函數的基本概念及其性質（解析式定義域值域）（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數學第六感；微信公眾號：數學三劍客；微信公眾號：ABC數學函數的基本概念（解析式，定義域，值域）近4年考情（2020-2024）考題統計考點分析考點要求2021年浙江卷：第12題，5分函數的解析式與定義域、值域問題是高考數學的必考內容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數的概念考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，函數的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現.高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數、定義域、值域及最值為主.(1)了解函數的含義，會求簡單函數的定義域和值域

(2)會根據不同的需要選擇恰當的方法(圖象法、列表法、解析法)表示函數

(3)了解簡單的分段函數，并會應用2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分2024年上海卷，第2題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）【題型1】函數的概念 2【題型2】同一函數的判斷 4【題型3】已知函數類型求函數的解析式（待定系數法求解析式） 5【題型4】建立方程組求解析式（方程思想） 6本號資料*全部來源于微信公眾*號：數學第六感【題型5】求嵌套函數的解析式（換元或配湊） 8【題型6】求具體函數的定義域 9【題型7】已知定義域求參數 11【題型8】抽象函數的定義域問題 13【題型9】分離常數法求值域 15【題型10】換元法求函數的值域 16【題型11】對勾函數值域問題 18【題型12】已知值域求參數范圍 19【題型13】分段函數及其應用 20模塊二核心題型模塊二核心題型·舉一反三【題型1】函數的概念一般地，設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x).下列關系中是函數關系的是（）A．等邊三角形的邊長和周長關系B．電腦的銷售額和利潤的關系C．玉米的產量和施肥量的關系D．日光燈的產量和單位生產成本關系【答案】A【解析】根據函數關系的定義可得，選項A中，當等邊三角形的邊長取一定的值時，周長有唯一且確定的值與其對應，所以等邊三角形的邊長和周長符合函數關系；其他選項中，兩個量之間沒有明確的對應關系，所以不是函數關系故選：A下列圖象中，表示函數關系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函數的概念即可求解.【詳解】根據函數的定義知，一個有唯一的對應，由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足.如圖所示，下列對應法則，其中是函數的個數為（）

A．B．C．D．本號資料全*部來源于微信公眾號：數學第六感【答案】A【解析】①②③這三個圖所示的對應法則都符合函數的定義，即A中每一個元素在對應法則下，在中都有唯一的元素與之對應，對于④⑤，A的每一個元素在中有個元素與之對應，∴不是A到的函數，對于⑥，A中的元素、在中沒有元素與之對應，∴不是A到的函數，綜上可知，是函數的個數為.故選：A.【鞏固練習1】下列圖象中，能表示函數y=fx圖象的是（

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【解題思路】根據函數的定義判斷可得出結論.【解答過程】解：∵一個x只能對應一個y，∴①③符合題意，本號資料全部來源于微信#公眾號：數學第六感對于②中，當x>0時，一個x對應兩個y，不符合函數的定義；對于④中，當x=0時，一個x對應兩個y，不符合函數的定義.【鞏固練習2】設集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數關系的有（

）A．3個B．2個C．1個D．0個【答案】C【分析】根據集合到集合的函數定義即可求解.【詳解】①中：因為在集合中當時，在中無元素與之對應，所以①不是；②中：對于集合中的任意一個數，在中都有唯一的數與之對應，所以②是；③中：對應元素，所以③不是；④中：當時，在中有兩個元素與之對應，所以④不是；因此只有②滿足題意【題型2】同一函數的判斷兩個函數相同需要滿足的條件是：1.定義域相同；2.解析式相同.（2024·重慶·二模）下列函數中，與y=x是相同的函數是A．y=x2 C．y=x2x【解題思路】求出各選項函數的定義域，并對解析式進行化簡，要求所選函數的定義域和解析式都與函數y=x的定義域和解析式一致，可得出正確的選項.【解答過程】對于A選項，函數y=x2=x定義域為對于B選項，函數y=lg10x=x的定義域為對于C選項，函數y=x2x的定義域為x對于D選項，y=x?12+1=x?1+1【鞏固練習1】（2024·山東·一模）下列各組函數中，表示同一函數的是()本號資料全部來源于*微信公眾號：數學第六感A．fB．fxC．fD．f【解題思路】根據同一函數的定義對四個選項中的兩個函數進行比較即可.