2023-2024學(xué)年福建省福州市閩江口協(xié)作體高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市閩江口協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊第一、二、三章，選擇性必修三第六章、第七章7.1-7.3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.2.小五和小明兩人從4門課程中各選修1門，則小五和小明所選的課程的選法共有（）A.8種 B.12種 C.16種 D.18種〖答案〗C〖解析〗∵小五和小明兩人從4門課程中各選修1門，∴由乘法原理可得小五、小明所選的課程的選法有4×4=16（種）．故選:C3.下列敘述中，是離散型隨機變量的是（）A.某電子元件的壽命B.高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)C.某人早晨在車站等出租車的時間D.測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差〖答案〗B〖解析〗某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．故選：B．4.已知一個直角三角形的面積為16，則該三角形周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)三角形的兩條直角邊長為、，可得，三角形周長為，當且僅當時取等號．故選：C5.已知函數(shù)在上的值域為，則在上的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)在上值域為，令，所以在上的取值范圍為，又是奇函數(shù)，所以在上的值域為，所以在上的值域為．故選:B．6.已知，則“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則的常數(shù)項為；若的二項展開式中存在常數(shù)項，設(shè)二項式的通項為，且存在常數(shù)項，則，，為整數(shù)，所以能被4整除.所以“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的充分不必要條件.故選：A.7.隨機變量的分布列如下，且，則（）012A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得解得．故選:C．8.將編號為1，2，3，4，5，6的小球放入編號為1，2，3，4，5，6的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有3個小球與所在盒子編號相同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得任意放球共有種方法，如果有3個小球與所在的盒子的編號相同，第一步：先從6個小球里選3個編號與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設(shè)編號相同的小球選的是1、2、3號球，編號為4，5，6小球的編號與盒子的編號都不相同，則有兩種，所以有3個小球與所在的盒子的編號相同，共有種方法．由古典概型的概率公式得恰有3個小球與所在盒子編號相同的概率為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在的展開式中，下列命題正確的是（）A.偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32 B.第3項的二項式系數(shù)最大C.常數(shù)項為60 D.有理項的個數(shù)為3〖答案〗AC〖解析〗偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A正確；根據(jù)二項式，當時的值最大，即第4項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤，令，，∴，故C正確；為整數(shù)時，，故有理項的個數(shù)為4，故D錯誤.故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.已知是奇函數(shù)，則有B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是C.定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)D.已知在上是增函數(shù)，若，則有〖答案〗CD〖解析〗奇函數(shù)不一定過，故A錯誤；，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，，故B錯誤；如果是定義在上的偶函數(shù)，則，因為，∴不是偶函數(shù)，故C正確；在上是增函數(shù)，若，即，，所以，，所以，即，故D正確．故選：CD．11.若，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，A正確；因為，，所以，B錯誤；因此，，C正確；從而．D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，等6人排成一列，則在的前面的排法種數(shù)是________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗360〖解析〗依題意在的前面的排法有種．故〖答案〗為：13.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，．若，則的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗當時，，故在上單調(diào)遞增．函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．因，由f3+m+f3m-7>0，可得又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得．故〖答案〗為：.14.已知，若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)解，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗由于，，則不等式的解為，由于恰有3個解，其中，于是3個解為，則要求，解出，綜上，．故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某學(xué)校政治組有4名男教師和3名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）4名男教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）3名女教師互不相鄰坐法有多少種？解：（1）根據(jù)題意，先將4名男教師排在一起，有種坐法，將排好的男教師視為一個整體，與3名女教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有24×24=576種坐法．（2）根據(jù)題意，先將4名男教師排好，有種坐法，再在這4名男教師之間及兩頭的5個空位中插入3名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有60×24=1440種坐法．16.（1）已知，求值：；（2）解方程：．解：（1）∵，∴，解得或（舍），因為，所以，原式；（2）因為，所以，化簡可得，同時，解得．17.已知在二項式的展開式中，第三項的系數(shù)是第二項的系數(shù)的倍．（1）求正整數(shù)的值；（2）若展開式中各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，求的值；（3）求系數(shù)最大的項．解：（1）由題意得，二項式的展開式的通項為，，第三項的系數(shù)是，第二項的系數(shù)是又由第三項的系數(shù)是第二項的系數(shù)的倍，有，解得；（2）對于二項式，令，即得展開式中各項系數(shù)之和為，可得，展開式的二項式系數(shù)之和為，可得，可得；（3）展開式的通項為，，則整理得，即而，∴，所以系數(shù)最大的項為．18.已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)，都有，且當時，．