切線問題綜合【11類題型】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學切線問題綜合近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2024年甲卷第6題，5分考察導數(shù)的幾何意義，切線的相關計算求值求參（1）求在某處的切線（2）設切點求過某點的切線以及公切線（3）利用切線的條數(shù)求參數(shù)范圍2024年新高考I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求在曲線上一點的切線【題型2】求過某點的切線【題型3】已知切線斜率求參數(shù)【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題【題型6】切線斜率取值范圍問題【題型7】公切線問題【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題【題型10】與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題【題型11】牛頓迭代法本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第#六感模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】求在曲線上一點的切線函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文））曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，故切線方程為，故切線的橫截距為，縱截距為，故切線與坐標軸圍成的面積為（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理））設函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.【鞏固練習1】已知曲線在點處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由得，所以直線的斜率，又，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.【鞏固練習2】（23-24高三·福建寧德·期末）已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線的幾何意義得，將代入切線方程得，從而得解.【詳解】由切線方程，得，將代入切線方程，得，所以，則.【題型2】求過某點的切線【方法技巧】設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切線共有（

）#本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學*第六感A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】利用導數(shù)求出斜率，結合斜率公式列方程求出切點坐標即可得解.【詳解】設切點為，由可得，則過坐標原點的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標原點的切線共有1條．（2022年新高考全國I卷T15）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.【鞏固練習1】已知直線是曲線的切線，則切點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對比系數(shù)即可求出切點坐標.【詳解】設切點坐標為，因為，所以在點處切線的斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，所以，解得，所以切點為.【鞏固練習2】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.【答案】【分析】求導，根據點斜式求解直線方程，即可代入求解.【詳解】因為，所以，所以在點處的切線方程為.又切線過原點，則，所以.【鞏固練習3】(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.【答案】.【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設點，則.又，當時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為.【鞏固練習4】（23-24高三·廣東·期中）過點作曲線的兩條切線，.設，的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值．【詳解】兩條切線，的傾斜角分別為，，根據題意，，若點是切點時，切線斜率為，若點是切點（點不重合），則，由，解得（舍去），所以直線斜率為，則．【題型3】已知切線斜率求參數(shù)已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知曲線在點處的切線的傾斜角為,則的值為.【答案】【分析】對原函數(shù)進行求導,代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構造關于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實數(shù)（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據切線的斜率的幾何意義可知，求出切點，代入切線即可求出.【詳解】設切點為因為切線，所以，解得（舍去）代入曲線得，所以切點為代入切線方程可得，解得.（2024·全國·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據兩切線重合,所以，解得.【鞏固練習1】（23-24高三·山西晉城·期末）過原點O作曲線的切線，其斜率為2，則實數(shù)（

）A．e B．2 C． D．【答案】D【分析】設出切點，求導，得切點處的切線方程，即可代入原點求解.【詳解】設切點，則，故切點處的切線方程為，故，將代入得，故，解得或，若，則，此時無解，故不符合題意，若，則，故，此時滿足題意【鞏固練習2】（2024·四川·模擬預測）已知，直線與曲線相切，則．【答案】2【解析】設切點坐標為，對函數(shù)求導得，則切線斜率，得，所以，且，則，即．【鞏固練習3】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函數(shù)與在處有相同的切線，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】對，求導，根據題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】因為，，則，，可得，，，，因為，在處有相同的切線，即切點為，切線斜率，所以，解得，所以.【鞏固練習4】（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=．【答案】3【分析】先設在上的切點，然后求出切點和切線，然后再設在上的切點，即可求出a的值.#本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【詳解】設直線l與曲線相切于點，本號資*料全#部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設l與曲線相切于點，由，得，即，因為是l與曲線的公共點，所以消去，得，即，解得．【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.（23-24高三·安徽·階段練習）已知是函數(shù)圖象上的任意一點，則點到直線的距離的最小值是（

