第43講、數(shù)列的通項公式（教師版）

更多資料請+wx：gk230616進資料群下載③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．題型二：疊加法例4．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個通項公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，，，所以依此類推得，所以．又也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是．故選：C．例5．（2024·新疆喀什·?？寄M預測）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．46【答案】D【解析】由，得，，，，，累加得，，當時，上式成立，則，所以.故選：D例6．（2024·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，故可得，，…，，及累加可得，則，所以，則．故選：B．變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則的通項為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，則當時，，將個式子相加可得，因為，則，當時，符合題意，所以.故選：D.變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，由累加法可得：，所以（），又因為，所以（），當時，，符合，所以（），所以，所以．故選：A.變式8．（2024·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足：，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，∴，，∴，又，故，所以，所以，故，則，所以.故選：C．【解題方法總結(jié)】數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和題型三：疊乘法例7．（2024·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2024 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【解析】，，即，可得，.故選：C.例8．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A例9．（2024·天津濱海新·高三校考期中）已知，則（

）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【解析】，，，，，，顯然，當時，滿足，∴，.故選：D.變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由①②，①②得：，即：，所以，所以故選：．變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列滿足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故選：D﹒變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】數(shù)列滿足，，整理得，，，，所有的項相乘得：，整理得：，故選：．變式13．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，且，則它的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，因此，.故選：A.【解題方法總結(jié)】數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式題型四：待定系數(shù)法例10．（2024·全國·高三專題練習）已知：，時，，求的通項公式．【解析】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．例11．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，，且對于時恒有，求數(shù)列的通項公式．【解析】因為，所以，又因為，所以數(shù)列是常數(shù)列0，所以，所以．例12．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：求.【解析】因為所以兩邊同時加上得：，所以，當時，故，故，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.于是變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1），設(shè)，即，即，解得，，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.，故.（2），則.變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，a1=2，，求的通項．【解析】因為的特征函數(shù)為：，由，∴∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴．變式16．（2024·江蘇南通·高三江蘇省通州高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）因為，所以，若對于恒成立，即，可得即對于任意正整數(shù)恒成立，所以，令，則，所以，可得，所以，所以的取值范圍為．變式17．（2024·四川樂山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】由得，又，所以，即是等比數(shù)列，所以，即．故答案為：．變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】因為，設(shè)，即，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等則，解得，故，所以是為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：變式19．（2024·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】由，得，即由所以，于是數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，當時，,此式滿足，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.【解題方法總結(jié)】形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．題型五：同除以指數(shù)例13．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】將兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，∴數(shù)列的通項公式為．例14．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列{}中，求通項公式．【解析】可化為：．又則數(shù)列是首項為，公比是2的等比數(shù)列．

∴，則．所以數(shù)列{}通項公式為例15．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】由，可得又，則數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，故．則數(shù)列的通項公式為.變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】解法一：因為，設(shè)，所以，則，解得，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：因為，兩邊同時除以得，所以，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】解法一：設(shè)，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，當時，則，故，顯然當時，符合上式，故.故答案為：.變式22．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】兩邊除以，得，則，故，，則數(shù)列的通項公式為．【解題方法總結(jié)】形如，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．題型六：取倒數(shù)法例16．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：求通項.【解析】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項為，公差為2，，∴.例17．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，求．【解析】由已知關(guān)系式得,所以數(shù)列是以為首項，公比為3得等比數(shù)列，故，所以例18．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】，，兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當時，，，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．，，．當時，，則，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．，，，，，變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．【解析】，，則，則，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．于是，．變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】為等差數(shù)列，首項，公差為，.變式25．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)列中，，，則．【答案】【解析】由，，可得，所以，即(定值)，故數(shù)列以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．故答案為：．變式26．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列的前n項和.【解析】（1）因為，，故，所以，整理得．

