中考各省壓軸之三角形的存在性問題（10考點(diǎn)25題）（老師版）

中考各省壓軸之三角形的存在性問題（10考點(diǎn)25題）

一．一次函數(shù)綜合題（共1小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+n圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象交于點(diǎn)A（m，4）．（1）求m，n的值；（2）設(shè)一次函數(shù)y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）直接寫出使函數(shù)y＝﹣x+n的值小于函數(shù)y＝2x的值的自變量x的取值范圍．（4）在x軸上是否存在點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）m＝2，n＝6；（2）點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6）；（3）x＞2；（4）點(diǎn)P坐標(biāo)為（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）正比例函數(shù)y＝2x的圖象過點(diǎn)A（m，4）．∴4＝2m，∴m＝2．又∵一次函數(shù)y＝﹣x+n的圖象過點(diǎn)A（2，4）．∴4＝﹣2+n，∴n＝6．（2）一次函數(shù)y＝﹣x+n的圖象與x軸交于點(diǎn)B，∴令y＝0，則0＝﹣x+6∴x＝6，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），令x＝0，則y＝6，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6）；（3）由圖象可知：x＞2；（4）∵點(diǎn)A（2，4），∴AB＝＝4，當(dāng)AB＝BP＝4時(shí)，則點(diǎn)P（6+4，0）或（6﹣4，0）；當(dāng)AB＝AP時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BO于E，則點(diǎn)E（2，0），∵AB＝AP，AE⊥BO，∴PE＝BE＝4，∴點(diǎn)P（﹣2，0）；當(dāng)PA＝PB時(shí)，∴∠PBA＝∠PAB＝45°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P（2，0），綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．二．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）2．如圖，過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)C（2，n）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1＞y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為，x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞2；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．【解答】解：（1）由題知，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，k＝1×2＝2，所以反比例函數(shù)的解析式為．由函數(shù)圖象可知，在直線x＝0和x＝1之間的部分及直線x＝2右側(cè)的部分，反比例函數(shù)y1的圖象在一次函數(shù)y2的圖象的上方，即y1＞y2．所以x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞2．（2）將x＝2代入反比例函數(shù)解析式得，y＝1，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．則OC＝．當(dāng)OC＝OM時(shí)，OM＝，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．當(dāng)CM＝CO時(shí)，點(diǎn)C在OM的垂直平分線上，又因?yàn)辄c(diǎn)C坐標(biāo)為（2，1），所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2）．當(dāng)MO＝MC時(shí)，點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，令MO＝m，則MC＝m，MN＝m﹣1，在Rt△CMN中，CN2+MN2＝MC2，即22+（m﹣1）2＝m2，解得m＝．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．三．二次函數(shù)綜合題（共10小題）3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB＝4．拋物線的對(duì)稱軸x＝3與經(jīng)過點(diǎn)A的直線y＝kx﹣1交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E．（1）求直線AD及拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+PA的最小值．【答案】（1）直線AD的解析式為y＝x﹣1；拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5；（2）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）．【解答】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸x＝3，AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），將A（1，0）代入直線y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，解得k＝1，∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；將A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5；（2）存在點(diǎn)M，∵直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線對(duì)稱軸x＝3與x軸交于點(diǎn)E，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x﹣1＝2，∴D（3，2），①當(dāng)∠DAM＝90°時(shí)，設(shè)直線AM的解析式為y＝﹣x+c，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得﹣1+c＝0，解得c＝1，∴直線AM的解析式為y＝﹣x+1，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣3）；②當(dāng)∠ADM＝90°時(shí)，設(shè)直線DM的解析式為y＝﹣x+d，將D（3，2）代入，得﹣3+d＝2，解得d＝5，∴直線DM的解析式為y＝﹣x+5，解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5）或（5，0），綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）如圖，在AB上取點(diǎn)F，使BF＝1，連接CF，∵PB＝2，∴，∵，∴，又∵∠PBF＝∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴，即PF＝PA，∴PC+PA＝PC+PF≥CF，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PA的值最小，即為線段CF的長(zhǎng)，∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，∴CF＝，∴PC+PA的最小值為．