dāng)A、C、。三點(diǎn)共線時(shí)取最大，進(jìn)

而問題可求解；②過點(diǎn)C作CELA8于點(diǎn)E,連接。E,過點(diǎn)B作于點(diǎn)-然后可得點(diǎn)C、D、B、E四點(diǎn)

共圓，則有NDEB=NDCB=60°,設(shè)=y,則AE=8—y,CD==耳，進(jìn)而根據(jù)勾股定

理可進(jìn)行方程求解.

【詳解】解：(1)AD=BC,理由如下：

,/AO5和△CO￡>是等腰直角三角形，ZAOB^ZCOD=90°,

：.AO=BO,OD=OC,ZAOD=ZBOC=90°,

:.△AOD^ABOC(SAS),

：.AD=BC,

故答案為AD=BC；

(2)結(jié)論仍成立，理由如下：

：AOB和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

AO=BO,OD=OC,

ZAOC+Z.COD=ZBOA+ZAOC,即ZAOD=ZBOC,

：.Z\AOD^Z\BOC(SAS),

：.AD=BC；

(3)①如圖,

由題意得：BC=CD,NBCD=90°,

根據(jù)三角不等關(guān)系可知：AC+CD>AD,

...當(dāng)A、C、。三點(diǎn)共線時(shí)取最大，

ZACB=ZBCD=90°,

'：AB=8,AC=36，

BC=VAB2-AC2=V37，

：.AD的最大值為3石+A/37;

②過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,連接。E,過點(diǎn)B作BfUOE于點(diǎn)E如圖所示:

：.ZAEB=ZCDB=90°,

...點(diǎn)C、D、B、E四點(diǎn)共圓，

ZCBD=ZDAB=30°,

：.ZBCD=60°,

：.ZDEB=ZBCD=60°,

：.ZADE=ZDEB-ZDAB=30°,ZEBF=90°-NDEB=30°,

??,ZDAE=ZADE，

AE=DE,

設(shè)8C=2x,8E=y,則AE=8—=6，

/.EF=^BE=^y,DE=AE=8-y,

：.DF=DE-EF=S--y,BF=^BE^-EF2=—y>

22'

...在Rt^AEC和RtzXBEC中，由勾股定理得：4x2-/=27-（8-j）2,整理得：4x2=16j-37@；

在RtABED中，由勾股定理得：1―gy）+|/=3%2,整理得：64-24y+3/=3x2@,

聯(lián)立①②得：12y2—144y+367=0,

解得：％=6-迺=6+避變（不符合題意，舍去），

66

.?4816—返］=2+返，

I6J6

過點(diǎn)E作&于點(diǎn)

AEM=-AE=l+^^-，AM=-AD,

2122

???AM=#>EM=6+晅，

4

???AD=2AE=2g+晅.