2.7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能理解并能解釋實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義.2.能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義1.功與功率:在物理學(xué)中,通常稱力在單位時間內(nèi)做的功為功率,它的單位是瓦特.2.降雨強(qiáng)度:在氣象學(xué)中,通常把單位時間內(nèi)的降雨量稱作降雨強(qiáng)度.3.邊際成本:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際成本.邊際成本f'(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時,生產(chǎn)成本的增加速度,也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時,每增加一個單位的產(chǎn)量,需要增加f'(x0)個單位的成本.思考辨析降雨強(qiáng)度是什么含義?提示

單位時間內(nèi)的降雨量.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知物體運(yùn)動的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系為s=f(t),則瞬時速度v=f'(t).(

)(2)已知做的功W與時間t的函數(shù)關(guān)系W=W(t),則W'(t)的實(shí)際意義為t時刻單位時間內(nèi)做的功.(

)√√知識點(diǎn)2

利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題1.最優(yōu)化問題在實(shí)際問題中,經(jīng)常會遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時間最少等問題,這些問題通稱為最優(yōu)化問題.2.最優(yōu)化問題的求解步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x).(2)求導(dǎo)函數(shù)f'(x),解方程f'(x)=0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.(4)依據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案.名師點(diǎn)睛解決最優(yōu)化問題的一般步驟(1)認(rèn)真閱讀理解關(guān)于實(shí)際問題的材料.一般地,實(shí)際問題的材料都非常多、信息量較大、涉及的量也比較多,因此需要仔細(xì)地閱讀題目,發(fā)現(xiàn)其中有用的信息,揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì).(2)在理解題意的基礎(chǔ)上,建立數(shù)學(xué)模型,把要解決的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.(3)針對數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)解決方案,用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題,同時要注意實(shí)際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.(4)根據(jù)函數(shù)問題的答案去回答實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題.在實(shí)際問題中,如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點(diǎn),則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎?你能列舉幾個關(guān)于利潤的等量關(guān)系嗎?提示

根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點(diǎn)處取最值,并且極小值點(diǎn)對應(yīng)最小值,極大值點(diǎn)對應(yīng)最大值.舉例:利潤=收入-成本,利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).過關(guān)自診

自主診斷判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)磁盤的最大存儲量問題是最優(yōu)化問題.(

)(2)求某長方體容器的容積最大問題是最優(yōu)化問題.(

)(3)汽油的使用效率的提高問題是最優(yōu)化問題.(

)(4)制作一水箱的用料最省問題是最優(yōu)化問題.(

)√√×√重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)意義的應(yīng)用【例1】

(1)一個質(zhì)量m=5kg的物體做直線運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動距離s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t+t2表示,并且物體的動能Ek=mv2(m為物體質(zhì)量,v為物體運(yùn)動速度),則物體開始運(yùn)動后第7s時的動能是(

)A.160J B.165J C.170J D.175JA(2)在高臺跳水運(yùn)動中,ts時運(yùn)動員相對于水面的高度(單位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求運(yùn)動員在t=1s時的瞬時速度.解

h'(t)=9.8t+6.5,∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s),∴運(yùn)動員在t=1

s時的瞬時速度為16.3

m/s.規(guī)律方法

在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中,有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量.如:加速度是速度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)、速度是路程關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)、功率是功關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等.變式訓(xùn)練1(1)火車開出車站一段時間內(nèi),速度v(單位:m/s)與行駛時間t(單位:s)之間的關(guān)系是v(t)=0.4t+0.6t2,當(dāng)加速度為2.8m/s2時,火車開出去(

)B解析

由題意可知,v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,可得t=2

s.(2)設(shè)x(單位:km)表示從一條河流的某一處到其源頭的距離,y(單位:km)表示這一點(diǎn)的海拔高度,y是x的函數(shù),滿足解析式

y=f(x),若函數(shù)y=f(x)在x=100處的導(dǎo)數(shù)f'(100)=-0.1.試解釋它的實(shí)際意義.解

f'(100)=-0.1表示從源頭流到100

km處的海拔高度的瞬時變化率,如果保持這一速度,每經(jīng)過1

km,該河流的海拔高度下降0.1

km.探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用角度1.平面幾何中的最值問題【例2】

如圖所示,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形面積的最大值.解

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0),且0<x<2,∵f(x)=4x-x2的圖象的對稱軸為直線x=2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2.∴設(shè)矩形ABCD的面積為y,則y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3,∴y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8).規(guī)律方法

