北京市懷柔區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷 含解析

懷柔區(qū)2023--2024學(xué)年度第二學(xué)期高二質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)2024.7注意事項：1．考生要認(rèn)真填寫姓名和考號．2．本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），共150分，考試時間120分鐘．3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡的對應(yīng)位置，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結(jié)束后，考生應(yīng)將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回．第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求集合A，再結(jié)合交集運算求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選：A.2.等比數(shù)列，，，，……，則數(shù)列的第七項為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察等比數(shù)列的前幾項，確定該數(shù)列的首項和公比，由此確定第7項.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為，數(shù)列的公比為，由已知，，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，所以.故選：A.3.在二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A.20 B. C.80 D.【答案】D【解析】【分析】利用二項式的通項解決問題.【詳解】二項式的通項為，要使其常數(shù)，則，即，故常數(shù)項為.故選：D4.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，將代入導(dǎo)函數(shù)中計算即可.【詳解】由，得，所以.故選：B5.某次考試學(xué)生甲還有四道單選題不會做，假設(shè)每道題選對的概率均為，則四道題中恰好做對2道的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式列式計算即得.【詳解】依題意，四道題中恰好做對2道概率.故選：C6.2021年7月20日，公布了《中共中央、國務(wù)院關(guān)于優(yōu)化生育政策促進(jìn)人口長期均衡發(fā)展的決定》，決定實施一對夫妻可以生育三個子女的政策及配套的支持措施．假設(shè)生男、生女的概率相等，如果一對夫妻計劃生育三個小孩，在已經(jīng)生育了兩個男孩的情況下，第三個孩子是女孩的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列出前兩個孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.【詳解】這個家庭已經(jīng)有兩個男孩的下，計劃生育三個小孩的所有可能為（男男女）、（男男男），所以在已經(jīng)生育了兩個男孩的情況下，第三個孩子是女孩的概率為.故選：D7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象判斷即可.【詳解】設(shè)，，，則表示函數(shù)在點處的切線的斜率，則表示函數(shù)在點處的切線的斜率，表示，兩點連線的斜率，又在上單調(diào)遞增，且增長趨勢越來越快，則函數(shù)在點、的切線與過、的直線的草圖如下所示：由圖可知，所以.故選：C8.若是公比為的等比數(shù)列，其前項和為，，則“”是“單調(diào)遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)判斷“”和“單調(diào)遞增”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意可知是公比為的等比數(shù)列，當(dāng)，時，則，由于，，且隨n的增大而減小，故單調(diào)遞增，當(dāng)，時，也單調(diào)遞增，推不出，故“”是“單調(diào)遞增”充分而不必要條件，故選：A9.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則值分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得，得到關(guān)于的方程，再由得到關(guān)于的方程，解方程組可得結(jié)果.【詳解】由，得，因為曲線在點處的切線方程為，所以，，解得.故選：B10.若函數(shù)，則根據(jù)下列說法選出正確答案是（）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，有兩個極值點；③當(dāng)時，沒有最小值．A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系驗證各命題.【詳解】，設(shè)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則沒有最小值，①③正確；當(dāng)時，，即，設(shè)，由上面的研究可知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，，且，時，，所以此時方程有兩個解，即有兩個零點，所以有兩個極值點，②正確，所以正確答案是①②③.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)范圍，用導(dǎo)數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，極值點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的實根的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)圖象）．第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知等差數(shù)列的前項和，若，則________；前項和的最大值為______．【答案】①.②.16【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，利用即可求得，從而求得，從二次函數(shù)的角度思考，可求出的最大值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，當(dāng)時，的最大值為,故答案為：，16.12.若隨機(jī)變量X的分布列為（如表），X123則______；若隨機(jī)變量Y=2X+1，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=__________．（用數(shù)字作答）【答案】①.##0.5②.##【解析】【分析】利用概率和等于1以及數(shù)學(xué)期望的計算公式、性質(zhì)求解.【詳解】Y=2X+1.故答案為：；.13.若，則=______.【答案】32【解析】【分析】利用賦值法求解.【詳解】根據(jù)題意，，令，得，令，得，兩式相加得：，所以.故答案為：32.14.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經(jīng)過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形．例如圖（1）是一個邊長為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖（2），如此繼續(xù)下去，得到圖（3），則第三個圖形的邊數(shù)________；第個圖形的周長________．【答案】①.48②.【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，尋找規(guī)律，再利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】由題知，下個圖形的邊長是上一個圖形的，邊數(shù)是上一個圖形4倍，因為第1個圖形的邊數(shù)3，所以第2個圖形的邊數(shù)12，第3個圖形的邊數(shù)48.設(shè)第個圖形的周長為，則周長之間的關(guān)系為，所以數(shù)列是首先為3，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：48；.15.