第63講、直線與圓的綜合（學生版）

第63講直線與圓的綜合必考題型全歸納題型一：距離的創(chuàng)新定義例1．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，P為內(nèi)一點，記，則的最小值為，此時.例2．（2024·全國·高三專題練習）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常見的方法，設點、坐標分別為，，則閔氏距離.若點、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．例3．（2024·全國·高三專題練習）17世紀法國數(shù)學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最?。F(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據(jù)以上知識，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（）A． B．C． D．變式1．（2024·全國·高三專題練習）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個命題：①若，則；②若，其中，則；③若，其中，則；④若，其中，則的最小值為.其中所有真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2024·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．變式3．（2024·全國·高三專題練習）點是內(nèi)部或邊界上的點，若到三個頂點距離之和最小，則稱點是的費馬點（該問題是十七世紀法國數(shù)學家費馬提出）.若，，時，點是的費馬點，且已知在軸上，則的大小等于.變式4．（2024·全國·高三專題練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為．題型二：切比雪夫距離例4．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”．又設點P及l(fā)上任意一點Q，稱d（P，Q）的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個命題：①對任意三點A，B，C，都有；②已知點P（3，1）和直線，則；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形．其中正確的序號為．例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”．若點P到點（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點P的軌跡長度之和為．例6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:①對任意三點，都有②已知點和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；其中真命題的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③變式5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作.（1）求證：對任意三點、、，都有；（2）已知點和直線，求；（3）定點，動點滿足（），請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.變式6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：①對任意三點、、，都有；②已知點和直線，則；③定義，動點滿足，則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4；其中真命題的個數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(2,1)和直線,則③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式8．（2024·全國·高三專題練習）在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（

）①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(3,1)和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題例7．（2024·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948例8．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標系中，定義兩點間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點，若，則的最小值與最大值之和為（

）A．0 B． C． D．例9．（2024·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數(shù)學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（

）A． B． C． D．變式9．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數(shù)學家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內(nèi)，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（

）A． B．C． D．變式10．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”是19世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)之間，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點，滿足的點M軌跡圍成的圖形面積為（

）A．2 B．1 C．4 D．題型四：圓的包絡線問題例10．（2024·全國·高三專題練習）設直線系M：，則下列命題中是真命題的個數(shù)是（

）①存在一個直線與所有直線相交；②M中所有直線均經(jīng)過一個定點；③對于任意實數(shù)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.A．0 B．1 C．2 D．3例11．（2024·全國·高三專題練習）設直線系（），則下列命題中是真命題的個數(shù)是（）①存在一個圓與所有直線相交；②存在一個圓與所有直線不相交；③存在一個圓與所有直線相切；④中所有直線均經(jīng)過一個定點；⑤不存在定點不在中的任一條直線上；⑥對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．A．3 B．4 C．5 D．6例12．（2024·全國·高三專題練習）設直線系，對于下列四個結(jié)論：（1）當直線垂直于軸時，或；（2）當時，直線傾斜角為；（3）中所有直線均經(jīng)過一個定點；（4）存在定點不在中任意一條直線上．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④變式11．（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·高二?？奸_學考試）設有一組圓：（）.下列四個命題中真命題的是A．存在一條定直線與所有的圓均相切B．存在一條定直線與所有的圓均相交C．存在一條定直線與所有的圓均不相交D．所有的圓均不經(jīng)過原點變式12．（多選題）（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線，下面五個命題，其中正確的是（

）A．對任意實數(shù)與，直線和圓有公共點B．對任意實數(shù)與，直線與圓都相離C．存在實數(shù)與，直線和圓相離D．對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有（）條A．1 B．2 C．3 D．4題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題例13．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）公元前世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．例14．（2024·高二單元測試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點到，的距離之比為，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．例15．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．變式14．（2024·全國·高二專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式15．（2024·高二單元測試）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內(nèi)的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點為的中點，點為的中點.若點、是空間中的兩動點，且，，則（）A．3 B．4 C．6 D．8變式18．（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標原點，則的最小值是．變式19．（2024·全國·高三專題練習）點為圓：上一動點，為圓：上一動點，為坐標原點，則的最小值為.變式20．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，點在線段上，且，點是正方體表面上的一動點，點是空間兩動點，若且，則的最小值為.題型六：圓中的垂直問題例16．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則．例17．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取值范圍是．例18．（2024·全國·模擬預測）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為．變式21．（2024·全國·高三專題練習）過定點作兩條相互垂直的直線、，設原點到直線、的距離分別為、，則的最大值是．變式22．（2024·全國·高三專題練習）過點作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點，則四邊形面積的最大值為．變式23．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為.題型七：圓的存在性問題例19．（2024·河南·河南省實驗中學?？寄M預測）已知圓和兩點，.若圓上存在點，使得，則的最大值為．例20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知動圓的方程為，則圓心的軌跡方程為．若對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，則滿足條件的圓心的軌跡長度為．例21．（2024·上海普陀·高三上海市晉元高級中學?？茧A段練習）設點的坐標為，若在圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為．變式24．（2024