又，，，所以為定值，

故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，得.（2）因為，

所以．【解題方法總結(jié)】對于，取倒數(shù)得．當時，數(shù)列是等差數(shù)列；當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．題型七：取對數(shù)法例19．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和，求證：.【解析】（1）因為，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以；（2）由，得，則，所以，所以，所以，因為，所以，所以.例20．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)正項數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】對任意的，，因為，則，所以，，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，解得.例21．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．【解析】恒成立，，則，則，，當時，，故，即，取，滿足；當且時，是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，即，故，故，取，得到恒成立.綜上所述：存在常數(shù)，使得對于任意的，都有．【解題方法總結(jié)】形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．題型八：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題例22．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是．【答案】【解析】，，且，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．，．時，，且不滿足上式，所以．故答案為：.例23．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列中，，前n項和為.若，則數(shù)列的前2024項和為.【答案】【解析】在數(shù)列中，又，且，兩式相除得，，∴數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則，∴，當，，當時，，也滿足上式，∴數(shù)列的通項公式為，則，數(shù)列的前2024項和為.故答案為：例24．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，且（），(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當時，，當時，，故，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；（2）由（1）得，故，則，故，則變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和滿足．(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由，得．由，得，，得．（2）當時，有，即①令，則，與①比較得，，是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列．，故．變式28．（2024·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）已知數(shù)列的前項和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項積．【解析】（1）由，得．所以，即，整理得，上式兩邊同時除以，得．又，所以，即，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，．所以．所以．變式29．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？家荒＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵，∴當時，，解得.當時，，即，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2）因為，所以∴當時，，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為.變式30．（2024·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)已知，，求數(shù)列的前20項和.【解析】（1）當時，可得，當時，，，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為.（2），，所以，.所以數(shù)列的前20項和為.變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，.證明：是等比數(shù)列.【解析】由，當n1時，可得14；當時，anSnSn15an5an11，即，即，記，令，求出不動點，故，又115≠0，∴數(shù)列{an1}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項和，且，，(1)求數(shù)列的通項；(2)證明：.【解析】（1）法一：因為，所以當時，，所以，，兩式相減可得，又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，故當時，，經(jīng)檢驗，當時，滿足上式，所以.法二：因為，所以當時，，故，等號兩邊平方得，設(shè)，則，又，，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，即，則，故，則，解得或，當時，，則，而，矛盾，舍去，當時，經(jīng)檢驗，滿足題意，故.（2）由法一易知，由法二易得，故由（1）得，，所以，命題得證.變式33．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習）數(shù)列的前項和為且當時，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意，，在數(shù)列中，當時，成等差數(shù)列，所以，即，所以時，，又由知時，成立，即對任意正整數(shù)均有，所以，從而，即數(shù)列的通項公式為：.（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，所以.假設(shè)數(shù)列中存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡得，因為成等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，又，所以，即，所以，所以，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，所以在數(shù)列中不存在3項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.變式34．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知是數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當時，，∴，當時，，∴，∴是以、公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，當時，.當時，，①∴，②①-②得，，∴，當時，也適合，∴.變式35．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）對任意的，當時，，兩式相減．整理得，當時，，也滿足，從而．（2）證明：證法一：因為，所以，．從而；證法二：因為，所以，，證畢.變式36．（2024·河北滄州·?？寄M預測）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1），當時，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當時，，所以，數(shù)列的通項公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項和.變式37．（2024·全國·高三專題練習）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項的和．【解析】（1），兩式相減得：，由于，則，當時，，得，，則，所以是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．（2）①所以②由得：，所以．變式38．（2024·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和．已知．證明：是等差數(shù)列；【解析】證明：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．【解題方法總結(jié)】對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時要合理選擇．一個方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨立的情況．簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時加注的范圍．題型九：周期數(shù)列例25．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，故A錯誤；，，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故B錯誤；∵，，∴，故C正確；，故D錯誤．故選：C．例26．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，則，，，……，故為周期為3的數(shù)列，因為，所以.故選：D例27．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足：，，，，則（

）.A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】即又是以為周期的周期數(shù)列.故選：C變式39．（2024·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列．又，．故選：B．變式40．（2024·江蘇淮安·高三校考階段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年.故選：A變式41．（2024·云南昆明·昆明一中模擬預測）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．4043 D．4044【答案】A【解析】由得，兩式相加得，即，故，所以.故選：A．變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由得，所以數(shù)列的周期為3，所以．故選：B【解題方法總結(jié)】（1）周期數(shù)列型一：分式型（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型（3）周期數(shù)列型三：乘積型（4）周期數(shù)列型四：反解型題型十：前n項積型例28．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）當時,,∴,當時,,化簡得,∵,∴,∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,∴.當時,,當時,，當時也滿足，所以.（2）,設(shè)①,則②,①-②得,∴.例29．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)為數(shù)列的前n項積．已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）依題意，是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，即，當時，有，兩式相除得，，顯然，即，因此當時，，即，所以數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)的前項和為，由（1）得，，于是，因此，則，所以數(shù)列前項和為.例30．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）由，且，當時，，得，當時，，得；（2）對于①，當時，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當時，，又時，，不符合，.變式43．（2024·福建廈門·高三廈門外國語學校校考期末）為數(shù)列的前n項積，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求的通項公式．【解析】（1）證明：由已知條件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．，法1：時，，又符合上式，所以；法2：將代回得：．變式44．（2024·江蘇無錫·高三無錫市第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求的最大值．【解析】（1）∵①，∴②，由①②可得，由①也滿足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，則，記，∴，∴，∴，即單調(diào)遞減，∴的最大值為．變式45．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項積.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前n項為，求的最小值.【解析】（1）.當時，；當時，，也符合.故的通項公式為.（2），，是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，當時，的最小值為.變式46．（2024·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前n項的積，且，為數(shù)列的前n項的和，若（，）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式.【解析】（1）證明：，.，是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，.時，；時，.而，，，均不滿足上式.（）.變式47．（2024·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的通項公式．【解析】解析：（1）將代入，得，整理得．當時，得，所以數(shù)列是以為首項，為公差等差數(shù)列．所以．（2）由（1）得，代入，可得．當時，；當時，所以．【解題方法總結(jié)】類比前項和求通項過程：（1），得（2）時，題型十一：“和”型求通項例31．（2024?河南月考）若數(shù)列滿足為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則．【解析】解：由，，，即，，，，即，，，，．，由此可知．故答案為：．例32．（2024?南明區(qū)校級月考）若數(shù)列滿足，則．【解析】解：，則．故答案為：．例33．（2024·青海西寧·二模（理））已知為數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【解析】當時，，當時，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.變式48．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，，且其前項和為.若，則正整數(shù)（

