初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》考點(diǎn)梳理含解析

第二十二章二次函數(shù)知識歸納與題型突破(14題型清單)01思維導(dǎo)圖02知識速記1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(abc是常數(shù)，a≠0).的定義知識點(diǎn)2(1)三種解析式：2.解析式①一般式：y=ax2+bx+c;·1·②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k);③交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)(組).*若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū).圖象開口向上向下3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)b2ax=x=-對稱軸b4ac-b24a-,頂點(diǎn)坐標(biāo)2ab2a當(dāng)x>-時(shí)，y隨x的增大b2ab當(dāng)x>-當(dāng)x<-時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y隨x的增大而減小.b增減性x<-時(shí)，y隨2a2ax的增大而增大.b2a4ac-b2b2a4ac-b24a最值x=-y最小=.x=-y最大=.4a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a>0當(dāng)a<0.ab2ab2ab2a當(dāng)ab同號，-<0y軸左邊；=0y軸；決定對稱軸b2a、bx=-的位當(dāng)b=0時(shí)，-當(dāng)ab異號，-3.系數(shù)ab、c的作用置>0y軸右邊．當(dāng)c>0y軸的交點(diǎn)在正半軸上；決定拋物線與ycc=0當(dāng)軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)c<0y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.b2-4ac>0x軸有2個(gè)交點(diǎn);決定拋物線與xb2-4acb2-4ac=0x1;軸有個(gè)交點(diǎn)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2-4ac<0x軸沒有交點(diǎn)知識點(diǎn)34.平移與解析式的關(guān)系·2·()二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程1.二次函+bx+c=0的根.xax2當(dāng)Δ=b2-4ac>0數(shù)與一元二次方程當(dāng)Δ=b2-4ac=0當(dāng)Δ=b2-4ac<02.二次函拋物線y=ax2+bx+c=0在xx的所ax2+bx+c>0x數(shù)與不等有值就是不等式式對應(yīng)的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.1①②確定自變量的取值范圍；②.2①②研究自變量的取值范圍；③確定所得的函數(shù)；④檢驗(yàn)x④解決提出的實(shí)際問題.3①②根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；③④03題型歸納題型一?列二次函數(shù)1.(23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中)(墻的長度為20m)34m長的籬笆圍成兩1mAB的長為xm．(1)若兩個(gè)雞場的面積和為SS關(guān)于x的關(guān)系式；(2)兩個(gè)雞場面積和S可以等于160(m)AB的值．·3·【(1)S=-3x2+36x(1)解(2)不能【S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x，即S關(guān)于x的關(guān)系式是S=-3x2+36x(2)解-3x2+36x=160即3x2-36x+160=0；∵Δ=b2-4ac=362-4×3×160=-624<0，原方程無實(shí)數(shù)解∴兩個(gè)雞場面積和S不能等于160(m)2.(23-24八年級下·福建福州·期末)某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為9資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()A.y=91+x2B.y=9+9x+x2y=91+x2C.y=9+91+x+91+x2【【C91+x，91+x，今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y=9+91+x+91+x，故選C．3.(23-24七年級下·遼寧本溪·期中)已知一正方體的棱長是3cmxcm加ycm與之間的函數(shù)關(guān)系式是2yx()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xy=6x2+36x【【Dy=6x+3-6×32=6x2+36x，故選D．4.(23-24九年級上·山西太原·階段練習(xí))相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長26cm22cmxcmycm2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【【y=4x2-96x+5720<x<11y=26-2x22-2x展開得y=572-52x-44x+4x2整理得y=4x2-96x+572·4·x>026-2x>0;22-2x>0解得：0<x<11．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4x2-96x+5720<x<11，故答案為：y=4x2-96x+5720<x<11題型二?根據(jù)二次函數(shù)定義求參數(shù)5.(2024九年級下·江蘇·專題練習(xí))已知函數(shù)y=m2-9x2-m-3x+2．(1)當(dāng)m(2)當(dāng)m(1)m≠±3(2)m=-3(1)y=m2-9x2-m-3x+2為二次函數(shù)時(shí)，則m2-9≠0即m≠±3．，(2)y=m2-9x2-m-3x+2為一次函數(shù)時(shí)，m2-9=0則，-m-3≠0解得：m=-3．6.(23-24八年級下·廣西南寧·期末)二次函數(shù)y=3x2+6x+1的一次項(xiàng)系數(shù)為()A.-6B.1C.36Dy=3x2+6x+1的一次項(xiàng)系數(shù)是；6故選：D.7.(23-24八年級下·云南·期末)若函數(shù)y=(m-2)x2m+x-1是關(guān)于x的二次函數(shù)．則常數(shù)m的值是．-1∵y=(m-2)x2m+x-1是關(guān)于的二次函數(shù)，xm-2≠0m2-m=2∴，解得：m=-1．故答案為：-18.(23-24八年級下·全國·課后作業(yè))如果y=k-3x1+x-3k的值為3出k的值為-1．∵y=k-3x1+x-3是二次函數(shù)，∴k-1=2，解得k=3k=-1，12又∵k-3≠0，即k≠3，∴k=-1，·5·故敏敏正確．題型三?y=ax2的圖象和性質(zhì)9.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))已知函數(shù)y=(m+3)x22是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)當(dāng)m(3)當(dāng)m(4)試說明函數(shù)的增減性．(1)m=-4或m=1(2)當(dāng)m=-4(3)當(dāng)m=1(4)見解析m2+3m-2=2m+3≠0(1)，m=-4,m=1m≠-312解得，∴當(dāng)m=-4或m=1(2)∵圖像開口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴當(dāng)m=-4(3)∵函數(shù)有最小值，∴m+3>0，則m>-3，∴m=1，∴當(dāng)m=1(4)當(dāng)m=-4y=-x2y軸，當(dāng)x<0時(shí)，y隨xx>0時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)m=1y=4x軸，2y當(dāng)x<0時(shí)，y隨xx>0時(shí)，y隨x的增大而增大．