）A． B．5 C．6 D．【答案】D【分析】結合導數(shù)的幾何意義轉化為點到直線距離求解即可．【詳解】設直線與直線平行，且與函數(shù)的圖象相切，設切點為，因為是單調遞增函數(shù)，直線的斜率為1，所以，解得，即切點為，所以點到直線的距離的最小值是點到直線的距離，即為．（23-24高三·廣東惠州·階段練習）已知點在函數(shù)的圖象上，則到直線的距離的最小值為．【答案】【分析】求導，設的坐標，根據平行關系得到切線斜率，進而得到，利用點到直線距離公式求出答案.【詳解】由，可得，又點在曲線上，設，則過點和平行的切線的斜率為3，令，則，，點與直線的最小距離為．【鞏固練習1】（23-24高三·河南南陽·階段練習）點P是曲線上一個動點，則點P到直線的距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意分析可知，則點P到直線的距離的最小值即為點到直線的距離，運算求解即可.【詳解】因為的定義域為，且，令，解得，則，可得點，且點到直線的距離，所以點P到直線的距離的最小值是.【鞏固練習2】（23-24高三·河北石家莊·階段練習）曲線上的點到直線的最短距離是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】令求得，由導數(shù)的幾何意義知在點的切線斜率為3，然后利用點到線距離公式求出最小距離.【詳解】直線的斜率為，所以，令得，，將代入可得，則在點的切線斜率為，所以切點到直線的距離為：.【鞏固練習3】（23-24高三·河南·階段練習）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關曲線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學知識來解答:若點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值為.【答案】【分析】將函數(shù)求導，然后令導數(shù)為，即可求得點的坐標，再由點到直線的距離公式代入計算，即可得到結果.【詳解】對函數(shù)求導可得，其中直線的斜率為2，則令，即，解得或（舍），當時，，則曲線上一點到直線的距離最小，由點到直線的距離公式可得最小值為.【鞏固練習4】（2024·山西朔州·模擬預測）已知A，B分別為曲線和直線上的點，則的最小值為.【答案】/【分析】利用數(shù)形結合思想可知切點到直線的距離是最小值，從而利用導數(shù)來求出切點，再用點到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】由題意的最小值為曲線上點A到直線距離的最小值，而點A就是曲線與直線相切的切點，因為曲線上其它點到直線的距離都大于，對求導有，由可得，即，故.

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).已知為奇函數(shù)，且當時，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【解析】由題設，當時，，故時，，所以，而，故切線方程為，即．故答案為：（2024·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則曲線在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的性質求出當時函數(shù)的解析式，然后求導，利用導數(shù)的幾何意義進行求解即可.本號資料全部來源于微信公*眾號：數(shù)學第六感【詳解】當時，，函數(shù)是偶函數(shù)，本號資*料全部來源于微*信公眾號：數(shù)學第六感當時，，，當時，，，即曲線在處切線的斜率為-5.而，所以曲線在處的切線方程為：.所求即為.（2024·湖北·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點處的切線方程為，記的導函數(shù)為，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先推導出偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)，再根據條件得到，再利用奇函數(shù)的的性質求.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，兩邊求導，可得.又在處的切線方程為：，所以.所以.【鞏固練習1】已知是奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出當時的解析式，然后利用導數(shù)求出處的切線斜率，以及切點坐標，從而求出切線方程.【詳解】當時，，，是奇函數(shù),，，，,切點為，切線方程為．切線方程為．【鞏固練習2】（23-24高三·河南洛陽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為，記的導函數(shù)為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)可知為偶函數(shù)，結合導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為在點處的切線方程為，.又兩邊求導得：，即為偶函數(shù)，【鞏固練習3】（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的性質求出的解析式，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則當時，，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程是，即.【鞏固練習4】（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據函數(shù)對稱性求出時的解析式，利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱，則，當時，，，，則，，即曲線在點處切線的斜率為2.