）A．99 B．103 C．107 D．198【答案】B【解析】由得，∴為等比數(shù)列，∴，∴，，∴，①為奇數(shù)時，，；②為偶數(shù)時，，，∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時，無解，綜上所述，.故選：B.變式49．（2024·黑龍江·哈師大附中高三階段練習（理））已知數(shù)列的前項和為，若，且，，則的值為A．－8 B．6 C．－5 D．4【答案】C【解析】對于，當時有，即，，兩式相減得：，由可得即從第二項起是等比數(shù)列，所以，即，則，故，由可得，故選C.變式50．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，求通項.【解析】因為，所以當時，，當時，，兩式相減得：，構(gòu)成以為首項，2為公差的等差數(shù)列；構(gòu)成以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，，變式51．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，求通項.【解析】由已知當時，可得，當時，，與已知式聯(lián)立，兩式相減，得，，，，即奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是每項都等于的常數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是每項都等于的常數(shù)列，.【解題方法總結(jié)】滿足，稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：（1）“和”常數(shù)型（2）“和”等差型（3）“和”二次型（4）“和”換元型題型十二：正負相間討論、奇偶討論型例34．數(shù)列滿足，前16項和為540，則．【答案】【解析】解：因為數(shù)列滿足，當為奇數(shù)時，，所以，，，，則，當為偶數(shù)時，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因為前16項和為540，所以，所以，解得．故答案為：．例35．（2024?夏津縣校級開學）數(shù)列滿足，前16項和為508，則．【答案】3【解析】解：由，當為奇數(shù)時，有，可得，，累加可得；當為偶數(shù)時，，可得，，，．可得．．，，即．故答案為：3．例36．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項公式.【解析】在數(shù)列中，由，得，當時，，兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，所以數(shù)列的通項公式是.變式52．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求的最小值．【解析】（1）由題意知當時，．設(shè)，則，所以，即．又．所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．所以．即．（2）當為偶數(shù)時，，即，令．則可解得．即．又因為故的最小值為95．變式53．（2024·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因為所以，，，所以．又因為，所以，所以．因為，所以，又因為，所以，所以，所以，即，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，因為，，所以是一個增數(shù)列，因為，，所以滿足題意的n的最小值是20．變式54．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且對任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前項積為，求和.【解析】（1）由題意可得：，是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；（2）由上可得：，同理.【解題方法總結(jié)】（1）利用n的奇偶分類討論，觀察正負相消的規(guī)律（2）分段數(shù)列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列題型十三：因式分解型求通項例37．（2024?安徽月考）已知正項數(shù)列滿足：，，．（Ⅰ）判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；（Ⅱ）若，設(shè)．，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（Ⅰ），，又數(shù)列為正項數(shù)列，，①當時，數(shù)列不是等比數(shù)列；②當時，，此時數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，，．例38．（2024?懷化模擬）已知正項數(shù)列滿足，設(shè)．（1）求，；（2）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；（3）的通項公式，并求其前項和為．【解析】解：（1），，，可得，則，數(shù)列為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，可得；，，；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，理由：，則數(shù)列為首項為0，公差為1的等差數(shù)列；（3），前項和為．例39．（2024?倉山區(qū)校級月考）已知正項數(shù)列滿足且（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）若記，求數(shù)列的前項和．【解析】證明：由，變形得：，由于為正項數(shù)列，，利用累乘法得：從而得知：數(shù)列是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，從而．變式55．已知正項數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列滿足，且．（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求．【解析】解：（1），當時，，，解得．又，，，當時，，當時上式也成立，．（2）數(shù)列滿足，且．．，當為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和為．當為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和為．當時也成立，．變式56．（2024?四川模擬）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足．（1）求，及的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）當時，，；當時，，；由已知可得，且，．（2）設(shè)，，是公比為4的等比數(shù)列，．【解題方法總結(jié)】利用十字相乘進行因式分解題型十四：其他幾類特殊數(shù)列求通項例40．（2024·全國·高三專題練習）已知，，則的通項公式為．【答案】【解析】，①．②由得．又因為，所以是公比為，首項為的等比數(shù)列，從而，即．故答案為：例41．