6.1.2簡單多面體棱柱棱錐和棱臺課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步1.2簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過對實(shí)物模型的觀察,歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系.3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一

棱柱1.棱柱的定義、相關(guān)概念、圖形及表示棱柱圖形及表示定義每個(gè)多面體都有兩個(gè)面是邊數(shù)相同的多邊形,且它們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行.像這樣的幾何體稱為棱柱

棱柱可以用它的兩個(gè)底面各頂點(diǎn)的字母來表示,也可以用它的某一條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的字母來表示

如圖中的棱柱既可表示為棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,也可表示為棱柱AC1不能改成“都是平行四邊形”棱柱圖形及表示相關(guān)概念底面(底):兩個(gè)互相

的面;

側(cè)面:

;

側(cè)棱:相鄰側(cè)面的

;

頂點(diǎn):

的公共頂點(diǎn);

對角線:既不在同一底面上也不在同一個(gè)側(cè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線;高:過上底面上一點(diǎn)O1作下底面的垂線,這點(diǎn)和垂足O間的距離OO1

平行

其余各面

公共邊側(cè)面與底面2.棱柱的相關(guān)性質(zhì)(1)側(cè)棱都相等;(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形;(3)過不相鄰兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.3.棱柱的分類(1)側(cè)面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱,其他的棱柱稱為斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.(2)棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……名師點(diǎn)睛常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)所有的棱柱兩個(gè)底面都平行.(

)(2)棱柱的兩個(gè)底面是相似的多邊形.(

)(3)棱柱最多有兩個(gè)面不是四邊形.(

)√×√2.(2023濰坊高一單元測試)滿足下列條件的棱柱中,一定是直棱柱的是(

)A.底面是矩形 B.有一個(gè)側(cè)面與底面垂直C.有一個(gè)側(cè)面是矩形

D.相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形D解析

如圖所示是一個(gè)斜四棱柱:因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,故A錯(cuò)誤;因?yàn)閭?cè)面ABB1A1與底面ABCD垂直,故B錯(cuò)誤;側(cè)面ADD1A1是矩形,故C錯(cuò)誤;當(dāng)相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形時(shí),則這兩個(gè)側(cè)面的交線與底面垂直,即得到側(cè)棱與底面垂直,則該棱柱一定是直棱柱,故D正確.故選D.知識點(diǎn)二

棱錐1.棱錐的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示棱錐圖形及表示定義其中一個(gè)面是

,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐

如圖棱錐可記作棱錐S-ABCDEF,也可表示為棱錐S-AD棱錐可以用表示它的頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母來表示,也可用頂點(diǎn)和底面一條對角線端點(diǎn)的字母來表示不能改為“都是三角形”多邊形

棱錐圖形及表示相關(guān)概念底面(底):

;

側(cè)面:其余各面;頂點(diǎn):各個(gè)側(cè)面的公共點(diǎn);側(cè)棱:相鄰兩個(gè)側(cè)面的

;

高:頂點(diǎn)到底面的距離

分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……多邊形ABCDEF

公共邊

2.正棱錐如果棱錐的底面是

,且它的頂點(diǎn)在________________________

的直線上,那么這個(gè)棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形,這些等腰三角形底邊上的高都相等,稱為正棱錐的

.

正多邊形

過底面中心且與底面垂直

斜高

名師點(diǎn)睛1.棱錐的側(cè)面均是三角形,但每個(gè)面均是三角形的幾何體不一定是棱錐.如圖所示,正八面體就不是棱錐.2.正棱錐的性質(zhì)(1)各側(cè)棱相等,底面是正多邊形;(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影組成一個(gè)直角三角形,棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的投影也組成一個(gè)直角三角形.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)棱錐的所有面都是三角形.(

)(2)五棱錐有6個(gè)面.(

)(3)棱錐的側(cè)面均為三角形,側(cè)棱長均相等.(

)(4)側(cè)棱均相等的棱錐是正棱錐.(

)×√××2.下面圖形中,為棱錐的是(

)A.①③

B.①③④C.①②④

D.①②C解析

根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷,①②④是棱錐,③不是棱錐.故選C.知識點(diǎn)三

棱臺1.棱臺的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示棱臺圖形及表示定義用一個(gè)

底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分稱為棱臺

棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點(diǎn)的字母來表示

如圖棱臺表示為棱臺ABC-A1B1C1相關(guān)概念上底面:原棱錐的截面;下底面:原棱錐的底面;側(cè)面:其余各面;側(cè)棱:相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊;高:上底面、下底面之間的距離分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺,分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……平行于