已知數(shù)列的通項公式，則下列各項說法正確的是________．(填寫所有正確選項的序號)①當(dāng)時，數(shù)列的前n項和；②若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則；③，數(shù)列的前n項積既有最大值又有最小值；④若恒成立，則．【答案】①④【解析】【分析】對于①，利用裂項相消求和法求解判斷，對于②，由求解的范圍，對于③，舉例判斷，對于④，由題意得，利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】對于①，當(dāng)時，，所以，所以，所以①正確，對于②，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，即，所以，所以，因為，所以，所以②錯誤，對于③，當(dāng)時，，則數(shù)列的前n項積沒有最大值，所以③錯誤，對于④，由，得，得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，所以，所以④正確.故答案為：①④三、解答題（本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16.某學(xué)校對食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010（1）用頻率估計概率，該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；（2）用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．【答案】（1）.（2）分布列見解析；期望為.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，計算該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的的頻率即可.（2）根據(jù)已知，利用超幾何分布計算公式、期望的計算公式求解.【小問1詳解】設(shè)“對食堂飯菜質(zhì)量滿意”為事件A．在200人中對飯菜質(zhì)量滿意的有130人，.【小問2詳解】分層抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人數(shù)X的所有可能為0，1，2---X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.17.已知等差數(shù)列的前項和為，且.（1）求等差數(shù)列的通項公式；（2）若各項均為正數(shù)的數(shù)列其前項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，設(shè)，求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前項和.條件①：；條件②：；條件③：且都有成立，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設(shè)出首項和公差，建立方程求解基本量，求出通項公式即可.（2）條件①利用數(shù)列前項和和通項公式的關(guān)系求出，再利用分組求和法求和即可，條件②利用等比數(shù)列的定義求出，再利用分組求和法求和即可，條件③設(shè)出首項和公比，求出，再利用分組求和法求和即可.【小問1詳解】已知等差數(shù)列中，滿足.設(shè)首項為，公差為，得到，解得，【小問2詳解】選條件①.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)的前項和為，.選條件②，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，，設(shè)的前項和為，.選條件③且都有成立，是等比數(shù)列，且設(shè)公比為，，，(負(fù)根舍去)，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，，設(shè)的前項和為，.18.設(shè)函數(shù)，（1）求曲線y=在點（0，）處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）若方程在有三個不同的根，求的取值范圍．【答案】（1）（2）最大值為10；最小值為（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程求解.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出區(qū)間端點處的函數(shù)值、極值進(jìn)行比較.（3）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及求出函數(shù)的極值、最值，把函數(shù)的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題.【小問1詳解】代入得到，即切點坐標(biāo)（0，1）由，得．-所以曲線y=在點（0，）處的切線方程為.【小問2詳解】由，得．令，得，解得或與在區(qū)間上的情況如下：-4-31（1，3）3

↗10↘↗10所以在區(qū)間上，當(dāng)x=-3或x=3時，最大值為10；當(dāng)x=1時，最小值為．【小問3詳解】若方程在上有三個不同的根，可得y=的圖象與直線y=有3個交點由（2）可知：-3（-3，1）1↗10↘↗又當(dāng)；當(dāng)所以時，方程有三個不同根．-19.為了了解高三學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，統(tǒng)計了他們的睡眠時間，得到以下數(shù)據(jù)（單位：小時）：男生組：5，5.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；女生組：5.5，6，6，6，6.5，7，7，8．用頻率估計概率，且每個學(xué)生的睡眠情況相互獨立．（1）世界衛(wèi)生組織建議青少年每天最佳睡眠時間應(yīng)保證在8-10（含8小時）小時，估計該校高三學(xué)生睡眠時間在最佳范圍的概率；（2）現(xiàn)從該校的男生和女生中分別隨機(jī)抽取1人，表示這2個人中睡眠時間在最佳范圍的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）原女生組睡眠時間的樣本方差為，若女生組中增加一個睡眠時間為6.5小時的女生，并記新得到的女生組睡眠時間的樣本方差為，寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為（3）【解析】【分析】（1）直接計算該校高三學(xué)生睡眠時間在最佳范圍的頻率；（2）的所有可能取值為0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；（3）直接判斷寫出與的大小關(guān)系．【小問1詳解】設(shè)“該校高三學(xué)生的睡眠時間在最佳范圍”為事件A，在隨機(jī)抽取的17人中有4人的睡眠時間在最佳范圍，所以；【小問2詳解】由題意，“從男生中隨機(jī)選出1人，其睡眠時間在最佳范圍”為事件B，則，“從女生中隨機(jī)選出1人，其睡眠時間在最佳范圍”為事件C，，由條件可知，的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為：012；【小問3詳解】．20.已知函數(shù)，其中（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)曲線在點處切線與直線垂直時，若函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方，則的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)和這兩種情況，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求出，設(shè)出切點坐標(biāo)，構(gòu)造函數(shù)，得到切點坐標(biāo)，進(jìn)而可得的取值范圍．【小問1詳解】因為，所以函數(shù)的定義域為當(dāng)時，對任意的恒成立，所以函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；-當(dāng)時，令，得舍負(fù)，—極小值所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．【小問2詳解】，曲線在點的切線與直線垂直，，是一條過原點的直線，假設(shè)直線與曲線相切，設(shè)切點坐標(biāo)，則所以，令則恒成立，在單調(diào)遞增，，所以有且僅有一解，即切點坐標(biāo)，當(dāng)直線與曲線相切時，切