1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算 導(dǎo)學(xué)案正文

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.類(lèi)比平面向量,能直接獲得空間向量的概念,以及零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量的概念.2.結(jié)合立體幾何與空間向量的特征,知道共面向量的概念.3.在平面向量的基礎(chǔ)上,能應(yīng)用平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行空間向量的加減運(yùn)算.4.類(lèi)比平面向量,能進(jìn)行空間向量的數(shù)乘運(yùn)算.◆知識(shí)點(diǎn)一空間向量及有關(guān)概念1.在空間,把具有和的量叫作空間向量,空間向量的大小叫作空間向量的或.

空間向量用字母a,b,c,…表示,也用有向線段表示,有向線段的表示空間向量的模,向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作AB,其模記為或.

2.幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫作,記為0

單位向量的向量叫作單位向量

相反向量與向量a長(zhǎng)度而方向的向量,叫作a的相反向量,記為

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.

規(guī)定:零向量與任意向量,即對(duì)于任意向量a,都有0a

相等向量方向且模的向量叫作相等向量.在空間,且的有向線段表示同一向量或相等向量

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)零向量是沒(méi)有方向的. ()(2)兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)必相同. ()(3)空間中方向相反的兩個(gè)向量是相反向量.()(4)平面內(nèi)所有單位向量都是相等的. ()◆知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的自由性任意兩個(gè)空間向量都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量,這樣任意兩個(gè)的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為的運(yùn)算.

2.空間向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量的運(yùn)算

法則

法則

(1)加法交換律:a+b=;

(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=

減法減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的

法則

a-b=

數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè),這種運(yùn)算叫作向量的,記作

(1)|λa|=.

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向;當(dāng)λ=0時(shí),λa=

(1)對(duì)向量加法的分配律:λ(a+b)=;

(2)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律:(λ+μ)a=

【診斷分析】1.判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)AB-DA+AA'=AB+AD+AA'. ((2)有限個(gè)向量求和,交換相加向量的順序,其和不變. ()(3)若λ∈R,則λ(a+b)=λa+λb. ()2.空間向量的加、減法運(yùn)算與平面向量的加、減法運(yùn)算是否相同?平面向量加、減法的運(yùn)算律在空間向量中還適用嗎?◆知識(shí)點(diǎn)三空間向量共線與共面的充要條件1.空間兩向量共線的充要條件對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使.

2.空間直線的確定(1)直線的方向向量的定義在直線l上取,把與向量a的非零向量稱(chēng)為直線l的方向向量.

(2)空間直線的確定空間直線可以由其上一點(diǎn)和它的確定.

3.共面向量的定義(1)向量與直線平行如果表示向量a的有向線段OA所在的直線OA與直線l或,那么稱(chēng)向量a平行于直線l.

(2)向量與平面平行如果表示向量a的有向線段OA所在的直線OA或,那么稱(chēng)向量a平行于平面α.

(3)共面向量平行于同一個(gè)平面的向量,叫作.

4.共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使.

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)于向量p,a,b,若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,則向量p與a,b共面. ()(2)若向量p與向量a,b共面,則存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. ()(3)若MP=xMA+yMB,則P,M,A,B共面.()(4)若P,M,A,B共面,則MP=xMA+yMB.()◆探究點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念及應(yīng)用例1(1)(多選題)給出下列四個(gè)說(shuō)法,其中正確的是 ()A.若兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同B.若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=bC.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有AC=AD.若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p(2)如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以該長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,單位向量共有個(gè),模為5的所有向量為.

變式(多選題)在如圖所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對(duì)向量是相反向量的是 ()A.AC1B.AD1C.AC與CD.CC1與[素養(yǎng)小結(jié)]解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn):(1)關(guān)鍵點(diǎn):緊緊抓住向量的兩個(gè)要素,即大小和方向.(2)注意點(diǎn):①零向量不是沒(méi)有方向,它的方向是任意的.②單位向量的方向雖然不一定相同,但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個(gè)向量相等,則它們不僅模相等,而且方向相同.若兩個(gè)向量的模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?◆探究點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算例2(1)(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算結(jié)果為AC1的有(A.(BC-BA)+CB.(AA1+A1C.AD+CC1D.(AA1+A1(2)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱B1C1的中點(diǎn),AE=2ED.設(shè)AB=a,AC=b,AA1=c,試用向量a,b,c表示向量AD和變式(1)[2024·武漢二中月考]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,F是CC1的中點(diǎn),G為△ABC的重心,則GF= ()A.-13AB+2B.13AB+2C.-23AB+1D.13AB-2(2)若A,B,C,D為空間中不同的四個(gè)點(diǎn),則下列各式中運(yùn)算結(jié)果不一定為零向量的是 ()A.AB+2BC+2CD+DCB.2AB+2BC+3CD+3DA+ACC.AB+DA+BDD.AB-CB+CD-AD[素養(yǎng)小結(jié)]利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量的方向,必要時(shí)可對(duì)空間向量自由平移進(jìn)而獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.◆探究點(diǎn)三空間向量的共線、共面問(wèn)題例3(1)已知空間向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三個(gè)點(diǎn)是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D(2)若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的k的值為.

變式如圖所示,四邊形ABCD與四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn),判斷CE與MN是否共線.例4如圖,已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),連接PA,PB,PC,PD,點(diǎn)E,F,G,H分別為△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面.變式已知A,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)M滿足OM=13OA+13(1)MA,MB,MC三個(gè)向量是否共面?(2)點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)?[素養(yǎng)小結(jié)](1)證明空間向量共線的方法:證明空間向量a,b共線的關(guān)鍵是利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ,使a=λb(b≠0)成立,在做題時(shí)要運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則,結(jié)合空間圖形,化簡(jiǎn)得出a=λb(b≠0),從而得出a∥b.(2)證明空間三點(diǎn)共線的思路:對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,B,可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明P,A,B三點(diǎn)共線.①存在實(shí)數(shù)λ,使PA=λPB成立.②對(duì)空間任一點(diǎn)O,有OP=xOA+yOB(x+y=1).(3)證明空間三向量共面的方法:證明其中一個(gè)向量可以表示成另