a(chǎn)>0a<010.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))函數(shù)y=ax與y=ax2a≠0在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是()A.B.C.B·6·A.函數(shù)y=ax圖形可得a<0y=ax2a≠0而不是交yA不正確；B.函數(shù)y=ax圖形可得a<0y=ax2a≠00,0,故選項(xiàng)B正確；C.函數(shù)y=ax圖形可得a>0y=ax2a≠0C不正確；D.函數(shù)y=ax圖形可得a<0y=ax2a≠0D不正確；故選B．11.(2024·廣東·中考真題)若點(diǎn)0,y,1,y,2,y都在二次函數(shù)y=x2()312A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yy>y>y232121313231A∶二次函數(shù)y=x的對稱軸為2y∴當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)0,y,1,y,2,y都在二次函數(shù)y=x20<1<2，312∴y>y>y，321故選∶A．12.(23-24九年級上·廣東東莞·階段練習(xí))已知拋物線y=ax2a的取值范圍是．a(chǎn)>0/0<a∵拋物線y=ax2的開口向上，∴a>0，故答案為：a>0．13.(2024·廣東佛山·二模)OABC的邊長為2C在yy=ax2過點(diǎn)B．若∠AOC=60°a=．-1B作BD⊥y軸交y軸于點(diǎn)D，∵菱形OABC的邊長為2，∴OC=BC=2，∵∠AOC=60°，∴∠=60°，3212∴BD=BCsin∠BOC=2×=3=2cos60°=2×=1，∴B-3,-3，把B-3,-3代入y=ax2，∴-3=3a，·7·∴a=-1，故答案為：-1題型四?y=ax2的圖象和性質(zhì)14.(2024·廣西·三模)已知點(diǎn)A-1,yB2,y都在二次函數(shù)y=-2x2+1y,y的大小關(guān)系是2112()A.y1<y2BB.y1>y2C.y1=y2無法確定∵函數(shù)y=-2x2+1的對稱軸為軸，y∴A-1,yB2,y在對稱軸兩側(cè)，21∵-1<2，∴y>y．12故選：B．15.(23-24九年級上·山西晉城·期末)y=-2x2+1的圖象是()A.B.C.Ca<0c>0y軸的交點(diǎn)在x根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)acy=-2x2+1可知二次函數(shù)∵a<0，y=-2x2+1的圖象的對稱軸為軸，y∴AB錯(cuò)誤；∵c>0yC正確；故選：C．16.(2023·江西九江·二模)y=ax2-aa≠0的圖象可能是()·8·A.B.C.Dy=ax2-aa≠0的對稱軸為軸，yAa>0y-a>0a<0Ba>0y-a<0a>0yCa<0y-a<0a>0Da<0y-a>0a<0y意；故選：D．17.(23-24九年級上·山東臨沂·期末)y=ax2-c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)ABCB在yac的值為()A.-1B.1C.-22DAC交y軸于點(diǎn)D，對于y=ax2-c∴OB=-c，x=0y=-c時(shí)，，∵四邊形OABC是正方形，∴AC=OB=2=2AD=-c，c2c2∴A-,-，c2c2∴-=a?--c，2解得ac=2，·9·故選D．18.(2024·上海浦東新·二模)沿著xy=(k-1)x2+1在y軸左側(cè)的部分是上升的，那么k的取值范圍是k<1．∵拋物線y=(k-1)x2+1在對稱軸左側(cè)的部分是上升的，∴拋物線開口向下，∴k-1<0k<1．故答案為：k<1．19.(23-24九年級上·山東臨沂·階段練習(xí))如果拋物線y=a-1x2+1(a為常數(shù))經(jīng)過了平面直角系的四個(gè)a的取值范圍是a<1．∵拋物線y=a-1x2+1(a為常數(shù))恒過點(diǎn)0,1∴拋物線開口向下，∴a-1<0，解得：a<1，故答案：a<1．題型五?y=ax-h+k的圖象和性質(zhì)20.(2024九年級下·江蘇·專題練習(xí))探究二次函數(shù)y=2(x-3)2-1①圖象的開口方向是；②圖象的對稱軸為直線③圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；；④當(dāng)x=x=3(0,17)3-1∵y=2(x-3)2-1∴x=33,-1，y．，∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值-1，令x=0y=17，∴圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,17)，x=3(0,17)3-1．1321.(2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·模擬預(yù)測)對于拋物線y=-(x-5)2+3()A.對稱軸是直線x=5B.函數(shù)的最大值是3C.(53)當(dāng)x>5時(shí)，y隨x的增大而增大.D13Ay=-(x-5)2+3x=5131313By=-(x-5)2+33Cy=-(x-5)2+3(53)Dy=-(x-5)2+3x>5時(shí)，y隨x·10·故選：D．235222.(2024·四川涼山·中考真題)拋物線y=x-12+c經(jīng)過-2y，0y，yyyy的123123大小關(guān)系正確的是(A.y>y>y)B.y>y>yC.y>y>yy>y>y132123231312D23y=x-1+cx=1，52∵-2,y，0,y，,y，123523232而1--2=31-0=1，-1=1<<3∴點(diǎn)0,y-2,y離對稱軸最遠(yuǎn)，12∴y>y>y；132故選：D．23.(2024·江蘇泰州·二模)二次函數(shù)y=ax-h2+k(a≠0hk為常數(shù))x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=6時(shí)，y=6．則h的值可能為()7292A.2B.3C.Da1-h2+k=1①a=a6-h2+k=6②172h>7-2h∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1x=6時(shí)，y=6，a1-h2+k=1①∴，a6-h2+k=6②即②-a6-h2-1-h2=5，1整理得：a=，7-2h∵二次函數(shù)圖像開口向下，1∴a=∴h><0，7-2h72，故選：D．24.(23-24九年級下·廣東深圳·階段練習(xí))y=(x-2)2-2的頂點(diǎn)為Ay軸交于點(diǎn)B線AB的表達(dá)式為．·11·y=-2x+y=2-2x∵y=x-22-2，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2-2，令x=0y=(-2)2-2=2，∴B的坐標(biāo)為02，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，2k+b=-2則，b=2k=-2b=2解得，∴直線AB的表達(dá)式為y=-2x+2，故答案為：y=-2x+2．25.(2024·上海虹口·二模)已知二次函數(shù)y=-x-42y隨自變量xx的取值范圍是(A.x≥4)B.x≤4C.x≥-4x≤-4Ay=-x-4，∵-1<0，∴y=-x-42x=4，∴x≥4y隨自變量x的增大而減小，故選：A．題型六?y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)26.(2024·北京·模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Mx,yNx,y是拋物線y=ax2+bx+ca>01122x=t．(1)若對于x=3,x=4y=yt的值；1212(2)若對于2<x<3,3<x<4y<yt的取值范圍．121272(1)5(2)t≤2(1)解：∵對于x=3,x=4有y=y，1212x1+x72∴拋物線的對稱軸為直線x=2=，2∵拋物線的對稱軸為x=t．72∴t=；·12·(2)解：∵當(dāng)2<x<3,3<x<4，1252x1+x72∴<2<x<x，122∵y<ya>0，12∴x,y離對稱軸更近，x<xx,y與x,y的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，21112112x1+x∴2>t，25即t≤．