【鞏固練習5】（23-24高三·廣東深圳·期中）已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，得到且，根據題意，得到與相切于，且，再由為偶函數(shù)，求得，且，進而求得切線方程.【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，因為函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，所以函數(shù)與相切于，且，又因為為偶函數(shù)，所以，且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即．【題型6】切線斜率取值范圍問題利用導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.一般地，直線的斜率與傾斜角的關系是：直線都有傾斜角，但不一定都有斜率點P在曲線上移動，設點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，則，又，所以（2021·河南洛陽·二模）已知點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是.【答案】【分析】求出導函數(shù)的值域后可得切線的斜率的范圍，根據斜率與傾斜角的關系可求的取值范圍.【詳解】∵，∴，∴，∵，∴過點的切線的傾斜角的取值范圍是，故答案為：.【鞏固練習1】過函數(shù)圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，因為，所以，即切線的斜率，設切線的傾斜角為，則又因為，所以或，即切線的傾斜角的范圍為.【鞏固練習2】（22-23高三·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導，求出導函數(shù)的值域，再根據導數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，所以點處切線的斜率的取值范圍為，即，又，所以角的范圍是.【題型7】公切線問題公切線問題應根據兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解．本號資#*料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感公切線問題主要有以下3類題型（1）求2個函數(shù)的公切線解題方法：設2個切點坐標，利用切線斜率相同得到3個相等的式子，聯(lián)立求解（2）2個函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程，再轉化為方程有解問題（3）已知兩個函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程，再轉化為方程解的個數(shù)問題(浙江紹興二模T15)與曲線和都相切的直線方程為__________.【答案】【詳解】設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求得單調性和最值，即可求得的取值范圍.【詳解】兩個函數(shù)求導分別為，設，圖象上的切點分別為，，則過這兩點處的切線方程分別為，，則，，所以，設，，，令，所以，所以在上單調遞增，且，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，.（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設曲線切點為，的切點為，求出切線方程，根據有兩條公切線轉化為方程具有兩個解，構造函數(shù)利用導數(shù)求解取值范圍，判斷選項.【詳解】設曲線切點為，的切點為，則曲線在點處的切線方程為，即，同理，在點處的切線方程為，根據與有兩條公切線，則，所以，化簡可得具有兩個交點，轉化為有兩個解，構造函數(shù)，則，當，，單調遞增；當，，單調遞減，故在時有極大值即為最大值，故，當時，，當時，，故的取值范圍為【鞏固練習1】（23-24高三·江西吉安·期末）函數(shù)與函數(shù)公切線的斜率為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先設切點分別為，并通過點斜式方程寫出兩條切線方程，根據公切線方程得，最后計算值即可.【詳解】設切點分別為，且導數(shù)為，所以切斜方程為既為，也為，所以，且，所以，所以或，所以公切線的斜率為或.【鞏固練習2】已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.【答案】2【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.本號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學第六感【詳解】設是圖像上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.【鞏固練習3】已知直線與曲線和均相切，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為___________.本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感【答案】2【分析】由基本初等函數(shù)的導數(shù)及其的幾何意義解得直線的解析式即可求得結果.【詳解】由已知得的導函數(shù)分別為：，設上的切點分別為，則有：，解之得：，故：，與坐標軸交點分別為，圍成的三角形面積為：.本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學第六感【鞏固練習4】已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最大值為__________．本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學第六感【答案】【分析】根據導數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點處的導數(shù)，和切線相同即可判斷.【詳解】，假設兩曲線在同一點處相切，則，可得，即，因為函數(shù)單調遞增，且時，所以，則，此時兩曲線在處相切，根據曲線的變化趨勢，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點，不存在公切線，所以的最大值為.【鞏固練習5】（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1【答案】A【分析】設直線的方程為，先根據直線和圓相切算出，再由導數(shù)的幾何意義算出.【詳解】依題意得，設直線的方程為，即，由直線和圓相切可得，，解得，當時，和相切，，設切點為，根據導數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得.即時，；當時，和相切，，設切點為，根據導數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得.本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)學第六感即時，.綜上所述，或.【鞏固練習6】(長沙雅禮中學月考（六）)已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則的取值范圍是________【答案】