平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形,主要研究與面積相關(guān)的最值問題.一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù),求極值,從而求最值.變式訓(xùn)練2如圖,有三個生活小區(qū)(均可看成點(diǎn))分別位于A,B,C三點(diǎn)處,AB=AC,A到線段BC的距離AO=40,∠ABO=.今計(jì)劃建一個生活垃圾中轉(zhuǎn)站P,為方便運(yùn)輸,P準(zhǔn)備建在線段AO(不含端點(diǎn))上.(1)設(shè)PO=x(0<x<40),試將P到三個小區(qū)距離的最遠(yuǎn)者S表示為x的函數(shù),并求S的最小值;(2)設(shè)∠PBO=α(0<α<),試將P到三個小區(qū)的距離之和y表示為α的函數(shù),并確定當(dāng)α取何值時,可使y最小.角度2.立體幾何中的最值問題【例3】

現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大?(2)設(shè)A1B1=a

m,PO1=h

m,則0<h<6,O1O=4h

m.連接O1B1.規(guī)律方法

1.立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積,在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題.2.解決立體幾何中的最值問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式,如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成,則要分析其組合關(guān)系,將圖形進(jìn)行拆分或組合,以便簡化求值過程.變式訓(xùn)練3為了應(yīng)對某比賽,大會組委會將對長方體泳池進(jìn)行檢修,已知泳池深度為2m,其容積為2500m3,如果池底每平方米的維修費(fèi)用為150元,設(shè)入水處的較短池壁長度為x,且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長度成正比,且比例系數(shù)為k(k>0),較長的池壁總維修費(fèi)用滿足代數(shù)式,則當(dāng)泳池的維修費(fèi)用最低時,x的值為

.

25探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用【例4】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(1≤x≤10),設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與32年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求f(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)隔熱層修建多厚時,總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.∴當(dāng)1≤x<6時,f'(x)<0;當(dāng)6≤x≤10時,f'(x)≥0.∴f(x)在[1,6)內(nèi)單調(diào)遞減,在[6,10]上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=6時,f(x)取得最小值f(6)=112,∴當(dāng)隔熱層修建6

cm厚時,總費(fèi)用最小,最小值為112萬元.規(guī)律方法

利潤最大問題的求解策略利用導(dǎo)數(shù)解決利潤(收益)最大問題,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)條件,建立利潤(收益)的函數(shù)解析式,然后再利用導(dǎo)數(shù)方法求出該函數(shù)的最大值,即可得到最大利潤(收益).常見的基本等量關(guān)系如下:(1)利潤(收益)=收入-成本;(2)利潤(收益)=每件產(chǎn)品的利潤(收益)×銷售量.解此類問題需注意兩點(diǎn):①價格要大于或等于成本,否則就會虧本;②銷量要大于0,否則不會獲利.變式訓(xùn)練4經(jīng)過市場調(diào)查,某小微企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)一款小型電子產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)x(x>0)萬件,需另投入流動成本P(x)(單位:萬元),當(dāng)年產(chǎn)量小于9萬件時,P(x)=x2+2x;當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬件時,P(x)=6x+ln

x+-22,每件產(chǎn)品售價為6元,假若該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤Q(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時,該企業(yè)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(參考數(shù)據(jù):e3≈20)本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義.(2)導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用.(3)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):不能理清各個變量之間的關(guān)系,從而無法正確地建立函數(shù)模型.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)三]已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(

)A.3萬件 B.1萬件 C.2萬件

D.7萬件C解析

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),y'=-x2+4=-(x-2)(x+2),由y'=0得x=2或x=-2(舍),當(dāng)x>2時,y'<0,當(dāng)0<x<2時,y'>0,即當(dāng)x=2時,函數(shù)取得極大值,同時也是最大值,即該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為2萬件.123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一]某公司的盈利y(單位:元)和時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系是y=f(x),假設(shè)f'(x)>0恒成立,且f'(10)=10,f'(20)=1,則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較(

)A.公司已經(jīng)虧損B.公司的盈利在增加,但增加的幅度變小C.公司在虧損且虧損幅度變小D.公司的盈利在增加,且增加的幅度變大B解析

因?yàn)閒'(x)>0恒成立,f'(10)>f'(20)>0,所以公司的盈利在增加,且增加的幅度變小.123456789101112131415163.[探究點(diǎn)二(角度2)]將周長為4的矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱體積最大時,線段AB長為(

)B123456789101112131415164.[探究點(diǎn)三]某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與月產(chǎn)量x(單位:件)的關(guān)系是

則當(dāng)總利潤最大時,每月生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是(

)A.150 B.200C.250 D.300D123456789101112131415165.[探究點(diǎn)三]電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為,為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為

.

