《工程制圖》圖文-模塊二

模塊二投影法基礎(chǔ)目錄課題一投影法與三視圖課題二點(diǎn)、直線和平面的投影課題三立體的投影課題四立體表面交線的投影課題一投影法與三視圖一、投影的形成物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻面上產(chǎn)生影子。人們對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行抽象研究，總結(jié)其中規(guī)律，形成了投影法。投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法，稱為投影法。要形成一個(gè)投影，需要有三個(gè)基本構(gòu)成元素，分別為光源（投射線）、物體與投影面，稱之為投影的三要素，如圖2-1所示。圖2-1投影的形成二、投影法的分類1.中心投影法投射線匯交于一點(diǎn)的投影法稱為中心投影法，如圖2-2所示。用中心投影法繪制的圖樣直觀性強(qiáng)，常應(yīng)用于建筑物透視圖，但所得投影不反映物體的真實(shí)大小，因此在機(jī)械和化工圖樣中很少采用。圖2-2中心投影法2.平行投影法投射線互相平行的投影法稱為平行投影法。平行投影法又分為正投影法與斜投影法兩種，正投影法是投射線與投射面垂直的平行投影法，如圖2-3（a）所示；斜投影法是投射線與投射面傾斜的平行投影法，如圖2-3（b）所示。圖2-3平行投影法三、正投影的基本性質(zhì)正投影法之所以在機(jī)械制圖中能得到廣泛應(yīng)用，是由正投影法的一系列特性所決定的。其中類似性、顯實(shí)性與積聚性是正投影法的基本特性。圖2-4正投影的基本性質(zhì)四、三視圖的形成及其投影規(guī)律1.三視圖的形成

1）三面投影體系一般情況下，用正投影法得到的單面投影是不能完全、準(zhǔn)確地表達(dá)出物體的全部形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖2-5所示，三個(gè)不同結(jié)構(gòu)的物體的單面投影相同。因此，通常把物體放在三個(gè)互相垂直的平面所組成的投影面體系中，從三個(gè)不同方向向三個(gè)投影面進(jìn)行投射。由這三個(gè)互相垂直的平面所組成的投影面體系稱為三面投影體系，如圖2-6所示。在這個(gè)投影體系中，將正立的投影面稱為正立投影面，用V表示；將垂直于正立投影面的水平的投影面稱為水平投影面，用H表示；將垂直于正立投影面和水平投影面的投影面稱為側(cè)立投影面，用W表示。正立投影面和水平投影面的交線為X軸；側(cè)立投影面和水平投影面的交線為Y軸；正立投影面和側(cè)立投影面的交線為Z軸；互相垂直的三個(gè)軸的交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)。圖2-5單面投影圖2-6三面投影體系

2）三視圖形成把物體放在三面投影體系中，分別向三個(gè)投影面垂直投射，這樣就得到了物體的三個(gè)投影。其中在V面上的投影稱為正面投影；在H面上的投影稱為水平投影；在W面上的投影稱為側(cè)面投影。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，物體位于觀察者與投影面之間，物體的正面投影稱為主視圖；水平投影稱為俯視圖；側(cè)面投影稱為左視圖。視圖中，規(guī)定物體的可見輪廓線畫成實(shí)線，不可見輪廓線畫成虛線，中心線畫成點(diǎn)畫線，如圖2-7所示。圖2-7三視圖的形成為了將三個(gè)視圖畫在一張圖紙上，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定正立投影面保持不動(dòng)，把水平投影面向下繞OX軸旋轉(zhuǎn)90°，把側(cè)立投影面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，這樣就得到了在同一平面上的三視圖，如圖2-8(a)所示。為了簡化作圖，在三視圖中不畫投影面的邊框線，視圖之間的距離可根據(jù)具體情況確定，如圖2-8(b)所示。值得注意的是，根據(jù)三個(gè)投影面的相對(duì)位置及其展開的規(guī)定，三視圖的配置必須是以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。圖2-8三視圖的展開2.三視圖的投影規(guī)律如果把物體左右方向的尺寸稱為長，前后方向的尺寸稱為寬，上下方向的尺寸稱為高，那么，從圖2-9可以看出，主視圖反映了物體的長度和高度，俯視圖反映了長度和寬度，左視圖反映了寬度和高度，且每兩個(gè)視圖之間有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系為：主視圖和俯視圖長相等，主視圖和左視圖高相等，俯視圖和左視圖寬相等。即三視圖之間的投影規(guī)律為：主、俯視圖長對(duì)正，主、左視圖高平齊，俯、左視圖寬相等。在繪制三視圖時(shí)要符合這一投影規(guī)律（簡稱為“三等”規(guī)律）。圖2-9三視圖的投影規(guī)律課題二點(diǎn)、直線和平面的投影一、點(diǎn)的投影點(diǎn)是立體上最基本的幾何元素，一般體現(xiàn)為棱線和棱線的交點(diǎn)，如圖2-10(a)所示的點(diǎn)A。根據(jù)投影關(guān)系，主視圖上的a′稱為點(diǎn)A的正面投影；俯視圖上的a稱為點(diǎn)A的水平投影；左視圖上的a″稱為點(diǎn)A的側(cè)面投影，如圖2-10(b)所示。圖2-10立體上點(diǎn)的投影為了統(tǒng)一表達(dá)，規(guī)定空間點(diǎn)用大寫字母表示，如A、B、C等；水平投影用相應(yīng)的小寫字母表示，如a、b、c等；正面投影用相應(yīng)的小寫字母加撇表示，如a′、b′、c′；側(cè)面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″。投影與投影之間的連線簡稱為連影線。由于投影面相互垂直，所以連影線也相互垂直，八個(gè)頂點(diǎn)A、a、aY、a′、a″、aX、O、aZ構(gòu)成正六面體，根據(jù)正六面體的性質(zhì)，可以得出點(diǎn)的三面投影圖的投影特性如下。（1）點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX；點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ；同時(shí)aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離反映空間點(diǎn)到另一投影面的距離，即a′aX=a″aYW=Aa，也即空間點(diǎn)A到H面的距離；aaX=a″aZ=Aa′，也即空間點(diǎn)A到V面的距離；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空間點(diǎn)A到W面的距離。為了表示點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aaX＝a″aZ，可自O(shè)點(diǎn)作45°角平分線，aaYH、a″aYW的延長線必與這條輔助線交于一點(diǎn)，如圖2-10(c)所示。例2-1