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】設(shè)，令得：，解得：；，化簡得，，所以，從而，故，又，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，從而，故．故答案為：例42．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】設(shè)，令得：，解得：；，化簡得：，所以，從而，又，所以是首項為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以．故答案為：變式57．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項公式.【解析】依題，記，令，求出不動點；由定理2知：，；兩式相除得到，∴是以為公比，為首項的等比數(shù)列，∴，從而．變式58．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且，求其通項公式．【解析】因為，所以特征方程為，解得,令，代入原遞推式得,因為，所以，故,因此，，從而,又因為，所以．變式59．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．【解析】令．先求出數(shù)列的不動點，解得．將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項公式為．將代入，得．∴．變式60．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，求的通項公式．【解析】化為，即，，可得或，（所得兩組數(shù)值代入上式等價），不妨令，，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則，累加法可得：，又符合上式，故.變式61．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，且，，求數(shù)列的通項公式.【解析】由于且，，故數(shù)列發(fā)生函數(shù)為于是數(shù)列的通項為：，.變式62．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，，求【解析】法1：已知，所以，則是首項為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當n為奇數(shù)時，，，，，，累加可得，，所以，當n為偶數(shù)時，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.變式63．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．【解析】（1）由已知，，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）∵，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，①，又∵由第（1）問，，②，∴②①得，，∴存在，，兩個等比數(shù)列，，使得成立．變式64．（2024·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．【解析】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．于是．變式65．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】令，整理得，故或，由可得，令并將代入，可得，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，整理得.【解題方法總結(jié)】（1）二次型：形如（2）三階遞推：形如型，多在大題中，有引導型證明要求（3）“糾纏數(shù)列”：兩個數(shù)列，多為等差和等比數(shù)列，通項公式組成“方程組”（4）數(shù)學歸納型：可以通過數(shù)學歸納法，猜想，證明（小題省略證的過程）題型十五：雙數(shù)列問題例43．（2024·河北秦皇島·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；(2)求的通項公式以及的前項和．【解析】(1)證明：因為，所以，即，所以是公比為的等比數(shù)列．將方程左右兩邊分別相減，得，化簡得，所以是公差為2的等差數(shù)列．(2)由（1）知，，上式兩邊相加并化簡，得，所以．例44．（2024·全國·高三專題練習）兩個數(shù)列?滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.【答案】【解析】解：因為，，所以，所以，即，所以的特征方程為，解得特征根或，所以可設(shè)數(shù)列的通項公式為，因為，，所以，所以，解得，所以，所以；故答案為：例45．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列和滿足，，，.則＝_______.【答案】【解析】，，且，，則，由可得，代入可得，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，在等式兩邊同時除以可得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，所以，，，則，因此，.故答案為：.變式66．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列,滿足,且,.(1)證明:為等比數(shù)列;(2)求,的通項.【解析】（1）證明：由，可得：，，代入，可得：，化為：，，為等比數(shù)列，首項為-14，公比為3.（2）由（1）可得：，化為：，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為16，公比為2.，可得：，.變式67．（2024·吉林長春·模擬預測）已知數(shù)列和滿足，，，，則______，______．【答案】

【解析】由題設(shè)，，則，而，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故，，則，令，則，故，而，所以是常數(shù)列，且，則.故答案為：，.【解題方法總結(jié)】消元法題型十六：通過遞推關(guān)系求通項例46．（2024·全國·高三專題練習）某電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的條的，第2次播放了2條以及余下的，第3次播放了3條以及余下的，以后每次按此規(guī)律插播廣告，在第次播放了余下的x條．(1)設(shè)第次播放后余下條，這里，，求與的遞推關(guān)系式．(2)求這家電視臺這一天播放廣告的時段x與廣告的條數(shù)y．【解析】（1）依題意，第次播放了，因此，整理得．（2）∵，又∵，∴．∴，∴∴．∵當時，，與互質(zhì)，，∴，則即．例47．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．【解析】（1）由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因為％，所以①，又因為

②．聯(lián)立①②得，．例48．（2024·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的