40解析由題設(shè)知y'=x2-39x-40(x>0),令y'>0,解得x>40或x<-1,故函數(shù)

在[40,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,40]上單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=40時,y取得最小值.所以為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為40.123456789101112131415166.[探究點(diǎn)三]某企業(yè)在2023年全年內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x百件,生產(chǎn)過程中總成本w(x)(單位:萬元)是關(guān)于x(單位:百件)的一次函數(shù),且w(1)=57,w(10)=120.預(yù)計(jì)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完,且當(dāng)年產(chǎn)量為x百件時,每百件產(chǎn)品的銷售收入G(x)(單位:萬元)滿足(1)寫出該企業(yè)今年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的利潤F(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:百件)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少百件時,該企業(yè)在這種產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大?最大利潤是多少?(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln7≈1.95)12345678910111213141516令F'(x)>0,解得0<x<7,F'(x)<0,解得x>7,所以F(x)在(0,7)內(nèi)單調(diào)遞增,在(7,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=7時,有F(x)max=F(7)=20ln

7+12≈20×1.95+12=51.答:當(dāng)產(chǎn)量為7百件時,該企業(yè)在這種生產(chǎn)中獲利最大且最大利潤為51萬元.12345678910111213141516123456789101112131415167.[探究點(diǎn)二(角度1)·2024四川綿陽檢測]剪紙是一種鏤空藝術(shù),是中國古老的民間藝術(shù).如圖,一張圓形紙片,直徑AB=20cm,需要剪去菱形EFGH,可以經(jīng)過兩次對折、沿EF裁剪、展開后得到.若CF=EF,要使鏤空的菱形EFGH面積最大,試求菱形的邊長EF.12345678910111213141516解

設(shè)圓心為O,由圓的性質(zhì)可知,點(diǎn)A,E,O,G,B共線,點(diǎn)C,F,O,H,D共線.由菱形性質(zhì)可知,EG⊥FH,設(shè)OF=m,OE=n,又半徑為10,則1234567891011121314151612345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練B123456789101112131415169.(多選題)已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且當(dāng)該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大時,則有(

)A.年產(chǎn)量為9000件 B.年產(chǎn)量為10000件C.年利潤最大值為38萬元 D.年利潤最大值為38.6萬元AD1234567891011121314151610.現(xiàn)有一批貨物由海上從甲地運(yùn)往乙地,已知輪船的最大航行速度為35海里/時,甲地與乙地之間的距離約為500海里.運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成,輪船每小時的燃料費(fèi)與輪船行駛的速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時960元.為了使全程運(yùn)輸成本最低,輪船行駛速度應(yīng)為(

)A.25海里/時 B.35海里/時C.20海里/時 D.30海里/時B1234567891011121314151611.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和市場調(diào)查,甲產(chǎn)品的利潤與投入資金成正比,乙產(chǎn)品的利潤與投入資金的算術(shù)平方根成正比,已知甲、乙產(chǎn)品分別投入資金4萬元時,所獲得利潤(單位:萬元)情況如下:投入資金甲產(chǎn)品利潤乙產(chǎn)品利潤412.5該企業(yè)計(jì)劃投入資金10萬元生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,那么可獲得的最大利潤(單位:萬元)是(

)B1234567891011121314151612.(多選題)聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波,可以用正弦函數(shù)描述.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asinωt,我們聽到的聲音是由純音合成的,稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)=sinx+sin2x,則(

)C.f(x)在[0,2π]上有3個零點(diǎn)D.f(x)在[0,2π]上有3個極值點(diǎn)BC12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為

且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車以

千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地的耗油量最少.

8012345678910111213141516令f'(x)=0,得x=80,當(dāng)x∈(0,80)時,f'(x)<0,該函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(80,120]時,f'(x)>0,該函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=80時,f(x)取得最小值.1234567891011121314151614.已知函數(shù)f(x)=-lnx,x∈(0,e).在曲線y=f(x)上某一點(diǎn)作切線與x軸和y軸分別交于A,B兩點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB面積的最大值為

.

1234567891011121314151615.

一艘漁船在進(jìn)行漁業(yè)作業(yè)的過程中,產(chǎn)生的主要費(fèi)用有燃油費(fèi)用和人工費(fèi)用,已知漁船每小時的燃油費(fèi)用與漁船速度的立方成正比,已知當(dāng)漁船的速度為10海里/小時時,燃油費(fèi)用是600元/小時,人工費(fèi)用是4050元/小時,記漁船的航行速度為v(單位