2.正棱臺由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.名師點(diǎn)睛棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)比較性質(zhì)棱柱棱錐棱臺側(cè)棱相互平行且相等相交于同一點(diǎn)延長線交于同一點(diǎn)側(cè)面平行四邊形三角形梯形平行于底面的截面與兩個(gè)底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊形與兩個(gè)底面是相似的多邊形過不相鄰兩側(cè)棱的截面平行四邊形三角形梯形過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(

)(2)棱臺的各條側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).(

)(3)底面是正多邊形的棱臺是正棱臺.(

)2.棱臺的各側(cè)棱延長線一定相交于一點(diǎn)嗎?×√×提示

一定相交于一點(diǎn).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念【例1】

(1)下列關(guān)于棱柱的說法,正確的序號是

.

①所有的面都是平行四邊形;②每一個(gè)面都不會是三角形;③兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行;④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.③④

解析

①錯(cuò)誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形.②錯(cuò)誤,棱柱的底面可以是三角形.③正確,由棱柱的定義易知該說法正確.④正確,棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱,所以說法正確的序號是③④.(2)下列說法正確的序號是

.

①棱錐的側(cè)面不一定是三角形;②棱錐的各側(cè)棱長一定相等;③棱臺的各側(cè)棱的延長線相交于同一點(diǎn);④有兩個(gè)面互相平行且相似,其余各面都是梯形,則此幾何體是棱臺.③

解析

棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形,但是各側(cè)棱不一定相等,故①②不正確;棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的,故各個(gè)側(cè)棱的延長線一定交于一點(diǎn),③正確;棱臺的各條側(cè)棱延長線必須交于一點(diǎn),故④不正確.規(guī)律方法

棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征:一是有兩個(gè)面互相平行,二是各側(cè)棱都平行,各側(cè)面都是平行四邊形.(2)棱錐有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征:一是有一個(gè)面是多邊形,二是其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺的上、下底面平行且相似,各側(cè)棱延長線相交于同一點(diǎn).變式訓(xùn)練1下列敘述正確的是(

)A.用一個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B.兩個(gè)面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.有兩個(gè)面互相平行,其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D解析

對于A,當(dāng)截面不平行于底面時(shí),棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺,A錯(cuò)誤;對于B,C,如圖的幾何體滿足條件,但側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn),不是棱臺,B,C錯(cuò)誤;對于D,由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn),D正確.故選D.探究點(diǎn)二正棱錐、正棱臺中的計(jì)算問題【例2】

正三棱錐的底面邊長為3,側(cè)棱長為2,求正三棱錐的高.規(guī)律方法

1.正棱錐中直角三角形的應(yīng)用

已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于點(diǎn)E,則PE為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△PEC;(2)斜高、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POE;(3)側(cè)棱、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POC.2.正棱臺中直角梯形的應(yīng)用

已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例),O1,O分別為上底面與下底面中心,作O1E1⊥B1C1于點(diǎn)E1,OE⊥BC于點(diǎn)E,則E1E為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形E1ECC1;(2)斜高、高為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1E1EO;(3)高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1OCC1.變式訓(xùn)練2已知正四棱臺的上底面、下底面的面積分別為4,16,一側(cè)面面積為12,分別求該棱臺的斜高、高、側(cè)棱長.解

如圖,設(shè)O',O分別為上底面、下底面的中心,即OO'為正四棱臺的高,E,F分別為B'C',BC的中點(diǎn),所以EF⊥B'C',即EF為斜高.由上底面面積為4,上底面為正方形,可得B'C'=2.同理可得,BC=4.因?yàn)樗倪呅蜝CC'B'的面積為12,所以

×(2+4)·EF=12,所以EF=4.過點(diǎn)B'作B'H⊥BC交BC于點(diǎn)H,則BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4.探究點(diǎn)三多面體表面距離最短問題【例3】

如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點(diǎn)A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.解

將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.因?yàn)椤螦VB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4,所以△AEF周長的最小值為4.規(guī)律方法

本題是多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,常常要?dú)w結(jié)為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題.解決此類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開,再用平面幾何的知識來求解.變式訓(xùn)練3如圖,在以O(shè)為頂點(diǎn)的三棱錐中,過點(diǎn)O的三條棱,任意兩條棱的夾角都是30°,在一條棱上有A,B兩點(diǎn),OA=4,OB=3,以A,B為端點(diǎn)用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周,求此繩在A,B之間的最短繩長.解

作出三棱錐的側(cè)面展開圖,如圖.A,B兩點(diǎn)之間的最短繩長就是線段AB的長度.由題知,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB