1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

空間向量及其線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一

空間向量及有關(guān)概念大小方向有向線段名稱定義表示空間向量在空間,具有

和

的量

①幾何表示法:空間向量用

表示;

②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,也可記作;③圖形表示法:大小長(zhǎng)度|a|

名稱定義表示向量的模(長(zhǎng)度)空間向量a的

,也就是表示向量a的有向線段AB的

或

零向量長(zhǎng)度為

的向量

單位向量模為

的向量

相反向量與向量a

相等而方向

的向量

向量a的相反向量是

001長(zhǎng)度相反-a重合方向相等向量名稱定義表示共線(平行)向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或

,那么這些向量叫作共線向量或平行向量

相等向量

相同且模相等的向量叫作相等向量.

在空間,同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或

規(guī)定:零向量與任意向量

,即對(duì)于任意向量a,都有

.

平行0∥a

√×√

[解析]

模為1的向量稱為單位向量,顯然單位向量不唯一.[解析]

向量是一個(gè)“量”,而不是一個(gè)“數(shù)”,所以不能比較大小.(4)若向量a與b都是單位向量,則a=b. (

)(5)在空間中,互為相反向量的兩個(gè)向量必共線. (

)×√[解析]

向量a與b都是單位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a與b不一定相等.[解析]

模相等,且方向相反的向量為相反向量,顯然,互為相反向量的兩個(gè)向量必共線.知識(shí)點(diǎn)二

空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的自由性任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,這樣任意兩個(gè)

的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為

的運(yùn)算.

空間向量平面向量2.空間向量的線性運(yùn)算和三角形平行四邊形b+aa+(b+c)運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量

的運(yùn)算

法則

法則

(1)加法交換律:a+b=

;

(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=

相反向量三角形a+(-b)運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的

法則

a-b=

向量數(shù)乘運(yùn)算λa|λ||a|相同運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

,這種運(yùn)算叫作向量的

,記作

(1)|λa|=

.

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向

;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向

;當(dāng)λ=0時(shí),λa=

(1)對(duì)向量加法的分配律:λ(a+b)=

;

(2)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律:(λ+μ)a=

相反0λa+λbλa+μa

√√

體對(duì)角線3.空間向量的加、減法運(yùn)算與平面向量的加、減法運(yùn)算是否相同?平面向量加、減法的運(yùn)算律在空間向量中還適用嗎?解:因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi),所以任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算,由此可知,空間向量的加、減法運(yùn)算與平面向量的加、減法運(yùn)算相同.平面向量加、減法的運(yùn)算律在空間向量中同樣適用.知識(shí)點(diǎn)三

空間向量共線與共面的充要條件1.空間兩向量共線的充要條件對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使

.

2.空間直線的確定(1)直線的方向向量的定義在直線l上取

,把與向量a

的非零向量稱為直線l的方向向量.

(2)空間直線的確定空間直線可以由其上一點(diǎn)和它的

確定.

a=λb非零向量a平行方向向量

平行重合

平行于平面α在平面α內(nèi)共面向量p=xa+yb圖1-1-1

√×√[解析]

若p=xa+yb,則p與a,b一定共面.[解析]

當(dāng)a,b共線,而p與a,b不共線時(shí),p=xa+yb是不成立的.

×

2.一條直線的方向向量有多少個(gè)?解:根據(jù)直線方向向量的定義可知,一條直線有無數(shù)個(gè)方向向量.1.空間向量的概念(1)兩向量的關(guān)系:空間向量是具有大小和方向的量,兩個(gè)向量之間只有等與不等之分,但不能比較大小,向量的模能比較大小.(2)有向線段與向量:向量可用有向線段來表示,但是有向線段不是向量,它只是向量的一種表示方法.(3)相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.(4)向量的平移:任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量.2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)含義:λa是實(shí)數(shù)λ與向量a的數(shù)乘運(yùn)算.(2)λ的作用:λ的正負(fù)影響著向量λa的方向,λ的絕對(duì)值影響著向量λa的長(zhǎng)度.(3)a的作用:向量λa與向量a一定是共線向量.3.共線向量(1)類比理解:空間共線向量與平面共線向量的定義從本質(zhì)上是一樣的,平面共線向量的結(jié)論在空間共線向量中仍然成立.(2)共線向量與直線平行的區(qū)別:直線平行一般不包括兩直線重合的情況,若a,b是兩個(gè)共線向量,即a∥b,則說明表示向量a,b的有向線段所在直線既可以是同一條直線,也可以是兩條平行直線.(3)方向向量的個(gè)數(shù):直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè),它們的方向相同或相反.4.共面向量對(duì)共面向量的兩點(diǎn)說明(1)對(duì)共面向量的理解:共面向量是指與同一個(gè)平面平行的向量,可將共面向量平移到同一個(gè)平面內(nèi).(2)由向量的“自由性”可知,空間任意的兩個(gè)向量都是共面的.

探究點(diǎn)一

空間向量的有關(guān)概念及應(yīng)用D

[解析](1)A中,若向量a,b平行,則a,b所在的直線平行或重合,故A錯(cuò)誤;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長(zhǎng)度相等,而方向不確定,故B錯(cuò)誤;C中,向量作為矢量不能比較大小,故C錯(cuò)誤.故選D.

8

CD

[素養(yǎng)小結(jié)]解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn):(1)關(guān)鍵點(diǎn):緊緊抓住向量的兩個(gè)要素,即大小和方向.(2)注意點(diǎn):①零向量不是沒有方向,它的方向是任意的.②單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個(gè)向量相等,則它們不僅模相等,而且方向相同.若兩個(gè)向量的模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?探究點(diǎn)二

空間向量的線性運(yùn)算

C

圖1-1-4

ABD

圖1-1-5

圖1-1-6

[素養(yǎng)小結(jié)]空間向量線性運(yùn)算的技巧:(1)向量加、減法的三角形法則是解決空間向量加、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量的方向,必要時(shí)可對(duì)空間向量自由平移進(jìn)而獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.(3)利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則或平行四邊形法則將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.探究點(diǎn)三

空間向量的共線、共面問題

A

(2)若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的k的值為

.

1.空間向量的運(yùn)算類似于平面向量的運(yùn)算.向量加法運(yùn)算的技巧是“首尾相接”,結(jié)果為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn);向量減法運(yùn)算的技巧是“起點(diǎn)相同”,結(jié)果為減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

2.在利用空間向量解決三點(diǎn)共線問題時(shí),通常先通過線性運(yùn)算表示兩個(gè)向量,然后通過判斷兩個(gè)向量是否共線得到結(jié)論.例2如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點(diǎn),N在AC上,且AN∶NC=2∶1,E為BM的中點(diǎn)