高中數(shù)學(xué)《系統(tǒng)抽樣》導(dǎo)學(xué)案

2.1.2系統(tǒng)抽樣

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.系統(tǒng)抽樣的概念

先將總體中的個體逐一編號，畫然后按號碼順序以一定的間隔進行抽取,

先從第一個間隔中畫一隨機地抽取一個號碼，然后畫一逐個抽取的號碼依次增加

間隔數(shù)，即得到所求樣本.

2.系統(tǒng)抽樣的步驟

假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為〃的樣本，步驟為：

R自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)總體個數(shù)較多時可以用系統(tǒng)抽樣法.()

(2)整個系統(tǒng)抽樣過程中，每個個體被抽到的機會可能不相等.()

(3)用系統(tǒng)抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，要平均

分成〃段，每段各有十N個號碼.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做

(1)在一次抽樣活動中，采取系統(tǒng)抽樣的方法，若第一組抽取的是2號，第二

組抽取的是12號，則第三組抽取的是()

A.21號B.22號C.23號D.24號

答案B

解析:.第一組抽取的是2號，第二組抽取的是12號，...組距為10,故第

三組抽取的是2+10X2=22號，故選B.

(2)(教材改編P59T3)校團委會把全校同學(xué)中學(xué)號末位是0的同學(xué)召集起來，

開座談會，這是運用了抽樣.

答案系統(tǒng)

解析結(jié)合抽樣的特征可知，該抽樣為系統(tǒng)抽樣.

(3)某校高中三年級有1242名學(xué)生，為了了解他們的身體狀況，準備按1：

40的比例抽取一個樣本，那么隨機剔除名學(xué)生.

答案2

解析為了保證每名學(xué)生被抽到的可能性相等，必須是隨機剔除學(xué)生，由于

竊124的2余數(shù)是2,所以要隨機剔除2名學(xué)生.

卜課堂互動探究

探究1對系統(tǒng)抽樣概念的理解

例1(1)某商場欲通過檢查部分發(fā)票及銷售記錄來快速估計每月的銷售金

額，采用如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機抽一張，如15號，然后按順序?qū)?/p>

65號，115號，165號，…，發(fā)票上的銷售金額組成一個調(diào)查樣本.這種抽取樣

本的方法是()

A.抽簽法B.隨機數(shù)法

C.系統(tǒng)抽樣法D.以上都不對

(2)為了解1200名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量

為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔左=.

［答案］(1)C⑵40

［解析］(1)上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50張，從第一組

抽出了15號，以后各組抽15+50〃(“?N*)號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.

(2)根據(jù)樣本容量為30,將1200名學(xué)生分為30段，每段人數(shù)即間隔左=器

=40.

拓展提升

應(yīng)用系統(tǒng)抽樣的前提條件

(1)個體較多且均衡的總體.

(2)當總體容量較大，樣本容量也較大時，適宜用系統(tǒng)抽樣.

【跟蹤訓(xùn)練1】某影院有40排座位，每排有46個座位，一個報告會上坐

滿了聽眾，會后留下座位號為20的所有聽眾進行座談，這是運用了()

A.抽簽法B.隨機數(shù)表法

C.系統(tǒng)抽樣法D.放回抽樣法

答案C

解析此抽樣方法將座位分成40組，每組46個個體，會后留下座位號為20

的相當于第一組抽20號，以后各組抽取20+46”，符合系統(tǒng)抽樣特點.

探究2系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用

例2為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，擬從參加考

試的15000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取容量為150的樣本.請用系統(tǒng)抽樣寫出抽取

過程.

［解］(1)對全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行編號：1,2,3,…，15000.

(2)分段：由于樣本容量與總體容量的比是1：100,所以我們將總體平均分

為150個部分，其中每一部分包含100個個體.

(3)在第一部分即1號到100號用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是56.

(4)以56作為起始數(shù)，然后順次抽取156,256,356,…，14956,這樣就得到

一個容量為150的樣本.

拓展提升

當總體容量能被樣本容量整除時，分段間隔左=￡;當用系統(tǒng)抽樣抽取樣本

時，通常是將起始數(shù)s加上間隔左得到第2個個體編號(s+左)，再加左得到第3

個個體編號(s+24)，依次進行下去，直到獲取整個樣本.

【跟蹤訓(xùn)練21某電視機廠每天生產(chǎn)1000臺電視機，要求質(zhì)檢員每天抽

取30臺檢查其質(zhì)量狀況，請你設(shè)計一個抽取方案.

解我們可采用系統(tǒng)抽樣，方案如下：

第一步，由于1000=33X30+10,所以先用簡單隨機抽樣的方法從總體中

抽取10臺電視機，不進行檢驗.