已知點(diǎn)A的正面投影a′和側(cè)面投影a″，點(diǎn)B的正面投影b′和水平投影b，如圖2-11(a)所示，分別求其第三面投影。圖2-11已知點(diǎn)的兩面投影求第三投影二、直線的投影1.各種位置直線的投影特性

1）投影面平行線投影面平行線與一個(gè)投影面平行，與另外兩個(gè)投影面傾斜。（1）投影面平行線在其所平行的投影面上的投影，反映實(shí)長；它與投影軸的夾角，分別反映直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的夾角。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影，分別平行于相應(yīng)的投影軸。

2）投影面垂直線投影面垂直線與一個(gè)投影面垂直，與另外兩個(gè)投影面平行。（1）投影面垂直線在其所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影，分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長。

3）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜，因此在三個(gè)投影面上的投影都不反映實(shí)長，投影與投影軸之間的夾角也不反映直線與投影面之間的傾角。一般位置直線的投影特性是三個(gè)投影都是傾斜于投影軸的直線，其長度小于實(shí)長。2.直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)的投影特性如下。（1）直線上的點(diǎn)的投影必定在直線的同面投影上，如圖2-14所示，直線AB上的點(diǎn)K的投影k、k′、k″分別在ab、a′b′、a″b″上。（2）點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段的投影之比，如圖2-14所示，線段AK和KB的比例關(guān)系，等于同面投影中兩線段的比例關(guān)系，即AK/KB=ak/kb=a′k′/k′b′=a″k″/k″b″。圖2-14直線上的點(diǎn)的投影特性3.兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種：兩直線平行、兩直線相交及兩直線交叉。

