考研數(shù)學(xué)二分類模擬207

考研數(shù)學(xué)二分類模擬207一、選擇題1.

設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，則

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]積分區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如圖)。在直角坐標(biāo)系下，有

故排除A、B兩個選項(xiàng)。

在極坐標(biāo)系下有

故選D。

2.

設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則二次積分

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由題設(shè)可知，，sinx≤y≤1，可轉(zhuǎn)化為0≤y≤1，π-arcsiny≤x≤π。故選B。

注意，當(dāng)時，y=sinx的反函數(shù)是x=π-arcsiny。

3.

累次積分可寫成______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]原積分域?yàn)橹本€y=x，x+y=2與y軸圍成的三角形區(qū)域。故選C。

4.

設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠?如圖)

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

將其寫成一個積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}。

所以二重積分可以表示為故選C。

5.

設(shè)D是第一象限由曲線2xy=1，4xy=1與直線y=x，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]先作出積分區(qū)域的圖形，如圖所示：

可知θ的取值范圍為，r的取值范圍為，另外需要注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的變換公式為dxdy=rdθdr。故選B。

本題在極坐標(biāo)下，計算第一象限內(nèi)的積分時，r的取值范圍應(yīng)該是從4xy=1到直線2xy=1上，將這兩條曲線的方程分別化為極坐標(biāo)可得4r2sinθcosθ=1和2r2sinθcosθ=1，解得，所以積分下限是，積分上限是。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，若其中區(qū)域Duv為圖中陰影部分，則

A．vf(u2)

B．

C．vf(u)

D．正確答案：A[解析]題干圖形中所示區(qū)域用極坐標(biāo)表示為

0≤θ≤v，1≤r≤u。

因此可知

根據(jù)變限積分求導(dǎo)可得故選A。

7.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則F'(2)=______A.2f(2)B.f(2)C.-f(2)D.0正確答案：B[解析]交換累次積分的積分次序，得

于是F'(t)=(t-1)f(t)，從而F'(2)=f(2)。故選B。

8.

A．1

B．

C．

D．e-1正確答案：B[解析]積分區(qū)域如圖所示

交換積分次序

故選B。

二、填空題1.

正確答案：[解析]積分區(qū)域如圖，則

2.

交換積分次序正確答案：[解析]由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖)-1≤y≤0，1-y≤x≤2。則有

交換積分次序

3.

正確答案：1-sin1[解析]積分區(qū)域D如圖所示，則有

4.

交換積分次序正確答案：[解析]由題干可知，積分區(qū)域如圖所示，則有

5.

設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，正確答案：[解析]因?yàn)橛谑?/p>

從而有

6.

將化為極坐標(biāo)下的二次積分為______。正確答案：[解析]如圖所示，則有

7.

已知極坐標(biāo)系下的累次積分其中a＞0為常數(shù)，則I在直角坐標(biāo)系下可表示為______。正確答案：[解析]先將I表示成用D的極坐標(biāo)表示

因此可知區(qū)域如圖所示。

如果按照先y后x的積分次序，則有

因此可得

三、解答題1.

計算二重積分其中D是由x軸，y軸與曲線所圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。正確答案：解：積分區(qū)域D如圖的陰影部分所示。

因此

令有x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt，故

2.

計算其中D：x2+y2≤2x。正確答案：解：由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱，3exsiny關(guān)于y為奇函數(shù)，故

對該積分利用極坐標(biāo)進(jìn)行計算可得

3.

計算二重積分其中區(qū)域D由曲線r=1+cosθ(0≤θ≤π)與極軸圍成。正確答案：解：由題意

令u=cosθ得，原式=

4.

計算二重積分其中

正確答案：解：將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得積分區(qū)域如圖所示。

D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，

則有

利用換元法，記x=sint，則上式

5.

求二重積分其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}。正確答案：解：本題所示的積分區(qū)域是

D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}。

由(x-1)2+(y-1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，

[解析]適合用極坐標(biāo)計算的二重積分：區(qū)域上，一般為圓域或是與圓相關(guān)；函數(shù)上，一般形如f(x2+y2)或至少含有x2+y2。若上述兩個條件都滿足，則必然要使用極坐標(biāo)進(jìn)行計算；如果僅滿足一個，原則上直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)都可以使用，但從考試的要求來看，一般還是推薦使用極坐標(biāo)。

6.

求二重積分其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。正確答案：解：積分區(qū)域D如圖所示，D的極坐標(biāo)表示是0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此

7.

計算其中D={(x，y)|0≤y≤min{x，1-x}}。正確答案：解：積分區(qū)域如圖所示，在極坐標(biāo)中

8.

正確答案：解：設(shè)有

因此

9.

計算二重積分其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。正確答案：解：D是正方形區(qū)域(如圖)。因在D上被積函數(shù)可表示為

于是要用分塊積分法，用y=x將D分成兩塊：

D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，