227.(2024·四川樂山·中考真題)已知二次函數(shù)y=x2-2x-1≤x≤t-1x=-1x=1t的取值范圍是()A.0<t≤2CB.0<t≤4C.2≤t≤4t≥2解題的關(guān)鍵．由y=x2-2x=x-12-1x=1，1-1x=-1時(shí)，y=3-13關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為33x=-1x=11≤t-1≤3∵y=x2-2x=x-12-1∴x=11-1，，當(dāng)x=-1時(shí)，y=3，∴-13關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為33，∵當(dāng)x=-1x=1∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故選：C．28.(23-24八年級下·江西宜春·期末)y=ax2+bx+c的圖象與y12為,1abc<0b2-4ac>0a+b+c<0a+b=04ac-b2=4a．其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.34D∵拋物線開口向下，∴a<0，b2a12∵拋物線的對稱軸為直線x=-=，·13·∴b=-a>0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c>0，∴abc<0∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=b2-4ac>012∵拋物線的對稱軸為x=，∴x=0和x=1對應(yīng)的函數(shù)值相等，∴x=1時(shí)，y>0a+b+c>0∵b=-a，∴a+b=0∵頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)為1，4ac-b2∴=1，4a∴4ac-b2=4a故選：D．29.(24-25九年級上·全國·單元測試)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)6,0稱軸為直線x=2abc<0a-b+c>04a+b=0Px,y1和Qx,y)x<2<x且x+x>4y<y．其中正確的是22121212∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線交y軸于正半軸，∴c>0，b2a∵對稱軸為直線x=2x=-=2>0，∴b=-4a>0，∴abc<0∵拋物線對稱軸為直線x=2當(dāng)x=5時(shí)，y>0，∴x=-1時(shí)，y>0，即a-b+c>0∵對稱軸為直線x=2，b2a∴-=2，∴b=-4a，∴4a+b=0·14·∵x=2，若x<2<x且x+x>4點(diǎn)Px,y到對稱軸的距離小于Qx,y2到直線的距離，121211∴y>y12∴正確的是①②③．30.(2024·四川內(nèi)江·二模)y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=-2x軸的一個(gè)交點(diǎn)在-3,0和-4,04a-b=0c<0-3a+c>92521204a-2b≥at2+bt(t為實(shí)數(shù))-,y,-,y，-,yy<y<12312y．其中正確的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.21A∵拋物線的對稱軸為直線x=-2，b∴x=-=-2，2a∴4a-b=0∵x軸的一個(gè)交點(diǎn)在-3,0和-4,0之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在-1,0和0,0之間，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，∴c<0對于y=ax2+bx+cx=-1時(shí)，，y=a-b+c∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在-3,0和-4,0∴點(diǎn)1,a-b+c在第二象限，∴a-b+c>0，由①得，4a-b=0b=4a，∴a-4a+c>0，即-3a+c>0對于y=ax2+bx+c∵拋物線對稱軸為x=-2，∴點(diǎn)-2,4a-2b+c為拋物線的頂點(diǎn)，x=-2時(shí)，y=4a-2b+cx=t(t為實(shí)數(shù))時(shí)，y=at2+bt+c，又∵拋物線開口向下，∴y=4a-2b+c為拋物線的最大值，∴4a-2b+c≥at2+bt+c，即4a-2b≥at2+bt·15·∵x=-2，∴y>y>y123故選：A．31.(23-24八年級下·浙江金華·期末)點(diǎn)A-4,y,B-2,y,C1,y,D4,y是二次函數(shù)y=-2x2-4x+c1234+2()A.若yy>0yy>0B.若yy>0yy>012341423C.若yy<0yy<0若yy<0yy>034122314Db2a-4-4∵二次函數(shù)y=-2x2-4x+c+2的對稱軸為：x=-=-=-1∴∴y>y>y>y，2314A.若yy>0yy>01234B.若yy>0yy>01423C.若yy<0yy<03412D．若yy<0yy>02314故選：D．32.(23-24八年級下·云南·期末)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)1,0和點(diǎn)0,3．(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)自變量x滿足-1≤x≤3y的取值范圍；(3)將此拋物線沿x軸平移mx滿足1≤x<5時(shí)，y的最小值為5m的值．(1)解析式為：y=x2-4x+32,-1(2)-1≤y≤8(3)3+6或1+6(1)1,0和點(diǎn)0,3代入y=x2+bx+c中得，1+b+c=0c=3b=-4c=3，∴y=x2-4x+3，∵y=x2-4x+3=x-22-1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,-1；(2)解：∵y=x-22-1，∴二次函數(shù)對稱軸為：x=2，∵a=1>0，∴此時(shí)函數(shù)有最小值-1，∵自變量x滿足-1≤x≤3時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，y=x2-4x+3=(-1-2)2-1=8，當(dāng)x=3時(shí)，y=x2-4x+3=(3-2)2-1=0，∴自變量x滿足-1≤x≤3時(shí)，y的取值范圍為：-1≤y≤8；(3)解：∵將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位后，∴設(shè)此拋物線沿x軸向右平移m個(gè)單位后解析式為y=(x-2-m)2-1，·16·∵當(dāng)自變量x滿足1≤x<5時(shí)，y的最小值為5，∴2+m>5m>3，此時(shí)x=5時(shí)，y=55=(5-2-m)2-1m=3+6,m=3-6(舍去，)12設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個(gè)單位后解析式為y=(x-2+m)2-1∵當(dāng)自變量x滿足1≤x<5時(shí)，y的最小值為5，∴2-m<1m>1，，此時(shí)x=1時(shí)，y=55=(1-2-m)2-1m=1+6,m=1-6(舍去，)12綜上所述：m的值為：3+6或1+6．題型七?二次函數(shù)圖象與系數(shù)符號之間的關(guān)系33.(23-24九年級上·河南商丘·階段練習(xí))如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象，ABC為拋物線與坐標(biāo)OA=OC=1()A.ac<0B.a-b=1C.a+b=-1b>2aD∵OC=1，∴c=1，又∵x=1時(shí)，y>0，∴a+b+1>0，∴a+b>-1，∴選項(xiàng)C不正確；∵拋物線開口向上，∴a>0；又∵c=1，∴ac=a>0，∴選項(xiàng)A不正確；∵OA=1，b2a∴x=-<-1，又∵a>0，∴b>2a，∴選項(xiàng)D正確；∵OA=1，∴x=-1時(shí)，y=0，∴a-b+c=0，又∵c=1，∴a-b=-1，∴選項(xiàng)B不正確．·17·故選：D．34.