2021屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三二模數(shù)學理試題解析版

2021屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三二模數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通過解不等式求出集合，進而求得.【詳解】，則．故選：C.2．已知復數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則進行計算即可求得結果.【詳解】由題意可得.故選：A.3．設等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．35 B．65 C．95 D．130【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后可算出答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故．故選：B4．函數(shù)圖象的對稱中心是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】令可得結果.【詳解】令，解得，則圖象的對稱中心為．故選：D.5．青少年近視問題已經(jīng)成為我國面臨的重要社會問題.已知某校有小學生3600人，有初中生2400人，為了解該校學生的近視情況，用分層抽樣的方法從該校的所有學生中隨機抽取120名進行視力檢查，則小學生應抽取的人數(shù)與初中生應抽取的人數(shù)的差是（）A．24 B．48 C．72 D．96【答案】A【分析】根據(jù)分成抽樣的定義進行計算即可.【詳解】由題意可知小學生應抽取的人數(shù)是人，中學生應抽取的人數(shù)是人，則小學生應抽取的人數(shù)與中學生的人數(shù)的差是人.故選：A.6．已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側面積是，則該圓柱的體積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用圓柱底面圓半徑r表示出其高h，由側面積列式求出r，進而求得體積.【詳解】設該圓柱的底面圓半徑為，則其高(母線)為，而圓柱的軸截面是正方形，則，圓柱側面積為，從而，，故該圓柱的體積是．故選：A7．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個根，則（）A．3 B．3或 C． D．【答案】D【分析】由條件可得，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，是方程的兩個根，所以因為，所以．故選：D8．2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射嫦娥五號，12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸，“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎．已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”．若型火箭的噴流相對速度為，當總質(zhì)比為500時，型火箭的最大速度約為（，）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意把數(shù)據(jù)代入已知函數(shù)可得答案.【詳解】．故選：C.9．已知，是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，點為坐標原點，則（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)橢圓的定義設，則，根據(jù)余弦定理可解得，進而可得點與橢圓的上頂點重合，所以可得結果.【詳解】設，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，即，即，解得，所以，即點與橢圓的上頂點重合，所以.故選：A.10．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，問題轉化為：求在上單調(diào)遞減，且恒成立時的范圍.【詳解】令，因為是增函數(shù)，所以，要使在上單調(diào)遞減，只需在上單調(diào)遞減，且恒成立.故，解得．故選：D.11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作與其中一條漸近線平行的直線與交于點，若為直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義，利用邊角關系列方程求解，即可求出結論．【詳解】如圖，設，，由題意可得，解得，則．故選：A12．已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先構造函數(shù)，則題目轉化為有4個不同的實數(shù)根，又根據(jù)是偶函數(shù)可將題目轉化為在上有2個零點，寫出的表達式，對化簡整理可得，設，對其進行求導判斷大致圖象，根據(jù)性質(zhì)可得結果.【詳解】構造函數(shù)，由題可知的定義域為，且，即是偶函數(shù)，故關于的方程有4個不同的實數(shù)根等價于在上有2個零點.當時，，則等價于，令，則，令，則且不恒等于0，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在處取得極小值且，當時，；當時，，故當時，關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根，即關于的方程有4個不同的實數(shù)根.故選：B.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】【分析】由題意可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于的等式，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】由已知條件可得，，因為，則，解得.故答案為：.14．設，滿足約束條件則的最大值是______．【答案】8【分析】首先根據(jù)約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合可得最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可得出答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得，由得，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，此時有最大值.故答案為：8.15．桂林是世界著名的風景旅游城市和中國歷史文化名城，號稱“桂林山水甲天下”，每年都會迎來無數(shù)游客．甲同學計劃今年暑假去桂林游玩，準備在“印象劉三姐”“漓江游船”“象山景區(qū)”“龍脊梯田”這個景點中任選個游玩．已知“印象劉三姐”的門票為元/位，“象山景區(qū)”的門票為元/位，其他個景點的門票均為元/位，則甲同學所需支付的門票費的期望值為__________元．【答案】【分析】根據(jù)門票組合，以及期望公式求解.【詳解】由題可知，甲同學所需支付的門票費的期望值為元．故答案為：16．某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球的球面上，過該三棱錐最短的棱的中點作球的截面，截面面積最小為______．【答案】【分析】首先根據(jù)三視圖可在長方體中畫出該三棱錐的直觀圖，進而利用長方體求出該三棱錐的外接球的半徑；設最短的棱的中點為，當該截面時，截面的面積最小，由此可計算出截面圓半徑的最小值，可得截面面積的最小值.【詳解】由正視圖和俯視圖在長方體中還原出三棱錐的直觀圖如圖所示，該三棱錐的各頂點都在球的表面上，即球為三棱錐的外接球，∴球也是長方體的外接球.