2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.）1.已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗，復(fù)數(shù)和是實(shí)數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，知，，又因?yàn)?，所以，即，則．故選：B．3.正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，不妨設(shè)，則，因?yàn)樵谡睦庵?，，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成角，在中，，，則，由余弦定理得.故選：C.4.已知向量，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，且，則，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，即，所以，因?yàn)?，則.故選：D.5.兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線，它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個(gè)圓錐的體積之比為.故選：A.6.兩不共線的向量，，滿足，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，，，，即，，，，，，即.故選：C.7.三內(nèi)角，，所對(duì)邊分別是，，.若，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，則，，所以，而，則，且，又，當(dāng)時(shí)的最大值為.故選：C.8.已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)，可將四面體補(bǔ)全為如下長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為，所以，四面體外接球即為長(zhǎng)方體外接球，則半徑，由題意，四面體的四個(gè)側(cè)面均為全等三角形，，為三角形內(nèi)角，所以，則，又，且，所以，即，綜上，.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20分.）9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn)若復(fù)數(shù)滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，即，所以，則，所以的虛部為，故A正確；則，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C錯(cuò)誤；滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，且，則，故D正確.故選：ABD.10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C.直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，D錯(cuò).故選：AC.11.如圖，在三棱錐中，，，E為AB中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.面面B.二面角的平面角是C.三棱推體積（其中為的面積）D.若三棱錐存在外接球，則球心可能為點(diǎn)E〖答案〗ABC〖解析〗在三棱錐中，，，E為中點(diǎn)，則，因此是二面角的平面角，B正確；而平面，于是平面，又平面，因此平面平面，A正確；顯然，C正確；在中，，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離不全相等，因此點(diǎn)不可能是三棱錐外接球的球心，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6C.若角A的平分線AD交BC于D，且AD＝2，則D.若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，又，可得，又，故，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，又，由正弦定理得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，則的最大值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槿羰堑慕瞧椒志€，且，故，而，所以，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確.對(duì)于D，由題意可得，所以，則，又因?yàn)?，所以，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.若，，則在上投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)向量，的夾角為，則在上投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有成立，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，因?yàn)?，若使得最小，則函數(shù)的最小正周期取最大值，且函數(shù)最小正周期最大值為，故的最小值為，則的最小值為.故〖答案〗為：.15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E在棱上且滿足，點(diǎn)F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，并連接、、，因?yàn)镋在棱上且滿足，即E是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡即為，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，由勾股定理有：.故〖答案〗為：.16.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知AC，BD為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，且，若，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：，所以，即，在中，，故，由題意可知：，則，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取得，又，所以，則，則實(shí)數(shù)的最小值為.故〖答案〗：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.）17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求角C的大小；（2）若，且的面積為，求邊長(zhǎng)c．解：（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，則．（2）∵的面積為，則，∴根據(jù)題意得，則或，∵，∴，由余弦定理可得，即．18.已知.（1）化簡(jiǎn)求值；（2）若，且，求．解：（1）原式，由可得，，∴，∴.（2）由和，解得，又∵，∴，，∴，∴．19.已知．（1）時(shí)，求的值域；（2）把曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變．再把得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若是R上的偶函數(shù)，求的值．解：（1），∵，即，則值域?yàn)?（2）由題可知，∵是偶函數(shù)，∴，，∴，，由∵∴或.20.如圖①在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)在線段上．（1）求的最小值；（2）以四邊形為底面做四棱錐如圖②，使平面，且，求證：平面平面．解：（1）動(dòng)點(diǎn)在線段上，可設(shè)，且，∴，，∴，∴，∴時(shí)，取最小值.（2）取的中點(diǎn)連接，是三角形的中位線，∴，，又由（1）得，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴，又∵，且為中點(diǎn)，∴，又，平面，∴平面，又，∴平面，又∵平面，∴平面平面.21.在如圖所示的七面體中，底面為正方形，，，面．已知，．（1）設(shè)平面平面，證明：平面；（2）若二面角的正切值為，求四棱錐的體積．