【解答過程】選項A:函數fx的定義域是x>0，函數gx選項B:函數fx的定義域是x≠?2，函數gx選項C:函數fx的定義域是x≠kπ+π2選項D:函數fx和gx的定義域都是全體實數，且【鞏固練習2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列各組函數中，表示同一個函數的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【解題思路】分別求得函數的定義域和對應法則，結合同一函數的判定方法，逐項判定，即可求解.本號資料全部來源于微*信公*眾號：數學第六感【解答過程】對于A中，函數f(x)=x的定義域為R，函數g兩函數的定義域不同，不是同一函數；對于B中，函數f(x)=對于C中，函數f(x)=對于D中，函數f(x)=x的定義域為R，故選：C.【題型3】已知函數類型求函數的解析式（待定系數法求解析式）待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.若二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式【答案】；（2）m＜0【解答】解：，由f(0)＝1得c＝2，故．因為f(x＋1)－f(x)＝2x，所以即2ax＋a＋b＝2x，所以EQ\B\lc\{(\a\al(2a＝2,a＋b＝0))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－1))，所以【鞏固練習1】已知二次函數滿足，且.求的解析式【答案】【思路點撥】設，利用建立恒等式求解即可；【詳解】設二次函數（），因為，所以.由，得，得，所以，得，故.【鞏固練習2】已知函數f(x)=?x2?2x+3，則f(x+1)=【解題思路】代入函數解析式計算即可.【解答過程】解：因為f(x)=?x2?2x+3f(x+1)=?x故答案為：?x【鞏固練習3】（2024·廣東東莞·二模）已知函數f(x)=ax?b(a>0)，f(f(x))=4x?3，則f(2)=．【解題思路】利用直接代入法結合對應系數相等可得a,b的值，將2代入可得結果.【解答過程】由題意，得f(f(x))=f(ax?b)=a?(ax?b)?b=a2即a2=4ab+b=3a>0，解得a=2【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）已知關于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).（廣東深圳實驗?？迹┮阎瘮禎M足，且，則.【答案】【思路點撥】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.【鞏固練習1】（廣東廣雅中學校考）已知，則.【答案】【思路點撥】令，得到，進而求得函數的解析式.【詳解】令，則且，所以，所以函數的解析式為【鞏固練習2】若對任意實數，均有，求.【答案】.【解析】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.【鞏固練習3】已知定義在上的函數滿足，則函數的解析式.本號資料全部來源于微#信公眾號：數學第六感【答案】【思路點撥】根據已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因為，把換成有：，聯立，解得.【題型5】求嵌套函數的解析式（換元或配湊）換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.函數fx滿足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【解題思路】對fgx的式子適當變形，即可直接求出【解答過程】因為fg所以f3x+1=9x+3=3若函數，且，則等于（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】令，則，即故選：D.【鞏固練習1】已知函數f1?x=1?x2A．1x?12?1x≠0C．4x?12?1【解題思路】利用換元法令t=1?x，運算求解即可.【解答過程】令t=1?x，則x=1?t，且x≠0，則t≠1，可得ft所以fx【鞏固練習2】已知函數fx滿足：fx?1x=A．fx=xC．fx=x【解題思路】通過化簡即可得出函數的解析式.【解答過程】因為fx?1x=x【鞏固練習3】設函數，則的表達式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則可得所以，所以，故選：B【題型6】求具體函數的定義域求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.函數的定義域為________【答案】【解析】已知函數的定義域為，則函數的定義域為______【答案】【解析】由函數的定義域是，得到，故即，解得:；所以原函數的定義域是：.【鞏固練習1】函數fx=3?xA．?∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解題思路】由函數形式得到不等式組，解出即可.【解答過程】由題意得3?xx?1≥0x?1≠0，解得【鞏固練習2】函數的定義域為()A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2).