4．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）四邊形OCPQ為平行四邊形，理由見解答；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．【解答】解：（1）由題意得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣5x+4①；（2）對(duì)于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，則y＝4，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C（0，4），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，則，解得，故直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+4），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x2﹣5x+4），則PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，PQ的最大值為4＝CO，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣2）；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四邊形OCPQ為平行四邊形；（3）∵D是OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D（0，2），由點(diǎn)D、Q的坐標(biāo)，同理可得，直線DQ的表達(dá)式為y＝﹣2x+2，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關(guān)于直線QH對(duì)稱，故設(shè)直線QE的表達(dá)式為y＝2x+r，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入上式并解得r＝﹣6，故直線QE的表達(dá)式為y＝2x﹣6②，聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，4），設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，同理可得，當(dāng)BE＝BF時(shí)，即16+m2＝17，解得m＝±1；當(dāng)BE＝EF時(shí)，即25+（m﹣4）2＝17，方程無解；當(dāng)BF＝EF時(shí)，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．5．定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）；（2）；（3）存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時(shí)，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，此時(shí)x無實(shí)數(shù)根；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．6．如圖1，已知拋物線y＝ax2﹣4ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n．（1）填空：m＝3，a＝﹣1，c＝﹣3；（2）在圖1中，若點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時(shí)，求n的值；（3）如圖2，若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸l上，連接PQ、DQ，是否存在點(diǎn)P使△PDQ為等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）3，﹣1，﹣3；（2）n的值為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（，）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）或（0，﹣3）或（5，﹣8）（，）或（，）．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c得，，解得，∴拋物線的解析式：y＝﹣x2+4x﹣3，y＝0，則0＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝3或1，∴B（3，0），∴m＝3，故答案為：3，﹣1，﹣3；（2）連接PC，∵C（0，﹣3），CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為﹣3，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝0或4，∴D（4，﹣3），∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，∴P（n，﹣n2+4n﹣3），∴S四邊形OCDP＝S△COP+S△PCD，＝×3n+×4（﹣n2+4n﹣3+3）＝﹣2n2+n，＝﹣2（n﹣）2+，∵﹣2＜0，∴當(dāng)n＝時(shí)，S四邊形OCDP有最大值，∴n的值為；（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝2，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，分三種情況：①當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，PQ＝PD，如圖2，過P作MN∥y軸，過Q作QM⊥MN于M，過D作DN⊥MN于N，∴∠PMQ＝∠DNP＝90°，∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°，∴∠MPQ+∠PQM＝∠MPQ+∠DPN＝90°，∴∠PQM＝∠DPN，∴△PQM≌△DPN（AAS），∴QM＝PN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，∴PN＝QM＝|2﹣n|，∴3﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3，解得n＝或或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）；②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DQ＝PD，如圖3，過D作MN∥y軸，過P作PM⊥MN于M，過Q作QN