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)y=ax2-x-cy>0時(shí)，-2<x<1y=ax2+x-c的圖象可能為()A.B.C.D∵二次函數(shù)y=ax2-x-cy>0時(shí)，，-2<x<1∴x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0和1,0∴a<0，-12a12a∴對稱軸為x=-=∵二次函數(shù)y=ax2+x-c1∴對稱軸為x=-2a∴二次函數(shù)y=ax2-x-c和二次函數(shù)y=ax2+x-c的圖象關(guān)于y軸對稱∴二次函數(shù)y=ax2-x-c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-1,0和2,0∴二次函數(shù)y=ax2+x-c的圖象可能為故選：D．35.(23-24八年級下·四川廣安·期末)二次函數(shù)y=mx2+2mx-(3-m)m的取值范圍是()A.m<3DB.m>3C.m>00<m<3m>0y軸交于負(fù)半軸可以推出m-3<0x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(b2-4ac>0)m的取值范圍．∵拋物線的開口向上，∴m>0∵二次函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸，∴m-3<0∵拋物線與xb2-4ac>0，·18·∴2m2-4mm-3>0聯(lián)立①②③解之得：0<m<3．∴m的取值范圍是0<m<3．故選：D．36.(2024·廣西欽州·三模)在平面直角坐標(biāo)系xOyy=ax2+bx+ca≠0結(jié)論中正確的是()A.abc>0B.2a+c<0若ma-b≥mam+bC.9a-3b+c<0Ba>0，拋物線的對稱軸為直線x=-1x=-b2a=-1∴b=2a>0，拋物線與yc<0∴abc<0A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=0，∴c=-a-b=-a-2a=-3a∴2a+c=2a-3a=-a<0B正確∵拋物線的對稱軸為直線x=-1x=1和x=-3時(shí)，y=0∴9a-3b+c=0C錯(cuò)誤；∵a>0x=-1∴若ma-b+c≤am2+bm+ca-b≤mam+bD錯(cuò)誤，故選：B．37.(2024·山東德州·二模)小紅從圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中．觀察得出了下面五條信息：①b>0abc>0a-b+c>02a-3b=0c-4b>0，你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)5個(gè)B·19·∵拋物線開口方向向上，∴a>0，∵與y軸交點(diǎn)在x軸的下方，∴c<0，b2a13∵-=>0，∴b<0，∴abc>0，∴b2a13∵對稱軸-=，∴3b=-2a，∴2a+3b=0，∴④是錯(cuò)誤的；當(dāng)x=-1y=a-b+c-1a-b+c在第二象限，∴a-b+c>0∴③是正確的；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c=2×-3b+2b+c=c-4b，而點(diǎn)2,c-4b在第一象限，∴c-4b>0∴⑤是正確的．故選：B．題型八?二次函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用38.(23-24八年級下·北京海淀·期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy4,2在拋物線y=ax2+bx+2a<0上．(1)直接寫出拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點(diǎn)Px,yQx,yt≤x<t+24-t<x≤6-t．211212①當(dāng)t=1yy的大小關(guān)系；12②若對于xxy≠yt的取值范圍．1212(1)對稱軸為直線x=2(2)①y>yt<1或t≥312(1)y=ax2+bx+2a<0即拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,2)，x=0，y=2故點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)4,2關(guān)于拋物線對稱軸對稱，0+4而=2x=2；2(2)t=1時(shí)，1≤x<33<x≤5，12∴x<x；12∴x-2≤11<x-2≤3，12即x-2<x-2，12∵a<0，∴y>y；12②設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為M(x,y)，00·20·則x+x=4x=4-x；1001∵t≤x1<t+2，∴2-t<x0≤4-t；而4-t<x2≤6-t，則x≠x．02∵y≠y，12∴x≠xx≠x，0212故當(dāng)t+2<4-t或6-t≤t時(shí)，x≠x，12解得：t<1或t≥3．39.(23-24八年級下·云南·期末)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表．則這條拋物線的對稱軸是()xy??-101331??-3132A.直線x=-1BB.直線x=C.直線y=3y軸∵當(dāng)x=0x=3時(shí)的函數(shù)值都是1，0+33232∴這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=故選B．=x=，21240.(23-24八年級下·北京海淀·期末)若點(diǎn)A0,yB,yC3,y在拋物線y=x-12+ky，2311yy的大小關(guān)系為(用“)．23y>y>y231y=x-1+kx=1，故點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,y)，12而-1<0<<1a=1>0，所以當(dāng)x<1故y>y>y，312故答案為：y>y>y．31241.(2024·湖北武漢·三模)已知拋物線y=ax-22+k(ak為常數(shù))的x與y的部分對應(yīng)值如表所示；xy-2145tmnpqm下列四個(gè)結(jié)論：①t=6②若ak>0x軸沒有交點(diǎn)；③若n>pm>q；④若n·p=0m·q>0，其中正確的結(jié)論是(填寫序號)．·21·∵拋物線y=ax-2+k∴對稱軸為直線x=2,∵x=-2和x=t時(shí)的函數(shù)值相等，-2+t∴=2t=62∵ak>02,k當(dāng)a>0,k>02,k在第一象限，∴該拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；當(dāng)a<0,k<02,k在第四象限，∴該拋物線與x③若n>p4-2>2-1∴拋物線開口向下，又∵2--2>5-2-2,m比5,q離對稱軸遠(yuǎn)，∴m<q∵-2,m關(guān)于x=2的對稱點(diǎn)為6,m又∵n·p=0∴x=1或x=4時(shí)，y=0當(dāng)a>0時(shí)，x=5和x=6時(shí)，y>0m·q>0當(dāng)a<0時(shí)，x=5和x=6時(shí)，y<0m·q>0∴④正確42.(2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測)P2,1為拋物線Gy=ax-h+kQ4,12在點(diǎn)Q處被反彈后繼續(xù)向前沿拋物線Ly=-2x2+bx+c1M是AB的中點(diǎn)．，AB=4=(1)求拋物線G的對稱軸及函數(shù)表達(dá)式；(2)BM之間(不含端點(diǎn))b所有的整數(shù)值．(1)x=3y=-x-3+2(2)192021(1)解P2,1Q4,1是拋物線上的一對對稱點(diǎn)，∴對稱軸為直線x=3.∵拋物線G達(dá)到的最大高度為2，設(shè)解析式為y=ax-3+2,將點(diǎn)P2,11=a×2-32+2,解得a=-1，∴拋物線G的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-32+2(2)∵AB=4=1，∴BQ=3.·22·又Q4,1，∴點(diǎn)B7,1M5,1，b4+5292∴當(dāng)點(diǎn)Q4,1與點(diǎn)M5,1是拋物線上的一對對稱點(diǎn)時(shí)，-==，2×-2∴b=18b4+72112當(dāng)點(diǎn)Q4,1與點(diǎn)B7,1-==，2×-2∴b=22∴18<b<22，∴b所有的整數(shù)值為192021.43.(2024·北京大興·二模)在平面直角坐標(biāo)系xOyA-1,m和點(diǎn)B4,n在拋物線y=ax2+bx-2(a>0)x=t．