【解析】設直線與函數(shù)的切點為，由，所以，解得，所以切點為，所以，解得，即切線方程為，設直線與函數(shù)的切點為，則，解得，即，設切線方程為，且與的切點為，與的切點為則，，整理可得，，所以，整理可得，設，則，設，則，所以在為增函數(shù)，又因為，所以在上，即，所以單調遞減；在上，即，所以單調遞增，所以，即，解得.【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值，有多少個解對應有多少條切線．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】【解析】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是（2024·河南信陽·模擬預測）若過點僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學第六感【答案】【分析】設切點為：，根據切線過點，得到，令，再根據過點僅可作曲線的兩條切線，由與的圖象有兩個交點求解.【詳解】設切點為：，，所以切線方程為，又因為切線過點，所以，即，令，則，令，得或，當或時，，當時，，，當時，則，且；當時，則，所以的圖象如圖所示：因為過點僅可作曲線的兩條切線，所以與的圖象有兩個交點，則或.（2024屆廣東省六校高三第一次聯(lián)考T8）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是________【答案】【解析】首先設過點的切線方程，切點，利用導數(shù)的幾何意義列式，轉化為有三個解，通過設函數(shù)，問題轉化為與有三個交點，求的取值范圍.【詳解】設過點的直線為，，設切點為，則，得有三個解，令，，當，得或，，得，所以在，單調遞增，單調遞減，又，，有三個解，得，即.【鞏固練習1】（23-24高三·湖北武漢·階段練習）已知過點可以作曲線的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設切點為，表示出切線方程，根據題意可得方程有兩個不同的根，由此可得a的范圍．【詳解】設切點為，∴切線的斜率，∴切線方程是，∵切線過點A（a，0），∴，即，∵過點A（a，0）可以作兩條切線，∴方程有兩個不同的根，∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．【鞏固練習2】(2024屆·廣州中山大學附屬中學?？?過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設切點坐標為，即可得到切線方程，依題意關于的方程有兩個不同的解、，利用韋達定理計算可得.【詳解】因為，所以，設切點坐標為，所以，所以切線方程為，所以，即，依題意關于的方程有兩個不同的解、，即關于的方程有兩個不同的解、【鞏固練習2】（2024·寧夏銀川·二模）已知點不在函數(shù)的圖象上，且過點僅有一條直線與的圖象相切，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據直線和曲線相切得到，結合導數(shù)及函數(shù)零點的個數(shù)可得答案.【詳解】點不在函數(shù)的圖象上，則，即，設過點的直線與的圖象相切于，則切線的斜率，整理可得，則問題可轉化為只有一個零點，且，令，可得或，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，即當時，有極大值，當時，有極小值，要使僅有一個零點，或【鞏固練習3】（2024·內蒙古·三模）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（

）本號資*料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】C【分析】設出切點，求導，利用導數(shù)幾何意義求出切線方程，代入，得到，構造，求導，得到函數(shù)單調性，從而得到，結合當時，，當時，，從而得到答案.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導，得，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得.令，則.當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，且當時，，當時，，又直線與曲線的圖象有兩個交點，所以的取值范圍為.【鞏固練習4】已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】求出曲線的導函數(shù)，得到的表達式，構造新函數(shù)，得出單調性，即可求出點的軌跡長度.【詳解】由題意，設點，過點的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∵若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.【鞏固練習5】若曲線有三條過點的切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據導數(shù)的幾何意義求出過點的切線方程為，利用方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)的關系將問題轉化為圖象與直線在R上有3個交點，結合導數(shù)求出函數(shù)的極值，根據數(shù)形結合的思想即可求解.【詳解】設該切線的切點為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點，則，整理得.要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，設，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調遞增，在和上單調遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當時，函數(shù)圖象與直線在R上有3個交點，即過點的切線有3條.【鞏固練習6】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設切點坐標為，，切線斜率，在點處的切線方程為：；切線過點，，過點可以作曲線的兩條切線，令，則與有兩個不同交點，，當時，，在上單調遞增，不合題意；本*號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)學第六感當時，若，則；若，則；在上單調遞減，在上單調遞增，，，即，又，.