模型21 勾股定理-直角三角形銳角平分線(xiàn)模型-解析版

勾股定理模型（二十一）——直角三角形銳角平分線(xiàn)模型◎結(jié)論：如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AP是∠CAB的角平分線(xiàn)，求PC的長(zhǎng)解：如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，過(guò)P作PD⊥AB于D，可知△ACP與△ADP全等，得AC＝AD＝6，DB＝AB－AD＝4，在直角三角形PBD中，，設(shè)PC＝X,則PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所以PC＝4.角平分線(xiàn)的性質(zhì)：1.由角平分線(xiàn)可以得兩個(gè)相等的角。2.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。3.三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，稱(chēng)作三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。4.三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。1．（2021·河南·南陽(yáng)市第九中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，中，，平分，把沿折疊使C點(diǎn)落在處，若，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】利用勾股定理列式求出，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得，，然后求出，設(shè)，表示出，然后利用勾股定理列方程求解即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由翻折變換的性質(zhì)得，，，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，此類(lèi)題目熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東·寧津縣第四實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，折疊長(zhǎng)方形紙片的一邊，使點(diǎn)落在邊的處，是折痕．已知，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可知，，．由勾股定理可求出，從而可求出．設(shè)，則，在中，利用勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x，即可求出結(jié)果．【詳解】解：四邊形為長(zhǎng)方形，，，．又是由折疊得到，，，．在中，，．設(shè)，則，在中，，即，解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2022·湖南湘潭·八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)方形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，，在AB上取一點(diǎn)M使得△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在x軸上，記作B′點(diǎn)，(1)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求折痕所在直線(xiàn)的表達(dá)式；(3)求折痕上是否存在一點(diǎn)，使最小？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【答案】(1)（8，0）；(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）在Rt△OC中，求出O即可得答案；（2）在Rt△中，求出AM可得M坐標(biāo)，從而可以求CM所在直線(xiàn)的解析式；（3）連接OB，OB與CM交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，連接PB'，根據(jù)△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)，知PO+，，用股股定理即可求出的最小值為．（1）解：∵四邊形OABC是長(zhǎng)方形，OA＝10，∴BC＝OA＝10，∵△CBM沿CM翻折，∴＝BC＝10，在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，∴O＝，∴（8，0），故答案為：（8，0）；（2）解：設(shè)AM＝x，則BM＝AB﹣AM＝6﹣x，∵OA＝10，B′O＝8，∴A＝2，∵△CBM沿CM翻折，∴M＝BM＝6﹣x，在Rt△AM中，，∴，解得x＝，∴M（10，），設(shè)CM所在直線(xiàn)的解析式為y＝kx+b，將C（0，6）、M（10，）代入得：，解得k＝﹣，b＝6，∴CM所在直線(xiàn)的解析式為y＝﹣x+6；（3）解：折痕CM上存在一點(diǎn)P，使PO+PB'最小，連接OB，OB與CM交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，連接PB'，如下圖，∵△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在B'點(diǎn)，∴PB=PB'，∴PO+，當(dāng)O、P、B共線(xiàn)時(shí)，PO+PB'最小，∵，∴PO+PB'的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、長(zhǎng)方形中的折疊、最短距離等知識(shí)，掌握折疊的性質(zhì)以及熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．1．（2022·北京·首都師大二附八年級(jí)期中）如圖，在中，，現(xiàn)將它折疊，使點(diǎn)與重合，求折痕的長(zhǎng)．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)，可得：，BD=CD，由勾股定理可求得AB=4，在Rt△DAC中，由勾股定理建立方程可求得CD，再由勾股定理即可求得DE的長(zhǎng)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，BD=CD，，∵，∴，∴AD=AB－BD=4－CD；在Rt△DAC中，由勾股定理得：，解得：，在Rt△DEC中，由勾股定理得：．答：折痕的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)鍵是通過(guò)勾股定理建立方程求得CD的長(zhǎng)．2．（2022·山東省平邑賽博中學(xué)八年級(jí)期中）在中，，，，，分別是和上的點(diǎn)，把沿著直線(xiàn)折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．(1)如圖1，如果點(diǎn)恰好與頂點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，如果點(diǎn)恰好落在直角邊的中點(diǎn)上，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用翻折得到AE=BE，在中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)，可以得到的長(zhǎng)度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．（1）解：在中，，，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∴AE=BE設(shè)為x，則：AE=BE=8-x在中：解得：x=即的長(zhǎng)為：．（2）解：∵點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)∴=根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∴=BE設(shè)為x，則：=BE=8-x在中：解得：x=即的長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問(wèn)題．在折疊過(guò)程中，對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；在直角三角形中，知道一條邊長(zhǎng)以及另外兩條邊的關(guān)系時(shí)，通常采用方程思想來(lái)解題．3．（2022·湖北·來(lái)鳳縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，為矩形紙片的邊上一點(diǎn)，將紙片沿向上折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．若，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根據(jù)勾股定理可得DF＝8，求得CF＝2，再在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：∵將矩形ABCD沿AE向上折疊，使點(diǎn)B落在DC邊上的F點(diǎn)處，AB＝10，∴EF＝BE，AF＝AB＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，∠D＝∠C＝90°，∴在Rt△ADF中，DF＝，∴CF＝2，在Rt△CEF中，，∵EF＝BE＝6－CE，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折變換，熟知折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·河南·延津縣清華園學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=3，AD=9，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，(1)求證：BE=BF；(2)求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論；（2）在Rt△BAE中，，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．（1）在長(zhǎng)方形ABCD中，，∴，由折疊可知，，∴，∴；（2）在長(zhǎng)方形ABCD中，，由折疊知，設(shè)，那么，在Rt△BAE中，，即．解得，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長(zhǎng)，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長(zhǎng)，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設(shè)AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2015·湖南湘潭·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知∠C=∠AED=90°，因?yàn)椤螪EB=∠C，∠B=∠B證明三角形相似即可；（2）由折疊的性質(zhì)知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中運(yùn)用勾股定理求DE，進(jìn)而得出AD即可．【詳解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，∴∠C=∠AED=90°，∴∠D