解：（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，因?yàn)槠矫鍭BFE，平面ABEF，所以平面ABFE，因?yàn)槠矫鍳CD，平面平面，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以平面ABCD．（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槊妫妫?，因?yàn)檎叫危?，因?yàn)槠矫妫云矫?，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則為二面角的平面角，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，又，故四邊形為矩形，所以，由面，得面，則，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所?22.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若的外接圓的半徑為r，求的最小值．解：（1）因?yàn)椋?，∴，∴，或，整理得，或，①?dāng)，∵，∴即，此時(shí)，與題意不符，舍去；②當(dāng)，因?yàn)?，所?（2）由（1）知：，所以，，而，即有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.）1.已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗，復(fù)數(shù)和是實(shí)數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，知，，又因?yàn)?，所以，即，則．故選：B．3.正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，不妨設(shè)，則，因?yàn)樵谡睦庵校?，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成角，在中，，，則，由余弦定理得.故選：C.4.已知向量，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，且，則，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，即，所以，因?yàn)?，則.故選：D.5.兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)的母線，它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個(gè)圓錐的體積之比為.故選：A.6.兩不共線的向量，，滿足，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：，，，，即，，，，，，即.故選：C.7.三內(nèi)角，，所對(duì)邊分別是，，.若，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，則，，所以，而，則，且，又，當(dāng)時(shí)的最大值為.故選：C.8.已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)，可將四面體補(bǔ)全為如下長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為，所以，四面體外接球即為長(zhǎng)方體外接球，則半徑，由題意，四面體的四個(gè)側(cè)面均為全等三角形，，為三角形內(nèi)角，所以，則，又，且，所以，即，綜上，.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20分.）9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn)若復(fù)數(shù)滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，即，所以，則，所以的虛部為，故A正確；則，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故C錯(cuò)誤；滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，且，則，故D正確.故選：ABD.10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C.直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，D錯(cuò).故選：AC.11.如圖，在三棱錐中，，，E為AB中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.面面B.二面角的平面角是C.三棱推體積（其中為的面積）D.若三棱錐存在外接球，則球心可能為點(diǎn)E〖答案〗ABC〖解析〗在三棱錐中，，，E為中點(diǎn)，則，因此是二面角的平面角，B正確；而平面，于是平面，又平面，因此平面平面，A正確；顯然，C正確；在中，，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離不全相等，因此點(diǎn)不可能是三棱錐外接球的球心，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6C.若角A的平分線AD交BC于D，且AD＝2，則D.若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，又，可得，又，故，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，又，由正弦定理得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，則的最大值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槿羰堑慕瞧椒志€，且，故，而，所以，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確.對(duì)于D，由題意可得，所以，則，又因?yàn)椋?，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.若，，則在上投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)向量，的夾角為，則在上投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有成立，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，因?yàn)?，若使得最小，則函數(shù)的最小正周期取最大值，且函數(shù)最小正周期最大值為，故的最小值為，則的最小值為.故〖答案〗為：.15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E在棱上且滿足，點(diǎn)F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，并連接、、，因?yàn)镋在棱上且滿足，即E是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡即為，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，由勾股定理有：.故〖答案〗為：.16.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知AC，BD為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，且，若，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：，所以，即，在中，，故，由題意可知：，則，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)取得，又，所以，則，則實(shí)數(shù)的最小值為.故〖答案〗：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.）17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求角C的大?。唬?）若，且的面積為，求邊長(zhǎng)c．解：（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，則．（2）∵的面積為，則，∴根據(jù)題意得，則或，∵，∴，由余弦定理可得，即．18.已知.（1）化簡(jiǎn)求值；（2）若，且，求．解：（1）原式，由可得，，∴，∴.（2）由和，解得，又∵，∴，，∴，∴．19.已知．（1