⊥MN于N，同理△PDM≌△DQN（AAS），∴DM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，∴DM＝QN＝4﹣2＝2，∴3﹣2＝n2﹣4n+3，解得n＝2+或2﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；如圖5，同理△PDM≌△DQN（AAS），∴PM＝DN，DM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，∴DM＝QN＝4﹣2＝2，∴2＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝2+或2﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）；③當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，DQ＝PQ，如圖4，過P作PM⊥l于M，過D作DN⊥l于N，同理△PQM≌△QDN（AAS），∴QM＝DN，PM＝QN，∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，∴DN＝QM＝4﹣2＝2，PM＝QN＝|2﹣n|，∴MN＝QM﹣QN＝2﹣|2﹣n|，∴2﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝0或5或3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（5，﹣8）或（3，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（，）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣5）或（2﹣，﹣5）或（0，﹣3）或（5，﹣8）或（3，0）．7．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A和B，與y軸交點(diǎn)為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點(diǎn)為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個(gè)“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)n的取值范圍．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直線y2＝﹣x﹣4上存在點(diǎn)P使得△ABP是等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，點(diǎn)A在x的負(fù)半軸上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分別代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴該拋物線的解析式為y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如圖1，設(shè)直線y2＝﹣x﹣4與y軸交于點(diǎn)G，則G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中點(diǎn)，∴H（﹣，0），∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，則∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；綜上所述，在直線y2＝﹣x﹣4上存在點(diǎn)P使得△ABP是等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴拋物線y1＝﹣x2﹣3x+4的頂點(diǎn)為（﹣，），沿x軸翻折后的解析式為y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，聯(lián)立拋物線y＝（x+）2﹣與直線y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，當(dāng)Δ＝16+4（n+4）＝0時(shí)，n＝﹣8，∴當(dāng)直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，﹣8＜n＜﹣4．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn)M，使得△BCM是以CM為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；（2）如圖1，過點(diǎn)P作直線l，使l∥EF，過點(diǎn)O作OP'⊥l，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，PH最大，等于OP'，∵直線EF的解析式為y＝﹣x，設(shè)直線l的解析式為y＝﹣x+m①，∵拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2②，聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，x2+x﹣2﹣m＝0，∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，∴m＝﹣，∴直線l的解析式為y＝﹣x﹣，令y＝0，則x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，在Rt△OP'M中，OP'＝＝，∴PH最大＝．（3）①當(dāng)∠CMB＝90°時(shí)，如圖2，∴BM是⊙O的切線，∵⊙C半徑為1，B（1，0），∴BM2∥y軸，∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），∴BM2＝2，∵BM1與BM2是⊙C的切線，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD＝，∴BD＝，∴DM1＝過點(diǎn)M1作M1Q⊥y軸，∴M1Q∥x軸，∴△BOD∽△M1QD，∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝，∴OQ＝+＝，∴M1（﹣，﹣），②當(dāng)∠BCM＝90°時(shí)，如圖3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC＝＝2，∴tan∠OCM3＝2，過點(diǎn)M3作M3H⊥y軸于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，設(shè)CH＝m，則M3H＝2m，根據(jù)勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m＝，∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，∴M3（﹣，﹣2），而點(diǎn)M4與M3關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，∴M4（，﹣﹣2），即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PG⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形PEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AD、BD，點(diǎn)M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點(diǎn)N，是否存在這樣點(diǎn)M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，則點(diǎn)D（﹣2，4）；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣m+），則PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周長(zhǎng)＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，故當(dāng)m＝﹣時(shí)，矩形PEFG周長(zhǎng)最大，此時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠DBA，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①當(dāng)MN＝DM時(shí)，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，則AN＝MB＝1；②當(dāng)NM＝DN時(shí)，則∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，則AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③當(dāng)DN＝DM時(shí)，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于B（4，0），C（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形；若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）最大值為，此時(shí)P（，﹣）；（3）存在，M的坐標(biāo)為（1，6）或（1，﹣4）．【解答】解：（1）由題意，，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，設(shè)P（0＜m＜4），則，∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，PK+PD有最大值，最大值為，此時(shí)P（，﹣）；（3）存在．過A作AM2⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于M2，過B作BM1⊥AB交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M1，連接AM1，BM2，設(shè)M1（1，n），則＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，∴n＝6，∴M1（1，6），∴直線BM1解析式為y＝﹣2x+8，∵AM2∥BM1，且經(jīng)過A（0，﹣2），∴直線AM2解析式為y＝﹣2x﹣2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，∴M2（1，﹣4），綜上所述：存在，M的坐標(biāo)為（1，6）或（1，﹣4）．11．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣4）．直線BO與拋物線相交于另一點(diǎn)D，連接AB，AD，點(diǎn)E是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交AD于點(diǎn)F．（1）求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的表達(dá)式；（2）判斷△ABD的形狀，并說明理由；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，直線BD上存在一點(diǎn)G，使得四邊形AFGE為矩形，請(qǐng)判斷此時(shí)AG與BD的數(shù)量關(guān)系，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)H是拋物線的頂點(diǎn)，在（3）的條件下，點(diǎn)P是平面內(nèi)使得∠EPF＝90°的點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)Q，使得△HPQ是以∠PQH為直角的等腰直角三角形，若存在，直接寫出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（4，﹣4），點(diǎn)C（0，﹣4），本號(hào)#資料全部來源#于：數(shù)學(xué)∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣4．（2）△ABD是直角三角形，理由：∵B（﹣2，m）在y＝x2﹣x﹣4，∴B（﹣2，﹣1），∴直線OB的解析式為y＝x，由，解得（即點(diǎn)B）或，∴D（8，4），∵A（4，﹣4），∴AB＝＝3，AD＝＝4，BD＝＝5，∴BD2＝AB2+AD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是直角三角形．（3）結(jié)論AG＝BD．理由：如圖1中，連接AG，交EF于H．∵四邊形AEGF是矩形，∴AH＝HG，EH＝FH，∵EF∥BD，∴＝＝1，∴AE＝BE，∴E（1，﹣），∵＝＝，EH＝FH，∴BG＝GD，∵∠BAD＝90°，∴AG＝BD．（4）如圖2中，設(shè)EF的中點(diǎn)為K，P（x，y），連接PK．∵E（1，﹣），F(xiàn)（6，0），∴K（，﹣），EF＝＝，∵∠EPF＝90°，∴點(diǎn)P在以EF為直徑的⊙K上運(yùn)動(dòng)，∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°，∴∠QHP＝45°，∵拋物線的頂點(diǎn)H（2，﹣5），∴直線PH的解析式為y＝x﹣7，∵PK＝EF，∴（x﹣）2+（y+）2＝（）2，（y+7﹣）2+（y+）2＝（）2，解得y＝﹣4或﹣，∴Q（2，﹣4）或（2，﹣）．12．如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1＝x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D（6，﹣1）．