(1)若m=1n=6t的值；32(2)已知點(diǎn)C1,yDt,ym>-2n<-2yy1212(1)1(2)y>y12(1)解：∵m=1n=6，a-b-2=1∴把點(diǎn)A-1,1和點(diǎn)B4,6代入y=ax2+bx-2得：，16a+4b-2=6a=1b=-2解得：，∵對稱軸為x=t，b2a∴t=-=1．(2)∵a>0，∴當(dāng)x>t時(shí)，y隨x的增大而增大．令x=0y=-2，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-2．∵m>-2n<-2-1<0<4，∴-1,m，0,-2在對稱軸的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)0,-2關(guān)于對稱軸x=t的對稱點(diǎn)坐標(biāo)x,-2，∴x0-t=t-0．∴x0=2t．∴點(diǎn)0,-2關(guān)于對稱軸x=t的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為2t,-2．∵n<-2，∴2t>4．∴t>2．32∴點(diǎn)C1,yDt,y在對稱軸右側(cè)．12設(shè)點(diǎn)C1,y1關(guān)于對稱軸x=t的對稱點(diǎn)坐標(biāo),y1，∴0-t=t-1．∴0=2t-1．∴點(diǎn)C1,y關(guān)于對稱軸x=t的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為2t-1,y．11·23·32312∴2t-1-t=t-1>0∴2t-1>t．2∴y>y．12題型九?用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式44.(2024·福建·中考真題)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,By軸交于點(diǎn)C，其中A-2,0,C0,-2．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若PPPC交x軸于點(diǎn)D,△的面積是△的面積的2P的坐標(biāo)．(1)y=x2+x-2(2)-3,4(1)解A-2,0,C0,-2代入y=x2+bx+c4-2b+c=0，得，c=-2b=1解得，c=-2y=x2+x-2(2)設(shè)Pm,nPm<0,n>0．．12BD?nSSnCO=2=2以=2．12BD?COCO=2，所以n=2CO=4．由m2+m-2=4，解得m=-3,m=2(舍去)，12所以點(diǎn)P坐標(biāo)為-3,4．45.(2023·廣東佛山·三模)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)-2,-1x=-12．求二次函數(shù)的解析式．y=-3x+12+2∵當(dāng)x=-12，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：-1,2，·24·設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax+1+2，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)-2,-1∴a-2+12+2=-1，解得：a=-3，∴二次函數(shù)的解析式為：y=-3x+12+2．46.(2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測)M(0,-1)的拋物線與直線y=x+1相交于ABA在xAMBM．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和這個(gè)拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0)y=x2-1(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)(1)由y=x+1，得當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0)，設(shè)頂點(diǎn)為(0,-1)的拋物線的解析式為y=ax2-1，點(diǎn)A(-1,0)在拋物線y=ax2-1上，∴0=a-1，解得：a=1，拋物線的解析式為y=x2-1y=x+1；(2)聯(lián)立，y=x2-1x1=-1x2=2y1=0得：，，y2=3點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)．47.(2024·廣東汕頭·二模)y=ax2+bx-3經(jīng)過A-1,0B3,0y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線解析式；(2)點(diǎn)P△P的坐標(biāo)．(1)y=x2-2x-3·25·(2)1,-2(1)解：∵拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過，、，兩點(diǎn)，A-10B30a-b-3=0∴，9a+3b-3=0a=1解得，b=-2∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3；(2)∵當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-2x-3=-3，∴C0-3，∵點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，∴=PB，∴AP+PC=CP+PB．∴當(dāng)點(diǎn)PCB在一條直線上時(shí)，AP+PCBC的長度．BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，又∵AC為定值，∴此時(shí)，△APC的周長最小．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，3k+b=0則，b=-3解得：∴直線將，的解析式為代入，得：，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為即當(dāng)P的坐標(biāo)為．48.(2024·湖南長沙·三模)經(jīng)過點(diǎn)．(1)求出此拋物線的解析式；(2)當(dāng)(1)(2)的取值范圍．·26·(1)經(jīng)過點(diǎn)．解得：．．(2)拋物線的對稱軸：當(dāng)時(shí)，時(shí)，隨的增大而減?。?dāng)．當(dāng)時(shí)，．時(shí)，的取值范圍為．題型十?二次函數(shù)圖象的平移49.(2024·河北石家莊·模擬預(yù)測)AB的坐標(biāo)分別為和的頂點(diǎn)在線段上運(yùn)動．與x軸交于CD兩點(diǎn)(C在D的左側(cè))，(1)；(2)若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為D的橫坐標(biāo)最大值為．48的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵頂點(diǎn)在線段AB的坐標(biāo)分別為和，∴，，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為即對稱軸為的最左端點(diǎn)處，，此時(shí)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段的最右端點(diǎn)等長的距離，D的橫坐標(biāo)有最大值，此時(shí)頂點(diǎn)向右平移了與線段·27·∵D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，∴平移后D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，此時(shí)DD的橫坐標(biāo)最大值為8．故答案為：48．50.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))將拋物線向左平移3個(gè)單位長度得到拋物線()A.B.C.A將拋物線故選：向左平移3個(gè)單位長度所得拋物線的解析式為．．51.(23-24八年級下·福建福州·期末)對于二次函數(shù)A.開口向下()B.