（1）求的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并證明；（3）若，求的取值范圍．解：（1）令，得，解得；（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，若，即，所以解得或，即的取值范圍是．19.已知不透明的袋子中裝有7個大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個白球，5個黑球，從中無放回地隨機取球，每次取一個．（1）求前兩次取出的球顏色相同的概率；（2）當白球被全部取出時，停止取球，記取球次數(shù)為隨機變量，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件A為“前兩次取出的球顏色相同”，設(shè)事件B為“第一次取黑球，第二次取黑球”，則，事件C為“第一次取白球，第二次取白球”，則，因為事件B與C互斥，所以，所以前兩次取出的球顏色相同的概率為；（2）依題意，的取值為2，3，4，5，6，7，，，，，，，所以的分布列為234567所以.福建省福州市閩江口協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊第一、二、三章，選擇性必修三第六章、第七章7.1-7.3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.2.小五和小明兩人從4門課程中各選修1門，則小五和小明所選的課程的選法共有（）A.8種 B.12種 C.16種 D.18種〖答案〗C〖解析〗∵小五和小明兩人從4門課程中各選修1門，∴由乘法原理可得小五、小明所選的課程的選法有4×4=16（種）．故選:C3.下列敘述中，是離散型隨機變量的是（）A.某電子元件的壽命B.高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)C.某人早晨在車站等出租車的時間D.測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差〖答案〗B〖解析〗某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量．故選：B．4.已知一個直角三角形的面積為16，則該三角形周長的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)三角形的兩條直角邊長為、，可得，三角形周長為，當且僅當時取等號．故選：C5.已知函數(shù)在上的值域為，則在上的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)在上值域為，令，所以在上的取值范圍為，又是奇函數(shù)，所以在上的值域為，所以在上的值域為．故選:B．6.已知，則“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則的常數(shù)項為；若的二項展開式中存在常數(shù)項，設(shè)二項式的通項為，且存在常數(shù)項，則，，為整數(shù)，所以能被4整除.所以“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的充分不必要條件.故選：A.7.隨機變量的分布列如下，且，則（）012A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得解得．故選:C．8.將編號為1，2，3，4，5，6的小球放入編號為1，2，3，4，5，6的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有3個小球與所在盒子編號相同的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得任意放球共有種方法，如果有3個小球與所在的盒子的編號相同，第一步：先從6個小球里選3個編號與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設(shè)編號相同的小球選的是1、2、3號球，編號為4，5，6小球的編號與盒子的編號都不相同，則有兩種，所以有3個小球與所在的盒子的編號相同，共有種方法．由古典概型的概率公式得恰有3個小球與所在盒子編號相同的概率為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在的展開式中，下列命題正確的是（）A.偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32 B.第3項的二項式系數(shù)最大C.常數(shù)項為60 D.有理項的個數(shù)為3〖答案〗AC〖解析〗偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A正確；根據(jù)二項式，當時的值最大，即第4項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤，令，，∴，故C正確；為整數(shù)時，，故有理項的個數(shù)為4，故D錯誤.故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.已知是奇函數(shù)，則有B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是C.定義在上的函數(shù)，若，則不是偶函數(shù)D.已知在上是增函數(shù)，若，則有〖答案〗CD〖解析〗奇函數(shù)不一定過，故A錯誤；，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，，故B錯誤；如果是定義在上的偶函數(shù)，則，因為，∴不是偶函數(shù)，故C正確；在上是增函數(shù)，若，即，，所以，，所以，即，故D正確．故選：CD．11.若，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以，A正確；因為，，所以，B錯誤；因此，，C正確；從而．D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，等6人排成一列，則在的前面的排法種數(shù)是________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗360〖解析〗依題意在的前面的排法有種．故〖答案〗為：13.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，．若，則的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗當時，，故在上單調(diào)遞增．函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域為的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．因，由f3+m+f3m-7>0，可得又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得．故〖答案〗為：.14.已知，若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個整數(shù)解，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗由于，，則不等式的解為，由于恰有3個解，其中，于是3個解為，則要求，解出，綜上，．故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某學(xué)校政治組有4名男教師和3名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）4名男教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）3名女教師互不相鄰坐法有多少種？解：（1）根據(jù)題意，先將4名男教師排在一起，有種坐法，將排好的男教師視為一個整體，與3名女教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有24×24=576種坐法．（2）根據(jù)題意，先將4名男教師排好，有種坐法，再在這4名男教師之間及兩頭的5個空位中插入3名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有60×24=1440種坐法．16.（1）已知，求值：；（2）解方程：．解：（1）∵，∴，解得或（舍），因