第二步，將剩下的電視機進行編號，編號分別為0,1,2,…，989,并將其按

編號的先后順序分為30組，每組33臺電視機.

第三步，從第1組(編號為0,1,2,3,…，32)的電視機中按照簡單隨機抽樣的

方法抽取1臺電視機，記其編號為左

第四步，按順序抽取編號分別為左+33,左+66,左+99,…，左+29X33的電

視機，這樣總共抽取了30臺電視機，對這30臺電視機進行質(zhì)量狀況檢查.

探究3系統(tǒng)抽樣的設(shè)計

例3某校高中二年級有253名學(xué)生，為了了解他們的視力情況，準備按1：

5的比例抽取一個樣本，試用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，并寫出過程.

［解］(1)先把這253名學(xué)生編號000,001,…，252；

(2)用隨機數(shù)法任取出3個號，從總體中剔除與這三個號對應(yīng)的學(xué)生；

(3)把余下的250名學(xué)生重新編號1,2,3,…，250；

(4)分段.取分段間隔左=5,將總體均分成50段，每段含5名學(xué)生；

(5)從第一段即1?5號中用簡單隨機抽樣抽取一個號作為起始號，如/；

(6)從后面各段中依次取出/+5,Z+10,/+15,…，/+245這49個號.這樣

就按1：5的比例抽取了一個樣本容量為50的樣本.

拓展提升

(1)當總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個

體.但要注意的是剔除過程必須是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機

會均等.剔除幾個個體后使總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.

(2)剔除個體后需對樣本重新編號.

(3)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號

便隨之確定了.

【跟蹤訓(xùn)練3］為了解參加某種知識競賽的1010名學(xué)生的成績，從中抽

取一個容量為50的樣本，那么采用什么抽樣方法比較恰當？簡述抽樣過程.

解適宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過程如下：

(1)隨機地將這1010名學(xué)生編號為1,2,3,…，1010.

(2)用隨機數(shù)表法任取出10個號，從總體中剔除與這10個號對應(yīng)的學(xué)生.

(3)把余下的1000名學(xué)生重新編號1,2,3,…，1000.

(4)分段.取分段間隔左=20,將總體均分成50段.每段含20名學(xué)生.

(5)以第一段即1?20號中隨機抽取一個號作為起始號，如s.

(6)從后面各段中依次取出s+20,5+40,s+60,…，s+980這49個號.

這樣就抽取了一個樣本容量為50的樣本.

<------------------------------------------1逑堂提外?-------------------------

1.系統(tǒng)抽樣的特征

(1)當總體容量N較大時，適宜采用系統(tǒng)抽樣.

(2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，

因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這里的間隔一般為左=［加.

(3)在第一部分的抽樣采用簡單隨機抽樣.

(4)每個個體被抽到的可能性相等.

2.系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的關(guān)系及優(yōu)缺點

(1)系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的關(guān)系：

①系統(tǒng)抽樣在將總體中的個體均分后的第一段進行抽樣時，采用的是簡單

隨機抽樣.

②兩種抽樣，每個個體被抽到的可能性都是一樣的.

(2)系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的優(yōu)缺點：

①當總體的個體數(shù)較大時，用系統(tǒng)抽樣比用簡單隨機抽樣更易實施，更節(jié)

約成本.

②系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣應(yīng)用范圍更廣.

③系統(tǒng)抽樣所得到的樣本的代表性和個體的編號有關(guān)，而簡單隨機抽樣所

得到的樣本的代表性與編號無關(guān)，如果編號的特征隨編號的變化呈一定的周期

性，可能造成系統(tǒng)抽樣的代表性很差.

卜隨堂達標自測

1.為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為

40的樣本，則分段的間隔為()

A.50B.40C.25D.20

答案C

解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，可知分段間隔為曙=25.

2.某校高一(1)班共有40人，學(xué)號依次為1,2,3,…，40,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的

方法抽取一個容量為5的樣本，若學(xué)號為2,10,18,34的同學(xué)在樣本中，則還有一

個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為()

A.27B.26C.25D.24

答案B

解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知，抽取樣本的號碼具備等距離性...IO—2

=8,.*.18+8=26,即另外一個同學(xué)的學(xué)號為26.故選B.

3.要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，用系統(tǒng)抽樣法將160名學(xué)生從

1?160編號.按編號順序平均分成20組（1?8號，9?16號，…，153?160號），

若第16組應(yīng)抽出的號碼為125,則第一組中按抽簽方法確定的號碼是（）

A.7B.5C.4D.3

答案B

解析因為是系統(tǒng)抽樣，設(shè)第一組確定的號碼為k,則第16組確定的號碼

為人+15X8=125,所以第一組確定的號碼是125—15X8=5.