對稱軸是直線拋物線可由C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是D向右平移1個(gè)單位得到∵二次函數(shù)的解析式為：，∴，∴A由解析式可知該二次函數(shù)對稱軸為直線由解析式可知該二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為BC將函數(shù)圖象向右平移一個(gè)單位得到的新函數(shù)的解析式為D題意；故選D．52.(2024·上?！つM預(yù)測)將拋物線沿直線方向平移個(gè)單位后的解析式為．或規(guī)律是解題的關(guān)鍵．沿直線方向平移2222·28·時(shí)，時(shí)，，經(jīng)過，，則，由此可知拋物線沿直線方向平移個(gè)單位，相當(dāng)于拋物線向上平移22個(gè)單位，此時(shí)平移后的解析式為或拋物線；向下平移22個(gè)單位，此時(shí)平移后的解析式為綜上：；或．53.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))拋物線3bc的值為是由拋物線先向右平移2個(gè)．，∵拋物線∴把拋物線，先向左平移23個(gè)單位所得拋物線的解析式為．∴，．，故答案為：．54.(2024·黑龍江牡丹江·中考真題)將拋物線向下平移5．2向下平移5個(gè)單位長度后得到，把點(diǎn)得到代入得到，，，∴，故答案為：2·29·55.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))把二次函數(shù)的圖象先向左平移2移4(1)試確定ahk的值；的圖象．(2)指出二次函數(shù)(1)，，(2)時(shí)，y隨x的增大而增大時(shí)，y隨x(1)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，先向右平移2個(gè)4個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為所以原二次函數(shù)的解析式為，所以，，；(2)∵，∴圖象開口向下，二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線y隨x的y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y隨x時(shí)，y隨x的增大而增大．56.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)(ac為常數(shù)，)經(jīng)過點(diǎn)、P．·30·(1)求的長；(2)將拋物線L沿x軸或沿y軸平移若干個(gè)單位長度得到拋物線A的對應(yīng)點(diǎn)為P的對應(yīng)點(diǎn)為的表達(dá)式．是面積為12在y(1)5(2)拋物線的表達(dá)式為或或(1)解、代入中，得解得拋物線L的表達(dá)式為．頂點(diǎn)．過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，，，，，，．(2)是面積為12的平行四邊形，在x軸上，當(dāng)拋物線沿x由于的面積為12，點(diǎn)P'在y軸左側(cè)，拋物線L沿x軸向左平移3個(gè)單位長度可得拋物線L'的表達(dá)式為，；當(dāng)拋物線沿y由于使在直線上，的面積為12，·31·拋物線L沿y軸向上或向下平移4個(gè)單位長度可得拋物線L'的表達(dá)式為，或．L'的表達(dá)式為或或．57.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測)探究問題1：(1)若二次函數(shù)(m為常數(shù))的圖象與xm的取值范圍．(2)(m為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)m的取值范圍是．圍是(m為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)m的取值范．探究問題2：(3)若二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)m的取值范圍．(1)(2)；；(3)(1)∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴∴．；(2)即得，，∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴．·32·∴．由∴的圖象與一次函數(shù)．．故答案為：(3)∴；；，．∴二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．由題意，()．作圖如下．∵二次函數(shù)的圖象在，的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴．58.(2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測)已知一次函數(shù)()和二次函數(shù)()的部分自變量和對應(yīng)的函數(shù)值如下表：??????則關(guān)于的不等式的解集是()·33·A.B.C.或不能確定B過點(diǎn)，，∴∴，，同理過點(diǎn)，，，∴，∴，畫圖，當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于的不等式的解集為，故選：．59.(23-24八年級下·廣西南寧·期末)x的一元二次方程的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為的解為()·34·A.，B.，C.，B∵圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為圖象的對稱軸為直線，，，∴關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根是故選B．60.(2024年四川省成都市高中階段教育學(xué)校統(tǒng)一招生暨初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題)的圖象與軸交于點(diǎn)()A.B.二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)距離為5C.當(dāng)時(shí)，直線與二次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，∴二次函數(shù)解析式為A錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線軸交于點(diǎn)，∴圖象與軸交于另一點(diǎn)，·35·∴二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)且兩交點(diǎn)距離為B錯(cuò)誤；將代入∴當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∵，∴函數(shù)有最小值，∴當(dāng)令時(shí)，C錯(cuò)誤；，∴，∴直線D正確；故選：D．61.(2024·貴州·中考真題)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D性判斷選項(xiàng)ABCy軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判定選項(xiàng)D．∶∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線A錯(cuò)誤；·36·∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1B錯(cuò)誤；∵∴當(dāng)時(shí)，y隨xC錯(cuò)誤；設(shè)二次函數(shù)解析式為，，，把，解得∴，當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3D正確，故選D．62.(2024·廣西南寧·模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)(1)的解集為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.34C物線與x變形為：與拋物線的圖象交于點(diǎn)和拋物線的開口向上，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，·37·∵函數(shù)圖象經(jīng)過，∴，∴變形為：不等式令，不等式與拋物線的圖象交于點(diǎn)和，的解集為則正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選C．