（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)F（﹣6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1＝0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2＝0），令S＝S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由拋物線C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），將A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直線AB的解析式：y＝x+1，①若B為直角頂點(diǎn)，BE⊥AB，kBE?kAB＝﹣1，∴kBE＝﹣1，直線BE解析式為y＝﹣x+5聯(lián)立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A為直角頂點(diǎn)，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，聯(lián)立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E為直角頂點(diǎn)，設(shè)E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得kBE?kAE＝﹣1，即，，，（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（無解）解得m＝2或﹣2（不符合題意舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；（3）∵y1≤y2，∴﹣2≤x≤2，設(shè)M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直線AF的解析式：y＝﹣x﹣3，過M作x軸的平行線MQ交AF于Q，則Q（﹣），S1＝QM?|yF﹣yA|＝設(shè)AB交MN于點(diǎn)P，易知P（t，t+1），S2＝PN?|xA﹣xB|＝2﹣S＝S1+S2＝4t+8，當(dāng)t＝2時(shí)，S的最大值為16．四．等腰三角形的判定（共1小題）13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆時(shí)針方向）．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．①求證：△ABD∽△DCE；②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．（2）①如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E′，是否存在點(diǎn)D，使△ADE′是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)D的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；②如圖3，若點(diǎn)D在BC的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)D的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①由∠BAC＝90°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝45°．由∠BAD+∠ADB＝135°，∠ADB+∠EDC＝135°得到∠BAD＝∠EDC．推出△ABD∽△DCE．②分三種情況：（?。┊?dāng)AD＝AE時(shí)，∠ADE＝∠AED＝45°時(shí)，得到∠DAE＝90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，所以AE＝AC＝2．（ⅱ）當(dāng)AD＝DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，又AD＝DE，知△ABD≌△DCE．所以AB＝CD＝2，故BD＝CE＝2，所以AE＝AC﹣CE＝4﹣2．（ⅲ）當(dāng)AE＝DE時(shí)，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．所以DE＝AE＝AC＝1．（2）①存在（只有一種情況）．由∠ACB＝45°推出∠CAD+∠ADC＝45°．由∠ADE＝45°推出∠DAC+∠DE′A＝45°．從而推出∠ADC＝∠DE′A．證得△ADC∽△AE′D．本號(hào)資料全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)所以，又AD＝DE′，所以DC＝AC＝2．②不存在．因?yàn)镈和B不重合，所以∠AED＜45°，∠ADE＝45°，∠DAE＞90度．所以AD≠AE，同理可得：AE≠DE．五．三角形綜合題（共2小題）14．如圖1，B、D分別是x軸和y軸的正半軸上的點(diǎn)，AD∥x軸，AB∥y軸（AD＞AB），點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿C﹣D﹣A﹣B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)終止；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度，沿B﹣C﹣D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)終止．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PCQ的面積為S（cm2），S與t之間的函數(shù)關(guān)系由圖2中的曲線段OE，線段EF、FG表示．（1）求A、D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在這樣的時(shí)間t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)AD＝BC＝a，由圖象可知CD＝AB＝3，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A，∴＝，∴a＝6，∴點(diǎn)A坐標(biāo)（6，3），點(diǎn)D坐標(biāo)（0，3）．（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，點(diǎn)P在AB上時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是線段FG，∴S＝?OQ?6＝3OQ＝3（2t﹣6）＝6t﹣18（3≤t≤4.5）．（3）①Q(mào)在BC上，P在CD上時(shí)，由CP＝CQ得6﹣2t＝3t，解得t＝（不合題意舍棄，＞1），②Q在BC上，P在AD上時(shí)，由CP＝CQ得6﹣2t＝，整理得5t2+6t﹣18＝0，t＝或（舍棄）．由PQ＝CQ，如圖1中，作PK⊥OB于K，則DP＝OK＝3t﹣3，KQ＝6﹣2t﹣（3t﹣3）＝9﹣5t，∴PQ＝＝∴＝6﹣2t，整理得7t2﹣22t+18＝0，Δ＜0，無解．當(dāng)PC＝PQ．如圖2中，作PK⊥OB于K，則OK＝KQ＝DP，∴OQ＝2DP，∴6﹣2t＝2（3t﹣3），解得t＝，③Q在CD上，P在AB上時(shí)，由CP＝PQ，如圖3中，作PK⊥OD于K，則KQ＝OK＝PB，∴2PB＝OQ，∴2（12﹣3t）＝2t﹣6，解得t＝，綜上所述t＝s或s或s時(shí)，△PCQ為等腰三角形是等腰三角形．15．如圖1，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為acm/s（當(dāng)P、Q兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，即停止）．連接PQ，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．設(shè)CQ＝y(tǒng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s），y與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，解答下列問題：（1）a的值2；當(dāng)t＝時(shí)，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP面積為S（單位：cm2），當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某一時(shí)刻使得△AQP為等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（4）如圖3，連接BQ、CP交于點(diǎn)E，求當(dāng)∠CPQ＝∠CBQ時(shí)，t的值．