模型29 平行四邊形-中點(diǎn)四邊形模型-原卷版

平行四邊形模型（二十九）——中點(diǎn)四邊形模型中點(diǎn)四邊形：依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形.◎結(jié)論1：點(diǎn)M、N、P、Q是任意四邊形的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是平行四邊形.如上圖：【證明】∵M(jìn)N∥12PQ∥12∴四邊形MNPQ為平行四邊形。如上圖【證明】∵M(jìn)Q∥12BD，MQ＝1PN∥12BD，PN＝1∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四邊形MNPQ為平行四邊形【證明】∵M(jìn)N∥12AC,MN＝1PQ∥12AC，PQ＝1∴MN∥PQ，MN＝PQ∴四邊形MNPQ為平行四邊形◎結(jié)論2：對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形【證明】由上：平行四邊形MNPQ∵AC∥PQ∴∠2＝∠1＝90°∵M(jìn)Q∥BD∴∠3＝∠2＝90°∴MNPQ為矩形.◎結(jié)論3：對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形【證明】由上：平行四邊形MNPQ∵M(jìn)Q＝12BD，MN＝1∴MQ＝MN∴四邊形MNPQ為菱形?！蚪Y(jié)論4：對角線垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。【證明】由結(jié)論3可知對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，所以四邊相等，再結(jié)合結(jié)論2對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，所以四邊形MNPQ為正方形。1．（2022·貴州·遵義五十七中八年級(jí)期中）我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，下列說法正確的是A．任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形B．任意一個(gè)平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形C．對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形D．對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形2．（2017·山東·淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第一中學(xué)九年級(jí)期中）若順次連接一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（

）A．一般平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形 C．對角線相等的四邊形 D．矩形3．（2021·新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加一個(gè)條件_____，能使四邊形EFGH是矩形．1．（2021·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由；（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由．2．（2021·河北石家莊·八年級(jí)期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．3．（2021·江蘇·高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點(diǎn)，當(dāng)對角線、還要滿足______時(shí)，四邊形是正方形．（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設(shè)點(diǎn)是所在平面上的任意一點(diǎn)且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．1．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，C