63.(2024·浙江·一模)若在二次函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：xy????013????27則方程的解是．代入求出即可求解．拋物線解析式為：，，將代入可得：，·38·解得：，∴該拋物線的解析式為，∵∴，因式分解可得：解得：．故答案為∶．64.(23-24八年級下·福建福州·期末)如圖的解集是與直線交于，．由得：在直線的下方對應(yīng)交點(diǎn)的得：，∴拋物線在直線，的下方對應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍即為該不等式的解集，兩點(diǎn)，∵兩圖像交于∴，故答案為：．65.(2024·廣東東莞·模擬預(yù)測)經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，·39·(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)經(jīng)過BC的解；(3)點(diǎn)A為該二次函數(shù)與x(1)的面積．(2)(3)6關(guān)鍵．(1)用待定系數(shù)法求解即可．(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象可得出結(jié)論．(3)先求出點(diǎn)A代入二次函數(shù)即可得出結(jié)論．(1)將和點(diǎn)得：，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：．(2)∵當(dāng)∴不等式(3)當(dāng)時(shí)，的圖象在的解集為：的下方，．時(shí)，，解得，∴∴，．∴．·40·題型十一?二次函數(shù)應(yīng)用-實(shí)物建模問題66.(2024·河南·模擬預(yù)測)擲實(shí)心球是河南中招體育考試素質(zhì)類選考項(xiàng)目之一．王陽同學(xué)查閱資料了解到實(shí)y(單位：)可近似看作水平距離x(單位：)的二次函數(shù)．他利用先進(jìn)的高速抓拍相機(jī)記錄了某次投擲后實(shí)心球在空中運(yùn)動的過程，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與時(shí)時(shí)(1)(2)求滿足條件的拋物線的解析式．．(3)根據(jù)中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)(男生版)1015分．王陽在此次投擲中是否得到滿分？請說明理由．(1)(2)(3)王陽在此次投擲中得到滿分(1)解：∵當(dāng)與時(shí)實(shí)心球在同一高度，∴拋物線的對稱軸為直線∴當(dāng)∴實(shí)心球在空中的最大高度是故答案為:，；(2)設(shè)拋物線的解析式為,代入得，解得，∴拋物線的解析式為；(3).理由如下：令則解得().∴王陽在此次投擲中得到滿分.·41·67.(2024·陜西·中考真題)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線與橋塔O為x所在直線為y所在拋物線與纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；所在拋物線關(guān)于y與橋塔之間的距離，的最低點(diǎn)P到的距離(橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì))(1)求纜索(2)點(diǎn)E在纜索上，，的長．(1)；(2)的長為．(1)P的坐標(biāo)為A的坐標(biāo)為，設(shè)纜索把所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入得，解得，∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，，∵∴把代入得，，解得∴，，或，∵，·42·∴的長為．68.(2024·湖北武漢·二模)端A1O點(diǎn)為坐標(biāo)x軸，所在的直線為yx軸上的點(diǎn)CD為水柱的落水處達(dá)到最高．(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；(2)計(jì)劃在圖1中的線段線段的取值范圍；上的點(diǎn)B(3)圓形水池的直徑為(如圖2)右側(cè)拋物線頂點(diǎn)始終在直線之外嗎？請說明理由．(1)(2)(3)的二次函數(shù)解析式．(1)求出點(diǎn)(2)將和頂點(diǎn)坐標(biāo)為代入即可求得線段的取值范圍；(3)求出(1)解：，·43·，，∵噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)右側(cè)拋物線的解析式為：，把代入得到，，，解得∴圖1中右邊拋物線的解析式為；(2)解得時(shí)，，()∴線段的取值范圍為；(3)當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，把代入，，當(dāng)右側(cè)噴出的拋物線最大高度為設(shè)拋物線的解析式為：時(shí)，，·44·又上述拋物線過點(diǎn)則，，當(dāng)時(shí)，，，，(舍去)，水柱會落在圓形水池之外．69.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)了新一年的辛勤勞作，在新的一年播下希望的種子．如圖是小穎爸爸在屋側(cè)的菜地上搭建的一拋物線型3米的墻體A處(墻高大于4米)C點(diǎn)x軸和yy(米)與大棚離墻體的水平距離x(米)之間的關(guān)系式用B的橫坐標(biāo)為2．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)小穎的爸爸準(zhǔn)備在拋物線上取一點(diǎn)P(不與AC重合)對大棚進(jìn)行加固(點(diǎn)DE分別在y軸，x軸)軸，1P設(shè)在拋物線的頂點(diǎn)B對大棚進(jìn)行加固；2P設(shè)在到墻的水平距離為5對大棚進(jìn)行加固．DPE所需鋼材長度分別記為的材料損耗)、(忽略接口處(1)(2)·45·(1)由題知，將代入拋物線的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．(2)方案一：拋物線的頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．，將點(diǎn)P設(shè)在拋物線的頂點(diǎn)B處，軸，軸，，(米)．方案二：點(diǎn)P設(shè)在到墻的水平距離為5米的拋物線上，即當(dāng)時(shí)，，，軸，軸，，(米)．．題型十二?二次函數(shù)應(yīng)用-圖形面積問題70.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))為直徑的半圓O，下部是一個(gè)矩形．·46·(1)當(dāng)O的面積；(2)已知矩形相鄰兩邊之和為8O的半徑為r米．①求隧道截面的面積②若2米3S的最大值．((1)關(guān)于半徑r(m)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出r的取值范圍)；取3.140.1米)(米)(2)①26.1(1)(米)；(2)①∵，∴，，∴．②由①知，又∵2米米，∴∴，．由①知，．∵，∴，又S隨r的增大而增大，·47·故當(dāng)時(shí)，S有最大值．(米)．71.(2024·湖北·中考真題)42m笆長．設(shè)垂直于墻的邊長為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．(1)求與與的關(guān)系式．(2)圍成的矩形花圃面積能否為的值．(3)的值．(1)(2)能，；(3)的最大值為800(1)解：∵籬笆長，∴∵∴，∴∵墻長42m，∴，解得，，∴；又矩形面積；·48·(2)，整理得：，此時(shí)，，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴圍成的矩形花圃面積能為；∴∴∵∴，；(3)解：∵∴有最大值，，又∴當(dāng)即當(dāng)時(shí)，時(shí)，的最大值為800，72.(2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測)該矩形場地一面靠墻(墻的長度為)為為．