【答案】（1）2，．（2）t＝時(shí)，S有最大值，最大值為．（3）t的值為或或．（4）t的值為．【解答】解：（1）由題意y＝CQ＝8﹣at，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝4，∴4＝8﹣2a，∴a＝2，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，∵AP：AB＝AQ：AC，∴＝，∴t＝，故答案為：2，．（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠C＝90°，∴∠AHP＝∠C＝90°，∴PH∥BC，∴＝，∴＝，∴PH＝（10﹣2t），∴S＝×2t×（10﹣2t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，0＜t≤4，∴t＝時(shí)，S有最大值，最大值為．（3）如圖4﹣1中，當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QT⊥AP于T．∵QA＝QP，QT⊥AP，∴AT＝PT，∵cosA＝＝∴＝，∴t＝．當(dāng)AP＝AQ時(shí)，10﹣2t＝2t，∴t＝，如圖4﹣2中，當(dāng)PA＝PQ時(shí)，過點(diǎn)P作PJ⊥AQ于J，則AJ＝JQ．由cosA＝＝，可得＝，∴t＝，綜上所述，滿足條件的t的值為或或．（4）如圖3中，∵∠CPQ＝∠CBQ，∠PEQ＝∠BEC，∴△PEQ∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠PEB＝∠QEC，∴△PEB∽△QEC，∴∠EPB＝∠CQE，∵∠CBQ+∠CQB＝90°，∴∠BPQ＝∠CPQ+∠BPE＝90°，∴cosA＝＝，∴＝，∴t＝，當(dāng)∠CPQ＝∠CBQ時(shí)，t的值為．六．四邊形綜合題（共2小題）16．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）求證四邊形DGFC為菱形；（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．本號(hào)資料全部來源于：#數(shù)學(xué)【答案】（1）AE＝3；（2）證明過程詳見解答；（3）DN＝或2．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，∴BF＝6，∴AF＝AB﹣BF＝4，設(shè)AE＝x，則EF＝DE＝8﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2﹣AE2＝AF2，∴（8﹣x）2﹣x2＝42，∴x＝3，∴AE＝3；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△AGE∽△DCE，∴，由（1）得：AE＝3，∴DE＝8﹣3＝5，∴，∴AG＝6，∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，∴FG＝CD，∴四邊形DGFC是平行四邊形，∵CD＝CF，∴?DGFC是菱形；（3）解：∵四邊形FGDC是菱形，∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC＝，DG＝CD＝10，本號(hào)資料全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，∴tan∠FGC＝，CG＝＝＝8，∴sin∠FCG＝＝，如圖1，當(dāng)∠MDN＝90°時(shí)，在Rt△GDM中，DM＝DG?tan∠DGM＝10?tan∠FGC＝10×＝5，在Rt△DMN中，DN＝DM?tan∠DMN，∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，∴DN＝DM?tan∠FGC＝5×＝，如圖2，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，∠DMN+∠GDM＝90°，∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，∴∠DGM+∠GDM＝90°，本號(hào)資料全部來源于：數(shù)學(xué)第六*感∴∠DMG＝90°，∴DM＝DG?sin∠DGM＝10×＝2，在Rt△DMN中，DN＝DM?sin∠DMN＝DM?sin∠FGC＝2×＝2，綜上所述：DN＝或2．17．如圖1，在矩形ABCD中，BC＝3，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB′，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）若AB＝2．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC上時(shí)，顯然△PAB′是直角三角形，求此時(shí)t的值；②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值？若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線PB′與直線CD相交于點(diǎn)M，且當(dāng)t＜3時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論∠PAM＝45°成立，試探究：對(duì)于t＞3的任意時(shí)刻，結(jié)論“∠PAM＝45°”是否總是成立？請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①如圖1中，本號(hào)資料全部來#源于：數(shù)學(xué)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．∴t＝PB＝2﹣4．②如圖2﹣1中，當(dāng)∠PCB′＝90°時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如圖2﹣2中，當(dāng)∠PCB′＝90°時(shí)，本號(hào)資料#全部*來源于：數(shù)學(xué)在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB′中則有：，解得t＝6．如圖2﹣3中，當(dāng)∠CPB′＝90°時(shí)，易證四邊形ABP′為正方形，易知t＝2．綜上所述，滿足條件的t的值為2或6或2．（2）如圖3﹣1中，∵∠PAM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB′＝AB，即四邊形ABCD是正方形，如圖，設(shè)∠APB＝x．∴∠PAB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易證△MDA≌△B′AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠PAB＝∠PAB′＝90°﹣x，∴∠DAB′＝∠PAB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB′＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．