4.某公司有52名員工，要從中抽取10名員工參加國慶聯(lián)歡活動，若采用

系統(tǒng)抽樣，則該公司每個員工被抽到的機會是.

答案靠

20

解析采用系統(tǒng)抽樣，需先剔除2名員工，確定間隔k=5,但每名員工被剔

除的機會相等，即每名員工被抽到的機會也相等，故雖然剔除了2名員工，但這

52名員工中每名員工被抽到的機會仍相等，且均為吃=5.

5.某學(xué)校三年級共有36個班，每班50人,學(xué)號為1?50,有一次學(xué)校對

學(xué)生進行問卷調(diào)查，了解學(xué)生對教學(xué)工作的意見，需選取36名學(xué)生，怎樣的抽

樣方法較為合理？

解采用系統(tǒng)抽樣較合理.設(shè)每班一組，共36組，編號為1?36組，先在

第一組用簡單隨機抽樣抽出一名學(xué)生，再將其他各組與此學(xué)生學(xué)號相同的學(xué)生全

部抽出.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.中央電視臺“動畫城節(jié)目”為了對本周的熱心小觀眾給予獎勵，要從已

確定編號的一萬名小觀眾中抽出十名幸運小觀眾.現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取,

每組容量為（）

A.10B.100C.1000D.10000

答案C

解析由系統(tǒng)抽樣的特點知每組抽取一個，故每組容量為端1000,選

c.

2.某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊，要求檢驗員每小時抽取40冊

圖書，檢查其質(zhì)量狀況，我們采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔為（）

A.8B.9C.9.5D.10

答案B

解析：362不能夠被40整除，

，先剔除2個，剩余360個.

7360-40=9,，抽樣的間隔為9,故選B.

3.有20個同學(xué)，編號為1?20,現(xiàn)在從中抽取4人的作文卷進行調(diào)查，用

系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為（）

A.5,10,15,20B.2,6,10,14

C.2,4,6,8D.5,8,11,14

答案A

解析將20個同學(xué)分成4個組，每組5個號，間距為5.

4.總體容量為524,若采用系統(tǒng)抽樣，下列的抽取間隔不需要剔除個體的是

（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析因為5學(xué)24=131,所以當間隔為4時，不需要剔除個體.

5.用系統(tǒng)抽樣的方法從個體為1003的總體中，抽取一個容量為50的樣本，

則在整個抽樣過程中每個個體被抽到的可能性是（）

11501

A-1000B-1003C-1003D20

答案C

解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法可知，每個個體入樣的可能性相同，均為玄，雖

然抽樣過程中剔除3個個體，但在剔除個體時采用的是簡單隨機抽樣，每個個體

被抽到的可能性相等，所以每個個體入樣的可能性是濫.

二、填空題

6.從編號為0,1,2,…，89的90件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量

是9的樣本.若編號為36的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號為

答案86

解析樣本間隔為90+9=10,設(shè)第一個編號為x,

因為編號為36的產(chǎn)品在樣本中，所以36=3X10+x.則第一個編號為6,則

最大的編號為6+8X10=86.

7.某單位有職工72人，現(xiàn)需用系統(tǒng)抽樣法從中抽取一個樣本，若樣本容量

為n,則不需要剔除個體，若樣本容量為n+1,則需剔除2個個體，則n=

（只填序號）.

答案4或6或9

解析由題意知〃為72的約數(shù)，n+1為70的約數(shù)，其中72的約數(shù)有

1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,其中加1后能整除70的有1,4,6,9,其中n=l不符

合題意，故冏=4或6或9.

8.一個總體中的80個個體的編號為0,1,2,…，79,并依次將其分為8個

組，組號為0,1,…，7,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，即規(guī)定先

在第0組隨機抽取一個號碼，記為3依次錯位地得到后面各組的號碼，即在第

女組中抽取個位數(shù)字為，+左（當z+RlO時）或，+左一10（當葉左三10時）的號碼.當

7=6時，所抽到的8個號碼是.

答案6,17,28,39,40,51,62,73

解析由題意得，在第1組抽取的號碼的個位數(shù)字是6+1=7,故應(yīng)選17；

在第2組抽取的號碼的個位數(shù)字是6+2=8,故應(yīng)選28；依此類推，應(yīng)選

39,40,51,62,73.

三、解答題

9.某裝訂廠平均每小時裝訂圖書362冊，要求檢驗員每小時抽取4