1）兩直線平行如果空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必定相互平行，且符合定比性。如圖2-15所示，由于AB∥CD，則ab∥cd，a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″；且AB/CD=ab/cd=a′b/′c′d′=a″b″/c″d″。反之，如果兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定相互平行。圖2-15兩平行直線的投影2）兩直線相交如果空間兩直線相交，則它們的同面投影必定相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。如圖2-16所示，由于直線AB與直線CD相交于點(diǎn)K，則ab與cd交于k，a′b′與c′d′交于k′，a″b″與c″d″交于k″。反之，如果空間兩直線的同面投影均相交，且交點(diǎn)符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律，則這兩條直線在空間一定相交。圖2-16兩相交直線的投影3）兩直線交叉既不平行也不相交的直線稱為兩交叉直線，如圖2-17所示。圖2-17兩交叉直線交叉直線在空間是不相交的,但它們的投影卻有可能相交。交叉直線的投影的交點(diǎn)僅僅是這兩條直線對(duì)該投影面的重影點(diǎn)，如圖2-18(a)所示，交叉直線AB與CD的正面投影相交,其交點(diǎn)1′(2′)分別是直線AB上的點(diǎn)Ⅰ和直線CD上的點(diǎn)Ⅱ的重影點(diǎn)。有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一對(duì)或兩對(duì)投影平行的情況，如圖2-18(b)所示。圖2-18交叉兩直線的投影三、平面的投影1.平面的表示方法空間平面可用下列任意一組幾何元素來表示。（1）不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，如圖2-19（a）所示。（2）一條直線和不屬于該直線上的一個(gè)點(diǎn)，如圖2-19（b）所示。（3）兩條相交直線，如圖2-19（c）所示。（4）兩條平行直線，如圖2-19（d）所示。（5）任意平面圖形，如圖2-19（e）所示。圖2-19平面的表示方法2.平面的投影特性在三面投影體系中，平面和投影面的相對(duì)位置關(guān)系，可以分為三種：投影面垂直面、投影面平行面、傾斜于投影面的平面。投影面平行面和投影面垂直面稱為特殊位置平面，傾斜于投影面的平面稱為一般位置平面。1）投影面垂直面的投影特性（1）投影面垂直面在其所垂直的投影面上的投影，積聚成一直線；直線與投影軸的夾角，分別反映該平面與另外兩個(gè)投影面的夾角。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影均為該平面的類似形。2）投影面平行面的投影特性（1）投影面平行面在其所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。（2）投影面平行面在另外兩個(gè)投影面上的投影，分別積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。3）一般位置平面的投影特性一般位置平面與三個(gè)投影面都傾斜，因此在三個(gè)投影面上的投影都不反映實(shí)形，而是縮小的類似形，如圖2-20所示。圖2-20一般位置平面的投影3.平面上的點(diǎn)和直線由初等幾何可知，屬于平面的點(diǎn)和直線要滿足下列幾何條件。（1）若點(diǎn)位于平面內(nèi)的一直線上，則此點(diǎn)在該平面內(nèi)。（2）若一直線通過平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，或一直線通過平面上一已知點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的另一直線，則該直線必在平面內(nèi)。如圖2-21所示，相交兩直線AB、BC決定一平面P，點(diǎn)K、M分別在AB、BC上，所以直線KM在平面P內(nèi)。又如點(diǎn)M是BC上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AB，則MN一定也在平面P上。圖2-21平面上的點(diǎn)和直線例2-2

已知△ABC上點(diǎn)K的水平投影k，求其正面投影k′，如圖2-22(a)所示。圖2-22求△ABC上點(diǎn)K的正面投影k′例2-3

完成平面ABCDE的正面投影，如圖2-23(a)所示。圖2-23完成平面ABCDE的正面投影例2-4

已知平面△ABC兩面投影，求出平面上水平線BD和正平線BE的兩面投影，如圖2-24(a)所示。圖2-24求作平面上水平線和正平線的兩面投影課題三立體的投影一、平面立體的投影1.棱柱1）投影分析為方便作圖選擇正六棱柱的上底面和下底面平行于水平面，前后兩個(gè)側(cè)面平行于正面，其余四個(gè)側(cè)面垂直于水平面，如圖2-25（a）所示。六棱柱的水平投影為正六邊形，反映了上、下底面的實(shí)形，六邊形的六條邊分別是六個(gè)側(cè)面的積聚性投影。正面投影為三個(gè)矩形，中間的矩形是棱柱前面的顯實(shí)性投影，左右兩個(gè)矩形是左右側(cè)面的類似性投影。側(cè)面投影為兩個(gè)矩形，是棱柱左側(cè)兩個(gè)平面的類似性投影。2）作圖步驟畫正六棱柱的三視圖時(shí)，先畫作圖基準(zhǔn)線和反映六棱柱形狀特征的俯視圖——正六邊形，再按長對(duì)正、寬相等、高平齊的投影關(guān)系畫出主視圖和左視圖，如圖2-25（b）所示。若棱柱的上、下底面平行于正面或側(cè)面，其三視圖請(qǐng)讀者自行分析。圖2-25正六棱柱的投影作圖2.棱錐

1）投影分析為方便作圖，選擇正三棱錐的底面平行于H面，后側(cè)面垂直于W面，如圖2-26（a）所示。底面△ABC在H面上的投影△abc反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影積聚為直線a′c′和a″b″；后側(cè)面△SAC在W面上的投影積聚為直線s″a″，其水平投影△sac和正面投影△s′a′c′為類似的三角形；左右兩個(gè)側(cè)面都是一般位置平面，三個(gè)投影均為類似形。

2）作圖步驟畫正三棱錐的三視圖時(shí)，先畫底面的水平投影——△abc和頂點(diǎn)S在水平面上的投影s（等邊三角形的中心），然后依次連接sa、sb、sc即可，再按長對(duì)正、寬相等、高平齊的投影關(guān)系畫出主視圖和左視圖，如圖2-26（b）所示。圖2-26正三棱錐的投影作圖二、回轉(zhuǎn)體的投影1.圓柱

