第三節(jié)圓的方程課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第三節(jié)圓的方程1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)

準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.方程

x

2＋

y

2＋

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0表示圓，則

a

的取值范圍是

（

）A.（－∞，－2）B.

（－

，0）C.（－2，0）D.

（－2，

）

2.圓

C

：

x

2＋

y

2－2

x

＋6

y

＝0的圓心坐標(biāo)為

；半徑

r

＝

?.

3.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓（

x

－

m

）2＋（

y

＋

m

）2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)

m

的

取值范圍為

?.

（1，－3）

4.若圓的方程為

x

2＋

y

2＋

kx

＋2

y

＋

k

2＝0，則當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓

心坐標(biāo)為

?.

（0，－1）5.（2024·徐州模擬）已知圓經(jīng)過點(diǎn)（3，0）和（1，－2），圓心在

直線

x

＋2

y

－1＝0上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.

（

x

－1）2＋

y

2＝4

1.以

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為（

x

－

x1）（

x

－

x

2）＋（

y

－

y

1）（

y

－

y

2）＝0.2.圓心在任一弦的垂直平分線上.

1.以

A

（3，－1），

B

（－2，2）為直徑的圓的方程是（

）A.

x

2＋

y

2－

x

－

y

－8＝0B.

x

2＋

y

2－

x

－

y

－9＝0C.

x

2＋

y

2＋

x

＋

y

－8＝0D.

x

2＋

y

2＋

x

＋

y

－9＝0解析：

由結(jié)論1得，圓的方程為（

x

－3）（

x

＋2）＋（

y

＋1）

（

y

－2）＝0，整理得

x

2＋

y

2－

x

－

y

－8＝0，故選A.2.點(diǎn)

M

，

N

是圓

x

2＋

y

2＋

kx

＋2

y

－4＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)

M

，

N

關(guān)于直線

x

－

y

＋1＝0對(duì)稱，則該圓的半徑等于（

）A.2

B.

C.3D.9

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練求圓的方程1.圓心在

y

軸上，半徑長(zhǎng)為1，且過點(diǎn)

A

（1，2）的圓的方程是（

）A.

x

2＋（

y

－2）2＝1B.

x

2＋（

y

＋2）2＝1C.（

x

－1）2＋（

y

－3）2＝1D.

x

2＋（

y

－3）2＝4解析：

根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為

x

2＋（

y

－

b

）2＝1，因?yàn)閳A過

點(diǎn)

A

（1，2），所以12＋（2－

b

）2＝1，解得

b

＝2，所以所求圓的

方程為

x

2＋（

y

－2）2＝1.2.已知圓

C

的圓心坐標(biāo)是（0，

m

），若直線2

x

－

y

＋3＝0與圓

C

相切

于點(diǎn)

A

（2，7），則圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.

x

2＋（

y

－8）2＝53.（2024·全國甲卷14題）設(shè)點(diǎn)

M

在直線2

x

＋

y

－1＝0上，點(diǎn)（3，

0）和（0，1）均在☉

M

上，則☉

M

的方程為

?

?.

（

x

－1）2＋（

y

＋

1）2＝5

∴☉

M

的方程為

x

2＋

y

2－2

x

＋2

y

－3＝0，即（

x

－1）2＋（

y

＋1）2

＝5.

練后悟通求圓的方程的兩種方法與圓有關(guān)的軌跡問題【例1】

（1）點(diǎn)

M

與兩個(gè)定點(diǎn)

O

（0，0），

P

（2，0）的距離的比

為3∶1，則點(diǎn)

M

的軌跡方程為

?；

（2）已知Rt△

ABC

的斜邊為

AB

，且

A

（－1，0），

B

（3，0），則

直角頂點(diǎn)

C

的軌跡方程為

?.

（

x

－1）2＋

y

2＝4（

y

≠0）

解題技法求解與圓有關(guān)的軌跡（方程）的方法（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；（2）定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；（4）代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系

式求解.提醒

要注意題目設(shè)問是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡還是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

1.過圓

C

：（

x

－3）2＋（

y

＋4）2＝4外一點(diǎn)

P

（

x

，

y

）引該圓的一

條切線，切點(diǎn)為

Q

，

PQ

的長(zhǎng)度等于點(diǎn)

P

到原點(diǎn)

O

的距離，則點(diǎn)

P

的

軌跡方程為（

）A.8

x

－6

y

－21＝0B.8

x

＋6

y

－21＝0C.6

x

＋8

y

－21＝0D.6

x

－8

y

－21＝0解析：

由題意得，圓心

C

的坐標(biāo)為（3，－4），

半徑

r

＝2，如圖.因?yàn)椋?/p>

PQ

｜＝｜

PO

｜，且

PQ

⊥

CQ

，所以｜

PO

｜2＋

r

2＝｜

PC

｜2，所以

x

2＋

y

2＋4

＝（

x

－3）2＋（

y

＋4）2，即6

x

－8

y

－21＝0，所

以點(diǎn)

P

的軌跡方程為6

x

－8

y

－21＝0.2.（2024·煙臺(tái)一模）若長(zhǎng)為10的線段的兩個(gè)端點(diǎn)

A

，

B

分別在

x

軸和

y

軸上滑動(dòng)，則線段

AB

的中點(diǎn)

M

的軌跡為

?

?.

以（0，0）為圓心，5為

半徑的圓與圓有關(guān)的最值問題技法1

利用幾何性質(zhì)求最值【例2】

（2024·紹興一模）已知點(diǎn)（

x

，

y

）在圓（

x

－2）2＋（

y

＋3）2＝1上.