七．切線的性質(zhì)（共1小題）18．已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為，過點(diǎn)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（﹣4，0）．（1）求切線BC的解析式；（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP＝120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC＝，在Rt△AOC中，AC＝，OA＝1，則OC＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）；設(shè)切線BC的解析式為y＝kx+b，它過點(diǎn)C（0，2），B（﹣4，0），則有，解之得；∴．（4分）（2）如圖1所示，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，c），過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H點(diǎn)，則OH＝a，GH＝c＝a+2，（5分）連接AP，AG；因?yàn)锳C＝AP，AG＝AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），所以∠AGC＝×120°＝60°，*本號(hào)資料全部來源于#：數(shù)學(xué)在Rt△ACG中，∠AGC＝60°，AC＝，∴sin60°＝，∴AG＝；（6分）在Rt△AGH中，AH＝OH﹣OA＝a﹣1，GH＝a+2，∵AH2+GH2＝AG2，∴（a﹣1）2+＝，解之得：a1＝，a2＝﹣（舍去）；（7分）∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，+2）．（8分）（3）如圖2所示，在移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形．（9分）要使△AEF為直角三角形，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF＝90°；當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，在Rt△AEF中，AE＝AF＝，則EF＝，AM＝EF＝；在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，則BC＝2，∵∠BOC＝∠BMA＝90°，∠OBC＝∠OBM，∴△BOC∽△BMA，∴＝，∴AB＝，∴OA＝OB﹣AB＝4﹣，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4+，0）；（11分）當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，過點(diǎn)A′作A′M′⊥BC于點(diǎn)M′，可得：△A′M′B≌△AMB，A′B＝AB＝，∴OA′＝OB+A′B＝4+，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣4﹣，0）；綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）．（13分）八．圓的綜合題（共1小題）19．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如圖1，已知⊙P經(jīng)過點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求⊙P的直徑長(zhǎng)；（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x﹣3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以Q為圓心，2為半徑畫圓．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線l1與⊙Q相切；②設(shè)⊙Q與直線l1相交于M，N兩點(diǎn)，連接QM，QN．問：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，連接BC，∵∠BOC＝90°，∴點(diǎn)P在BC上，∵⊙P與直線l1相切于點(diǎn)B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長(zhǎng)＝BC＝AB＝3；（2）過點(diǎn)作CM⊥AB，由直線l2：y＝3x﹣3得：點(diǎn)C（1，0），則CM＝ACsin45°＝4×＝2＝圓的半徑，故點(diǎn)M是圓與直線l1的切點(diǎn)，即：直線l1與⊙Q相切；（3）如圖3，①當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的下方時(shí)，由題意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，3m﹣3），則點(diǎn)N（m，m+3），則NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②當(dāng)點(diǎn)M、N在兩條直線交點(diǎn)的上方時(shí)，同理可得：m＝3；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．九．幾何變換綜合題（共2小題）20．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：BD＝2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長(zhǎng)．②若AD＝6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：如圖1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∵CD＝CF，∴AD＝CF，∵∠ADC＝∠DCF＝90°，∴AD∥CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴OD＝OC，∵BD＝2OD．（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．由題意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，∵DT⊥BC，∴BT＝TC＝7，∵EC＝2，∴TE＝5，∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，∴∠TDE＝∠FEH，∵ED＝EF，∴△DTE≌△EHF（AAS），∴FH＝ET＝5，∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∴∠DBF＝90°，∵∠DBE＝45°，∴∠FBH＝45°，∵∠BHF＝90°，∴∠HBF＝∠HFB＝45°，∴BH＝FH＝5，∴BF＝5，∵∠ADC＝∠ABF＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝．②解：如圖3﹣1中，當(dāng)∠DEG＝90°時(shí)，F(xiàn)，E，G，A共線，作DT⊥BC于點(diǎn)T，F(xiàn)H⊥BC于H．設(shè)EC＝x．