1）投影分析如圖2-27（a）所示，當(dāng)圓柱的軸線垂直于水平面時(shí)，圓柱的水平投影是圓，反映了上、下底面的實(shí)形，也是圓柱面的積聚性投影。正面投影為一矩形，矩形的兩條橫邊是圓柱上、下底面的積聚性投影，矩形的兩條豎邊是圓柱面上左、右輪廓素線的投影。側(cè)面投影也是一矩形，矩形的兩條豎邊是圓柱面前、后輪廓素線的投影。2）作圖步驟畫圓柱的三視圖時(shí)，先畫各投影的中心線，再畫圓柱面投影積聚為圓的視圖，然后根據(jù)圓柱的高度畫出另外兩個(gè)視圖，如圖2-27（b）所示。圖2-27圓柱的投影作圖2.圓錐1）投影分析如圖2-28（a）所示，當(dāng)圓錐的軸線垂直于水平面時(shí)，其水平投影為圓，反映了圓錐底面的實(shí)形。正面投影為一個(gè)三角形，三角形的底邊是圓錐底圓積聚性的投影，反映底圓直徑的大小，三角形的兩條腰為圓錐面上左、右輪廓素線的投影。側(cè)面投影也是一個(gè)三角形，但兩條腰是圓錐面上前、后輪廓素線的投影。2）作圖步驟畫圓錐的三視圖時(shí)，先畫各投影的中心線，再畫投影為圓的視圖，然后根據(jù)圓錐的高度畫出另外兩個(gè)視圖，如圖2-28（b）所示。圖2-28圓錐的投影作圖3.圓球1）投影分析如圖2-29（a）所示，圓球的三個(gè)視圖是三個(gè)等直徑的圓，是球面上平行于相應(yīng)投影面的三個(gè)不同位置的輪廓素線圓的投影。主視圖是球面上平行于正面的輪廓素線圓的投影，俯視圖是球面上平行于水平面的輪廓素線圓的投影，左視圖是球面上平行于側(cè)面的輪廓素線圓的投影。2）作圖步驟畫圓球的三視圖時(shí)，先畫各投影的中心線以確定圓球的中心，再畫出與球等直徑的三個(gè)圓，如圖2-29（b）所示。圖2-29圓球的投影作圖課題四立體表面交線的投影一、平面與立體相交實(shí)際的機(jī)器零件往往不是完整的基本體，而是經(jīng)截切的基本體。用來截切基本體的平面稱為截平面，截平面與立體表面相交產(chǎn)生的交線稱為截交線，由截交線圍成的平面圖形稱為截?cái)嗝?。截交線具有以下兩個(gè)基本性質(zhì)。（1）截交線是封閉的平面圖形。（2）截交線是截平面與立體表面的共有線。求截交線的投影就是求截平面與立體表面一系列共有點(diǎn)的投影，并依次連接。1.平面與平面立體相交例2-5

求作被截?cái)嗨睦庵娜嫱队?，如圖2-30（a）所示。例2-6

求作被兩個(gè)面截切三棱錐的三面投影，如圖2-31(a)所示。2.平面與回轉(zhuǎn)體相交1）平面與圓柱相交截平面相對(duì)于圓柱軸線有平行、垂直和傾斜三種不同的位置，其截交線的形狀分別為矩形、圓和橢圓，如圖2-32所示。圖2-32平面與圓柱相交例2-7

如圖2-33（a）所示，圓柱被正垂面P截?cái)?，補(bǔ)全其三視圖。2）平面與圓錐相交根據(jù)截平面相對(duì)于圓錐軸線的不同位置，其截交線有五種不同的形狀。當(dāng)截平面過錐頂時(shí)，截交線為三角形；當(dāng)截平面垂直于圓錐軸線時(shí)，截交線為圓；當(dāng)截平面與圓錐軸線傾斜時(shí)，截交線為橢圓；當(dāng)截平面與圓錐軸線平行時(shí)，截交線由雙曲線和直線組成；當(dāng)截平面與圓錐面上某一素線平行時(shí)，截交線由拋物線和直線組成。平面與圓錐相交的各種情況如圖2-34所示。圖2-34平面與圓錐相交例2-8

如圖2-35（a）所示，圓錐被正垂面P截?cái)?，補(bǔ)全其三視圖。3）平面與圓球相交面切割圓球時(shí)，截交線為圓。當(dāng)截平面與投影面平行時(shí)，其投影為圓，圓的大小取決于截平面到球心的距離，如圖2-36所示。圖2-36平面與圓球相交例2-9

如圖2-37（a）所示，補(bǔ)全開槽半球的水平投影和側(cè)面投影。二、兩立體相交1.兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線求兩曲面立體相貫線上點(diǎn)的常用方法有表面取點(diǎn)法和輔助平面法。1）表面取點(diǎn)法如果相交的兩個(gè)曲面立體中，有一個(gè)立體表面的投影具有積聚性（如垂直于投影面的圓柱體）時(shí)，就可以利用在曲面立體表面上取點(diǎn)的方法作出兩曲面立體表面上