（2）求

x

＋

y

的最大值和最小值；

解題技法與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法技法2

利用對(duì)稱性求最值【例3】

（2024·衡水聯(lián)考）已知

A

（0，2），點(diǎn)

P

在直線

x

＋

y

＋2

＝0上，點(diǎn)

Q

在圓

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

＝0上，則｜

PA

｜＋｜

PQ

｜的

最小值是

?.

解題技法

求解形如｜

PM

｜＋｜

PN

｜（其中

M

，

N

均為動(dòng)點(diǎn)）且與圓

C

上

動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：（1）“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；（2）“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之

和，一般要通過對(duì)稱性解決.

12

解題技法

根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)或基本不等式

的性質(zhì)求最值.

1.（2024·全國乙卷11題）已知實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

－4＝

0，則

x

－

y

的最大值是（

）A.1＋

B.4C.1＋3

D.7

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)

P

（

x

，

y

）滿足

x

2＋

y

2－｜

x

｜－｜

y

｜＝0，

O

為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則｜

PO

｜的最大值是

?.

PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.設(shè)

a

∈R，則“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圓”的

（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圓，則有

D

2＋

E

2－4

F

＝

a

2＋4－8＞0，解得

a

＞2或

a

＜－2，則“

a

＞2”是“

a

＞2或

a

＜－2”的充分不必要條件，所以“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－

2

y

＋2＝0表示圓”的充分不必要條件.故選A.2.（2024·宿遷模擬）圓

x

2＋

y

2＋4

x

－1＝0關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A.

x

2＋

y

2－4

x

－1＝0B.

x

2＋（

y

－2）2＝5C.

x

2＋

y

2＋8

x

＋15＝0D.（

x

－2）2＋

y

2＝5

3.點(diǎn)

A

為圓（

x

－1）2＋

y

2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，

PA

是圓的切線，｜

PA

｜＝

1，則點(diǎn)

P

的軌跡方程是（

）A.（

x

－1）2＋

y

2＝4B.

（

x

－1）2＋

y

2＝2C.

y

2＝2

x

D.

y

2＝－2

x

4.（2024·蘭州模擬）若點(diǎn)（

a

＋1，

a

－1）在圓

x

2＋

y

2－2

ay

－4＝0

的內(nèi)部，則

a

的取值范圍是（

）A.

a

＞1B.0＜

a

＜1C.－1＜

a

＜

D.

a

＜1

5.（多選）已知△

ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)為

A

（－1，2），

B

（2，1），

C

（3，4），則下列關(guān)于△

ABC

的外接圓圓

M

的說法正確的是（

）A.圓

M

的圓心坐標(biāo)為（1，3）B.圓

M

的半徑為

C.圓

M

關(guān)于直線

x

＋

y

＝0對(duì)稱D.點(diǎn)（2，3）在圓

M

內(nèi)

6.（多選）已知圓

M

：

x

2＋

y

2－4

x

－1＝0，點(diǎn)

P

（

x

，

y

）是圓

M

上

的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A.圓

M

關(guān)于直線

x

＋3

y

－2＝0對(duì)稱B.直線

x

＋

y

＝0與

M

相交，弦長(zhǎng)為

C.

t

＝

的最大值為

D.

x

2＋

y

2的最小值為9－4

[30，42]

（1）求圓心為

C

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)

P

在圓

C

上，點(diǎn)

Q

在直線

x

－

y

＋5＝0上，求｜

PQ

｜的最

小值.

A.（0，2]B.

[1，2]C.[2，3]D.

[1，3]

A.－5－2

B.

－5－4

C.－6－2

D.

－6－4

11.（多選）設(shè)有一組圓

Ck

：（

x

－

k

）2＋（

y

－

k

）2＝4（

k

∈R），

下列命題正確的是（

）A.不論

k

如何變化，圓心

C

始終在一條直線上B.所有圓

Ck

均不經(jīng)過點(diǎn)（3，0）C.經(jīng)過點(diǎn)（2，2）的圓

Ck

有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為4π解析：

圓心坐標(biāo)為（

k

，

k

），在直線

y

＝

x

上，A正確；令

（3－

k

）2＋（0－

k

）2＝4，化簡(jiǎn)得2

k

2－6

k

＋5＝0，∵Δ＝36－

40＝－4＜0，∴2

k

2－6

k

＋5＝0無實(shí)數(shù)根，B正確；由（2－

k

）2

＋（2－

k

）2＝4，化簡(jiǎn)得

k

2－4

k

＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有

兩個(gè)不相等實(shí)根，∴經(jīng)過點(diǎn)（2，2）的圓

Ck

有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由

圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確.

A.點(diǎn)

P

的軌跡方程為（

x

－3）2＋

y

2＝8B.△

PAB

面積最大時(shí)，｜

PA

｜＝2

C.∠

PAB

最大時(shí)，｜

PA

｜＝2

D.點(diǎn)

P

到直線

AC

的距離的最小值為

3

14.已知點(diǎn)

P

（2，2），圓

C

：

x

2＋

y

2－8

y

＝0，過點(diǎn)

P

的動(dòng)直線

l

與

圓

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，線段

AB

的中點(diǎn)為

M

，

O

為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求點(diǎn)

M

的軌跡方程；

解：圓

C

：

x

2＋（

y

－4）2＝42，故圓心為

C

（0，4），半徑為4.（2）當(dāng)｜

OP

｜＝｜

OM

｜時(shí)，求

l

的方程及△

POM

的面積.

15.太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到樓觀臺(tái)、三

茅宮標(biāo)記物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功到武術(shù)……，太極圖無

不躍然其上.這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一

起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.在如圖所示的陰陽魚圖案中