設球的半徑為，則，解得，由三棱錐的直觀圖可得三棱錐的最短棱為，設的中點為，∵是的中點，∴，當截面面積最小時，截面，設截面圓半徑為，則，解得，此時，截面面積為.故答案為：.【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題17．某公司為了解服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了位男性顧客和位女性顧客，每位顧客對該公司的服務質(zhì)量進行打分．已知這位顧客所打分數(shù)均在之間，根據(jù)這些數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：顧客所打分數(shù)男性顧客人數(shù)女性顧客人數(shù)（1）求這位顧客所打分數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若顧客所打分數(shù)不低于分，則該顧客對公司服務質(zhì)量的態(tài)度為滿意；若顧客所打分數(shù)低于分，則該顧客對公司服務質(zhì)量的態(tài)度為不滿意根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為顧客對公司服務質(zhì)量的態(tài)度與性別有關？滿意不滿意男性顧客女性顧客附：【答案】（1）；（2）填表見解析；有．【分析】(1)由頻數(shù)分布表，先求出各組的頻率，再求它們與對應組的區(qū)間中點值的積的和即為所求；(2)按條件填寫列聯(lián)表，再計算K2觀測值并與給定相關值比對回答而得.【詳解】(1)由題可知，落在區(qū)間，，，，的頻率分別為：，這位顧客所打分數(shù)的平均值為：，故這位顧客所打分數(shù)的平均值為．(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：滿意不滿意男性顧客女性顧客根據(jù)列聯(lián)表得．因為，所以有的把握認為顧客對公司服務質(zhì)量的態(tài)度與性別有關．18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求邊上的中線的長．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先利用余弦定理將角轉化為邊，之后化簡再利用余弦定理可得的值，再根據(jù)角的范圍可得角的值；（2）利用余弦定理列方程可得，在中，再利用余弦定理可得中線的長.【詳解】（1）因為，所以，即，由余弦定理可得，因為，所以.（2）由（1）可知，由余弦定理可得，則，解得或（舍去）．在中，，，，則，故.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，．點，分別在棱，上（不包含端點），且．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）過點作，，連接，則，再結合已知條件可得，而，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，然后由線面平行的判定定理可證得結論；（2）以為原點，過作垂直的直線為軸，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：過點作，，連接．因為，所以．因為，所以，所以．因為四邊形是菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因為平面，平面，所以平面．（2）解：以為原點，過作垂直的直線為軸，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，，從而，，．設平面的法向量為，則，令，得．設平面的法向量為，則，令，得．設二面角為，由圖可知為鈍角，故．【點睛】關鍵點點睛：此題考查線面平行的判定，考查二面角的求法，解題的關鍵是正確的建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，考查計算能力，屬于中檔題20．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點到的距離比點到軸的距離大1．過點作拋物線的切線，設其斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于不同的兩點，（異于點），若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設點，由拋物線的定義列出關于的等式，求出的值，即可得到拋物線的方程；（2）設，，直線的斜率為，直線的斜率為，利用兩點間斜率公式表示出兩個斜率，由兩個斜率的關系以及點，均在拋物線上，化簡展開，可得直線的斜率，再利用導數(shù)的幾何意義求出，即可證明.【詳解】（1）解：設點，由點到的距離比點到軸的距離大1，可得，即，所以，即拋物線的方程為.（2）證明：設，，直線的斜率為，直線的斜率為，則，.因為直線與直線的斜率互為相反數(shù)，所以，即，又點，均在拋物線上，可得，化簡可得，因為，，所以，即，故，因為，所以，所以，則，故.【點睛】本題要證明的是，關鍵是首先要找到與的表達式，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)及點在拋物線上可得，再利用兩點間的斜率公式可得；利用導數(shù)的幾何意義可得的表達式，進而可得證，本題屬于較難的題目，考查運算能力、邏輯思維能力.21．設函數(shù)．（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明：當時，．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）函數(shù)在R上是增函數(shù)，只需在R上恒成立，建立不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍；（2）由題意構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，求得，即可證明.【詳解】解：（1）由題意，在R上恒成立，即不等式在R上恒成立從而有或解得：即（2）當時，令，則當時，單調(diào)遞減：當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減即當時，又當時，綜上可知，當時，.【點睛】（1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系：已知函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，①如果>0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果<0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則有；函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有；（2）利用導數(shù)證明不等式的本質(zhì)是利用導數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小.22．在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）若點在曲線上，求點到直線的距離的最大值．【答案】（1）直線的直角坐標方程為（或）；曲線的普通方程為；（2）．【分析】（1）由，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由極坐標與直角坐標的互化公式，即可化簡得到直線的直角坐標方程；（2）設，得出點到直線的距離，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解到直線的距離的最大值.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，即曲線的普通方程為．由，得，即直線的直角坐標方程為（或）．（2）由題意可設，則點到直線的距離．因為，所以，所以，即．故點到直線的距離的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的