藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例課時(shí)沖關(guān)

PAGEPAGE1第3節(jié)平面對(duì)量的數(shù)量積與平面對(duì)量應(yīng)用舉例1．設(shè)向量a，b滿意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5解析：A[由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝6，兩式相減，得a·b＝1.]2．(2024·玉溪市一模)已知a與b的夾角為eq\f(π,3)，a＝(1,1)，|b|＝1，則b在a方向上的投影為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：C[依據(jù)題意，a與b的夾角為eq\f(π,3)，且|b|＝1，則b在a方向上的投影|b|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).]3．已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿意(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：A[(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))，設(shè)BC＝a，AC＝b，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化簡得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]4．(2024·重慶市模擬)如圖，在圓C中，弦AB的長為4，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．8 B．－8C．4 D．－4解析：A[如圖所示，在圓C中，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則D為AB的中點(diǎn)；在Rt△ACD中，AD＝eq\f(1,2)AB＝2，可得cosA＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(2,|\o(AC,\s\up6(→))|)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×cosA＝4×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×eq\f(2,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝8.故選A.]5．已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，設(shè)E(λ，λ)(0≤λ≤2)，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝(λ，λ－2)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(1,2)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝3λ－4≤2.所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))的最大值為2.故選B.]6．設(shè)向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，滿意(a＋b)·(a－b)＝0，則m解析：向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，則a＋b＝(3,2m)，a－b＝(－1,4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋8m2＝0，解得m＝±eq\f(\r(6),答案：±eq\f(\r(6),4)7．(2024·內(nèi)江市一模)已知正方形ABCD的邊長為2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝________.解析：正方形ABCD的邊長為2，eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4.答案：48．已知a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量2a＋b與c＝(8,6)共線，則a在b解析：2a＋b＝(4,2λ∵2a＋b與c＝(8,6)共線，∴2λ＋1＝3，即λ∴a·b＝2＋λ＝3，∴a在b方向上的投影為|a|·cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)答案：eq\f(3\r(5),5)9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)設(shè)c＝4a＋b，求(b·c)a(2)若a＋λb與a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb與a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(5,2).∴λ的值為eq\f(5,2).(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，向量a在b方向上的投影為|a|cosθ.∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1×2＋2×－2,\r(22＋－22))＝－eq\f(2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).10．已知如圖，△ABC中，AD是BC邊的中線，∠BAC＝120°，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(15,2).(1)求△ABC的面積；(2)若AB＝5，求AD的長．解：(1)∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝－eq\f(15,2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠BAC＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝－eq\f(15,2)，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝15，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC＝eq\f(1,2)×15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).(2)法一：由AB＝5得AC＝3，延長AD到E，使AD＝DE，連接BE.∵BD＝DC,∴四邊形ABEC為平行四邊形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3.設(shè)AD＝x，則AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝eq\f(\r(19),2)，即AD的長為eq\f(\r(19),2).法二：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACD)，得sin∠ACD＝eq\f(ABsin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14).∵0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD＝eq\r(1－sin2∠ACD)＝eq\f(11,14).在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋eq\f(49,4)－2×3×eq\f(7,2)×eq\f(11,14)＝eq\f(19,4)，解得AD＝eq\f(\r(19),2).法三：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49,