【鞏固練習3】（2024·山東泰安·三模）已知函數fx=x2xA．?∞,1 B．?∞,?1C．?∞,?1∪?1,0 【解題思路】先求得函數fx【解答過程】因為fx=x2x?4x，所以所以函數fx?1x+1需滿足x?1<0且x+1≠0【題型7】已知定義域求參數函數定義域是研究函數的起點，常涉及到兩大問題：一是求函數定義域，二是已知函數的定義域求參數.一個帶參數的函數，已知函數值域求參數的問題，這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯系求參數的值，本質上是已知不等式的解集求參數值，解題時從不等式的角度入手比較容易.若函數f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解題思路】由題意可知kx2+kx+1>0【解答過程】函數f(x)=若k=0，則不等式為1>0若k≠0，則k>0Δ=綜上可知，實數k的取值范圍是0≤k若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【解析】的定義域是R，則恒成立，時，恒成立，時，則，解得，綜上，．故答案為：．【鞏固練習1】已知函數fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(?∞,1]∪[9,+∞【解題思路】利用題給條件列出關于m的不等式，解之即可求得實數m的取值范圍.【解答過程】由題意得mx2+(m?3)x+1≥0當m=0時，不等式可化為?3x+1≥0，其解集不是R，不符合題意；當m≠0時，由該不等式恒成立可得m>0m?32?4m≤0綜上，實數m的取值范圍是1≤m≤9【鞏固練習2】已知函數f(x)=a2?1x2+(a+1)x+1的定義域為A．?1,53 C．53,+∞【解題思路】分a=1、a=?1、a≠±1三種情況，結合二次函數的性質即可求解.【解答過程】當a=1時，f(x)=2x+1，則2x+1≥0，得x≥?12當a=?1時，f(x)=1，定義域為R，符合題意；當a≠±1時，由題意得關于x的不等式a2故a2?1>0Δ=(a+1)綜上，實數a的取值范圍是(?∞【鞏固練習3】已知函數fx的定義域x∣a2?4a<x<a2?8是關于xA．2+6,+∞ C．2,2+6 D．【解題思路】依題意解不等式即可.【解答過程】函數fx定義域非空集，則a2－4a＜記gx因為?2?a<?2?2=?4，所以gx>0的解集為依題意有a2?8≤?a?2或a2?4a≥2，所以a又a>2，a2+a>4+2=6，所以【題型8】抽象函數的定義域問題求抽象函數定義域的方法(1)若已知函數f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.總結：抽象函數的定義域的方法是：整體代換法（括號內取值范圍相同）.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數的定義域為，即，可得，∴函數的定義域為，令，解得，故函數的定義域為.已知函數的定義域是，則的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因為函數的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.已知函數的定義域為，則函數的定義域為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數的定義域是，故選：B．【鞏固練習1】已知函數的定義域為，則函數的定義域為________【答案】【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數的定義域為，即，可得，本號資料全部來源于微*信公眾號：數學第六感∴函數的定義域為，令，解得，故函數的定義域為.【鞏固練習2】已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，則定義域為，再利用，解出即可.【詳解】，則，的定義域為，所以，解得，故其定義域為【鞏固練習3】已知函數的定義域是，則函數的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以．故選：D【鞏固練習4】（2024·陜西西安·一模）若函數fx的定義域是[0，4]，則函數gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【解題思路】根據分式與fx【解答過程】要使函數有意義，依題意需有x≠00≤2x≤4解得，0<x≤2【題型9】分離常數法求值域一次分式函數：分離常數法+圖像法，形如的函數第一步：分離常數，將分子變?yōu)槌捣蛛x出常數和分子為常數的分式第二步：結合反比例函數的值域求函數的值域．函數的值域為________【答案】【詳解】因為，又因為，所以，所以函數的值域為．【鞏固練習1】（廣西南寧三中?？迹┤?，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】將函數變現為，結合反比例函數的性質計算可得.【詳解】因為，又因為，所以，所以，所以，所以函數，的值域為．