(1)分別求出y與xs與x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x(3)若購買的籬笆總長增加x說明理由．(1)，·49·(2)當(dāng)；(3)矩形場地的最大總面積不能達(dá)到(1)根據(jù)題意得，，；(2)，當(dāng)；(3)由題意得，，，將代入得：解得：，，矩形場地的最大總面積不能達(dá)到．73.(23-24八年級下·浙江溫州·階段練習(xí))根據(jù)素材回答問題：如圖1的距離為10米，與的距離為素材1素材2邊長為4米，8米．與30米長的柵欄(圖中的細(xì)實(shí)線)的柵欄與小路相互平行(或垂直)任務(wù)1任務(wù)2小明同學(xué)按如圖2(不包含水池的面積)．若按如圖3CDHG在(不包含水池的面·50·積)為學(xué)習(xí)小組在探究的過程中還發(fā)現(xiàn)按如圖3(不包含水池)的最大面積是____________的長．的長是____________任務(wù)3．12082：3的長是(不包含水池)的最大面積是1任務(wù)23任務(wù)3y(2)得12，由題意可知矩形，面積為，()，208任務(wù)23長；交于點(diǎn)，設(shè)，，由題意可得花圃面積，即，解得：或()，·51·；任務(wù)3y，由(2)得，，當(dāng)時(shí)，有最大值為273，答的長是(不包含水池)的最大面積是．?dāng)?shù)解析式是解題的關(guān)鍵．題型十三?二次函數(shù)應(yīng)用-營銷問題74.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)p(百千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)滿足函數(shù)關(guān)系式q(百千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)銷售價(jià)格x(元/千克)市場需求量q/(百千克)241041210已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格x不低于2元/千克且不高于10元/千克(1)求q與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)x的取值范圍；(3)2元/千克．①求廠家獲得的利潤y(百元)與銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)廠家獲得的利潤y(百元)隨銷售價(jià)格xx的取值范圍．(利潤本)售價(jià)成(1)(2)(3)①(1)解(kb為常數(shù)且)時(shí)，時(shí)，析式得：，解得：，∴q與x的函數(shù)關(guān)系式為：．·52·(2)，，解得：又，，∴；(3)；②∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增加而增加．又∵，∴當(dāng)y隨銷售價(jià)格x的上漲而增加．75.(2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測)1200金額是8001802元．如果甲種湯圓以每袋24400.5元，每天可多售出10袋．(1)求甲種湯圓每袋的進(jìn)價(jià)是多少元；(2)(1)12元(2)甲種湯圓銷售單價(jià)19元/980元．(1)x元，則()．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解．12元；(2)m元/y元．則．∵，∴當(dāng)元．·53·19元/980元．76.(2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測)設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元件．設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬元/與之間的函數(shù)解析式是．是正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，時(shí)，(1)求，的值：(2)設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為與滿足關(guān)系式．則工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？(1)(2)工廠第14405萬元(1)解時(shí)，；時(shí)，代入，得：，解得：，，故答案為：；(2)x個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為w(1)知，當(dāng)時(shí)，，，，，∴當(dāng)時(shí)，w400，當(dāng)時(shí)，，·54·，，∴當(dāng)時(shí)，w405，時(shí)，w405，∴∴工廠第14405萬元．77.(2024·山東臨沂·二模)某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100(萬元)與年產(chǎn)量(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖所示)預(yù)售總額(萬元)波動總額(萬元)每件產(chǎn)品的預(yù)售額(元)×年銷售量(萬(萬元)件)萬元．(年毛利潤生產(chǎn)費(fèi)用)總銷售額2040年銷售量總銷售額(萬件)(萬元)5601040(1)求與以及與之間的函數(shù)解析式；(2)(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1000(1)，(2)75萬件(3)年銷售量大于50100萬元(1)利用待定系數(shù)法求解即可；(2)根據(jù)毛利潤(3)根據(jù)題意得到出．，1000萬元求解即可．(1)·55·經(jīng)過點(diǎn)，．解得：．．設(shè)每件產(chǎn)品的預(yù)售額為該產(chǎn)品的總銷售額元．(萬元)預(yù)售總額(萬元)波動總額(萬元)每件產(chǎn)品的預(yù)售額(元年銷售量．(萬件)的平方成正比，．．；(2)由題意，，，75萬件．當(dāng)(3)，．．．．，年毛利潤不低于1000該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍為：．78.(2024·浙江·模擬預(yù)測)(1)(2)園原價(jià)每人200101·56·就減少2元，(20每人100元．又知九(1)(2)班師生人數(shù)分別為56人、58人．問題：(1)180元付款)(2)求購票費(fèi)用(元與團(tuán)體人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．(1)(2)班師生人數(shù)比九(1)理合理的應(yīng)該是購票費(fèi)用(元隨團(tuán)體人數(shù)的增大而增大．(2)是隨的增大而減少的解決：(3)(元隨團(tuán)體人數(shù)最低票價(jià)至少提高到多少才能符合要求？(1)60人(2)購票費(fèi)用(元)與團(tuán)體人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為(3)把最低票價(jià)至少提高到110元才能符合要求(1)設(shè)團(tuán)體人數(shù)有論；(2)時(shí)，(3)求出當(dāng)隨的增大而(1)，解得，60人；(2)(1)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)，購票費(fèi)用(元)與團(tuán)體人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為；(3)·57·當(dāng)當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，的增大而減小，，隨若團(tuán)體人數(shù)為55(元)，(元)隨團(tuán)體人數(shù)高到110元才能符合要求．題意分類討論列出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．題型十四?二次函數(shù)應(yīng)用-其它應(yīng)用問題79.(2024·浙江·模擬預(yù)測).我們通常用車流密度KvQ對道路的交通狀況進(jìn)行宏觀描述.車流密度K是指在單位長度(通常為)是表示在一條道路上車輛的密集程度.交通量Q是指單