∵AD＝6BD，∴BD＝AB＝2，∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，∴DT＝BT＝2，∵△DTE≌△EHF，∴EH＝DT＝2，∴BH＝FH＝12﹣x，∵FH∥AC，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣12x+28＝0，解得x＝6±2．如圖3﹣2中，當(dāng)∠EDG＝90°時(shí)，取AB的中點(diǎn)O，連接OG．作EH⊥AB于H．設(shè)EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，∴∠DGO＝∠HDE，∴△EHD∽△DOG，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣36x+268＝0，解得x＝18﹣2或18+2（舍棄），如圖3﹣3中，當(dāng)∠DGE＝90°時(shí)，取AB的中點(diǎn)O，連接OG，CG，作DT⊥BC于T，F(xiàn)H⊥BC于H，EK⊥CG于K．設(shè)EC＝x．∵∠DBE＝∠DFE＝45°，∴D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBF+∠DEF＝180°，∵∠DEF＝90°，∴∠DBF＝90°，∵AO＝OB，AG＝GF，∴OG∥BF，∴∠AOG＝∠ABF＝90°，∴OG⊥AB，∵OG垂直平分線段AB，∵CA＝CB，∴O，G，C共線，由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，由△OGD∽△KEG，可得＝，本號(hào)資*料全部來源于：數(shù)學(xué)∴＝，解得x＝2，，綜上所述，滿足條件的EC的值為6±2或18﹣2或2．21．如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6cm，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．（1）求證：△CDE是等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等邊三角形；（2）存在，當(dāng)6＜t＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD＝2cm，∴△BDE的最小周長(zhǎng)＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D，B，E不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意，②當(dāng)0≤t＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2÷1＝2s；③當(dāng)6＜t＜10s時(shí)，不存在直角三角形．④如圖，當(dāng)t＞10s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，從而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14cm，∴t＝14÷1＝14s，綜上所述：當(dāng)t＝2或14s時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．一十．相似形綜合題（共4小題）22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求線段CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，則說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10．∵CD⊥AB，∴S△ABC＝BC?AC＝AB?CD．∴CD＝＝＝4.8．∴線段CD的長(zhǎng)為4.8；（2）①過點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．由題可知DP＝t，CQ＝t．則CP＝4.8﹣t．∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°．∴∠CHP＝∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴＝．∴＝．∴PH＝﹣t．∴S△CPQ＝CQ?PH＝t（﹣t）＝﹣t2+t；②存在某一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100．∵S△ABC＝×6×8＝24，且S△CPQ：S△ABC＝9：100，∴（﹣t2+t）：24＝9：100．整理得：5t2﹣24t+27＝0．即（5t﹣9）（t﹣3）＝0．解得：t＝或t＝3．∵0≤t≤4.8，∴當(dāng)t＝秒或t＝3秒時(shí)，S△CPQ：S△ABC＝9：100；（3）存在①若CQ＝CP，如圖1，則t＝4.8﹣t．解得：t＝2.4．…（7分）②若PQ＝PC，如圖2所示．∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝QC＝．∵△CHP∽△BCA．∴＝．∴＝．解得；t＝．③若QC＝QP，過點(diǎn)Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．同理可得：t＝．綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時(shí)，△CPQ為等腰三角形．23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PE＝y(tǒng)；（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）探究：當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形？（3）是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC＝＝5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y(tǒng)，DC＝3，∴＝＝，即＝＝，∴y＝﹣x+3；（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，故QB與PE不平行，當(dāng)QP∥BE時(shí)，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴＝＝，即＝＝，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝，∴當(dāng)x＝時(shí)，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時(shí)四邊形PQBE是梯形；（3）存在．分兩種情況：當(dāng)Q在線段AE上時(shí)：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，（i）當(dāng)QE＝PE時(shí)，5﹣x＝﹣x+3，解得：x＝；（ii）當(dāng)QP＝QE時(shí)，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣x，解得：x＝；（iii）當(dāng)QP＝PE時(shí)，過P作PF⊥QE于F，可得：FE＝QE＝（5﹣x）＝，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝＝，∵cos∠AEP＝＝＝，解得：x＝；當(dāng)點(diǎn)