【鞏固練習7】（2024高三·遼寧本溪·期中）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設切點點，寫出切線方程，將點代入切線方程得，此方程有兩個不同的解，利用導數(shù)求b的范圍.【詳解】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以.設，所以，所以當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，所以，所以，當時，，所以，當時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題利用導數(shù)的幾何意義進行轉化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉化為函數(shù)在兩點處的導數(shù)相等，得到的關系，在結合不等式求的取值范圍即可.【詳解】因為，.所以，.由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當時，.故B成立.已知函數(shù)若對任意，曲線在點和處的切線互相平行或重合，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求得，根據題意轉化為為偶函數(shù)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為曲線在點和處的切線互相平行或重合，可得為偶函數(shù)，所以，解得.（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為.【答案】【分析】設公共點為，即可得到，再由導數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設公共點為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；【鞏固練習1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在點處的切線都與直線垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意知有兩個不相等的正實數(shù)根，結合一元二次方程根的分布即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】由題意知，因為切線與直線垂直，所以曲線在點處的切線斜率都是，即關于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，化簡得，有兩個不相等的正實數(shù)根，則，解得.【鞏固練習2】（23-24高三·遼寧·階段練習）已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與直線平行，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導，問題轉化為有兩個不同的根，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合單調性和最值可得結果.【詳解】因為，則，令，整理得，設，則，時，；時，；可知在上單調遞減，在上單調遞增，則，當趨近于時，趨近于0，當趨近于時，趨近于，由題意可知：有兩個不同的解，即與的圖像有兩個不同的交點，則，解得，令，則，可知，即切點坐標為，則切線方程為，代入點可得：，解得，且，所以實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習3】（2024·河南·三模）已知函數(shù)點，在曲線上（在第一象限），過，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點，則的最小值為．【答案】【分析】利用給定條件得到，再把目標式化為一元函數(shù)，求導研究最值即可.【詳解】易知，設，則，設切線斜率為，則，所以，設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以的最小值為，所以的最小值為．【鞏固練習4】（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為.【答案】(答案不唯一)【分析】利用導數(shù)的幾何意義，結合條件可知，，再根據函數(shù)的取值，即可求解.【詳解】，由題意可知，，即，所以，得，，，或，得，，，所以，，,所以的一個取值為.【題型10】與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題利用導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，從而求出相關式子的取值范圍.（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】設切點坐標為．由已知，得，則，解得．又切點在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．【鞏固練習1】（2024·重慶·模擬預測）已知直線與曲線相切于點，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，∴．又∵切點在直線上，∴，解得．∴．令，則，，令，解得：；令，解得：；可得在上單調遞增，在上單調遞減，時，，時，，當趨近負無窮時，趨近，；，故的取值范圍為．【鞏固練習2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設直線與曲線切于點，根據題意由在直線上方，由求解.【詳解】解：設直線與曲線切于點，則，所以切線方程為，所以，，所以，設，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.【鞏固練習3】已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．【答案】【解析】設切點為，，所以切線的斜率，則切線方程為，即，故，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，即的最小值為.【鞏固練習3】對給定的實數(shù)，總存在兩個實數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【答案】【解析】由得，設切點坐標為，則，消去可得，所以，令，則，當1時，單調遞增；當時，令，則，所以在區(qū)間上單調遞減，因為，所以當時，，即單調遞增.因為當趨近于0時，趨近于負無窮大，當從1左邊趨近于1時，趨近于正無窮大，當從1右邊趨近于1時，趨近于負無窮大，當趨近于正無窮大時，趨近于0，作出的大致圖象，所以若對給定的實數(shù)，總存在兩個實數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.【題型11】牛頓迭代法數(shù)形結合處