【鞏固練習2】函數的值域為________【答案】【詳解】因為，又因為，所以，所以函數的值域為．【題型10】換元法求函數的值域求根式型函數值域：換元法形如的函數第一步：把函數中的根式設為一個變量t，并用t表示x，求出t的取值范圍．第二步：將所求關于x的函數變換為關于t的函數．第三步：求出y的取值范圍，即所求函數的值域．函數的值域是．【答案】【思路點撥】通過變量代換將函數轉化為二次函數，利用二次函數的圖象與性質分析運算即可得解.【詳解】解：由題意，函數的定義域為，令，則，，函數轉化為，，∵，對稱軸為，最大值為，∴當時，，即值域為，∴函數的值域是.【鞏固練習1】（湖南長沙·高一長郡中學校考）函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】設，化簡函數為，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】設，則，且，則函數可化為，所以函數的值域為【鞏固練習2】函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據換元法以及二次函數的性質求解結果.【詳解】令，則．設函數，當時，取最大值9．因為，所以．函數的值域為.【鞏固練習3】（2024·湖北·三模）函數y=x?4x?x2A．2?22,4 B．0,4 C．0,2+22【解題思路】由4x?x2?0，解得0?x?4．可得函數f(x)=y=x?4x?x【解答過程】解：因為y=x?由4x?x2?0可得函數y=f(x)=x?4x?x2又f'(x)=1?2?x令gx=4x?x2?(2?x)，則令4x?x2?(2?x)=0即f(x)在0,2?2上單調遞減，在2?所以x=2?2又f(2?2)=2?22，f(0)=0∴函數y=x?4x?x2【題型11】對勾函數值域問題對于對勾函數，是修訂的必修一教材新增的內容，在P92頁以探究的形式出現（看課本上好像也沒有叫對勾函數），可以通過圖像法或構造基本不等式來求值域求函數的值域．【答案】【分析】考慮到和函數的兩個和式的積為常數，故可利用基本不等式求其最值，從而得到函數的值域，注意討論x的正負．【詳解】解：當當且僅當x=1取等號，當當且僅當x=1取等號故函數的值域為(-∞，-2]U[2，+∞)求函數的值域．（1）（2）【答案】；【鞏固練習1】求函數的值域．【答案】【鞏固練習2】求函數的值域．（1）（2）【答案】；【題型12】已知值域求參數范圍這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯系求參數的值。這個例題中，可以通過判別式法求值域，將值域的范圍轉化為判別式一元二次不等式中y的范圍，進而利用根與系數的關系求得參數。1、雖然這類題型往往是已知值域，但在實際做題分析時，仍然從求值域的角度入手分析。2、辨析值域為R或零到正無窮、定義域為R之間的區(qū)別不要死記判別式的情況，因為內層函數不一定是二次函數，我們要get到的是：為了讓值域能達到XX，我們內層函數最初提供的范圍，只能多不能少，因為受定義域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不夠了。3、其他一般題型，我們建議多多嘗試數形結合。若函數的值域為，則實數m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據題意由二次函數值域利用判別式即可求得實數m的取值范圍.【詳解】因為函數的值域為，所以能取遍所有大于或等于零的實數，即方程在實數范圍內有解．所以，解得．（2023上·寧波·余姚中學高一?？迹┮阎瘮档闹涤驗?，則函數的定義域為________【答案】【思路點撥】首先求出函數的定義域，再利用抽象函數的定義域求解【詳解】由值域為，得，故，即的定義域為，令得，故的定義域為【鞏固練習1】（襄陽市第一中月考）已知函數的值域為，求實數k的取值范圍．【答案】【思路點撥】根據函數的值域為，可得是函數的值域的子集，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因為函數的值域為，所以是函數的值域的子集，當時，，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，.【鞏固練習2】（2023·山東省實驗中學校考）已知函數的定義域與值域均為，則實數的取值為（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【答案】A【思路點撥】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當時，取得最大值為，進而解得.【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，故函數的開口向下，，則方程的兩根為或，則，，即，則，當時，取得最大值為，即，解得：.【題型13】分段函數及其應用分段函數問題往往需要進行分類討論，根據分段函數在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數問題，分段解決．（2024·吉林長春·三模）已知函數f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，則A．1 B．2