高中數(shù)學(xué)人教A版必修3課件221用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

2.2用樣本估計(jì)總體2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1.頻率分布直方圖的畫法最大值與最小值小整數(shù)左閉右開不小于k的最分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率合計(jì)樣本容量11頻率/組距各小長(zhǎng)方形的面積2.頻率分布折線圖與總體密度曲線(1)頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的_____,就得到頻率分布折線圖.中點(diǎn)(2)總體密度曲線在樣本頻率分布直方圖中,當(dāng)樣本容量逐漸增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,_____減小,相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.組距3.莖葉圖十位個(gè)位沒有原始信息的損失數(shù)據(jù)信息記錄與表達(dá)【點(diǎn)撥】(1)頻率分布直方圖的優(yōu)缺點(diǎn)①優(yōu)點(diǎn):可以直觀、形象地反映樣本的分布規(guī)律,清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).②缺點(diǎn):從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就抹掉了.(2)頻率分布直方圖的三個(gè)畫法技巧①組數(shù)的確定方法:設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n,一般地,當(dāng)n≤50時(shí),則分為5～8組;當(dāng)50<n≤100時(shí),則分為8～12組.②分點(diǎn)數(shù)的決定方法:若數(shù)據(jù)為整數(shù),則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5;若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后一位的數(shù),則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.05,以此類推.③畫頻率分布直方圖小矩形高的方法:假設(shè)頻數(shù)為1的小矩形的高為h,則頻數(shù)為k的小矩形的高為kh.(3)繪制莖葉圖的注意事項(xiàng)①繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉.一般來說,當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時(shí),十位上的數(shù)字為“莖”,個(gè)位上的數(shù)字為“葉”;如果是小數(shù),通常把整數(shù)部分作為“莖”,小數(shù)部分作為“葉”;②應(yīng)用莖葉圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí),要從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等方面來比較.提醒:在莖葉圖中,相同的數(shù)字代表數(shù)據(jù)的再次出現(xiàn),切不可忽略.【自我檢測(cè)】1.從一群學(xué)生中抽取一個(gè)一定容量的樣本,對(duì)他們的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行分析.已知不超過80分的為10人,其累積頻率為0.5,則樣本容量是(

)A.20B.40C.80D.60【解析】選A.樣本容量==20.2.如圖,是一個(gè)班的語文成績(jī)的莖葉圖(單位:分),則優(yōu)秀率(90分以上)是________,最低分是________.【解析】由莖葉圖知,樣本容量為25,90分以上的有1人,故優(yōu)秀率為

=4%,最低分為51分.答案:4%

513.一個(gè)容量為32的樣本,分成5組,已知第三組的頻率為0.375,則另外四組的頻數(shù)之和為________.【解析】由題意得,第三組的頻數(shù)為32×0.375=12.所以另外四組的頻數(shù)之和為32-12=20.答案:20類型一頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖【典例】1.容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如表所示.則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)2345422.山東省教育廳為了了解和掌握2016年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下:(單位:分)

135

98

102

110

99

121

110

96

100

103125

97

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113

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112105

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104

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108(1)列出頻率分布表.(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖.(3)估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例.【審題路線圖】1.首先確定[10,40)內(nèi)的頻數(shù),再求頻率.2.頻率分布直方圖?先求極差,根據(jù)極差與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)確定組距、組數(shù),然后畫圖并分析求解.【解析】1.選B.樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻數(shù)為2+3+4=9,故所求的頻率為=0.45.2.100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為=11.(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率頻率/組距[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030分組頻數(shù)頻率頻率/組距[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)10010.2注:表中加上“頻率/組距”一列,這是為畫頻率分布直方圖準(zhǔn)備的,因?yàn)樗穷l率分布直方圖的縱坐標(biāo).(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖,如圖所示:(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例為60%.(0.60=60%)【方法技巧】繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)(1)計(jì)算極差,需要找出這組數(shù)的最大值和最小值,當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí),可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照.(2)將一批數(shù)據(jù)分組,目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律,要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目,一般來說,數(shù)據(jù)越多,分組越多.(3)將數(shù)據(jù)分組,決定分點(diǎn)時(shí),一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn).(4)列頻率分布表時(shí),可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi),以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).(5)畫頻率分布直方圖時(shí),縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值,一定不能標(biāo)成頻率.提醒:每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積=組距×=頻率.【變式訓(xùn)練】有一容量為200的樣本,數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下:[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.(1)列出樣本的頻率分布表.(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.(3)求樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率.【解析】(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[-20,-15)70.035[-15,-10)110.055[-10,-5)150.075[-5,0)400.2[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.1[15,20]170.085合計(jì)2001.00(2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示:(3)樣本數(shù)據(jù)不足0的頻率為:0.035+0.055+0.075+0.2=0.365.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖,則由圖形中的數(shù)據(jù),樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為(

)A.20B.30C.40D.50【解析】選B.樣本落在[15,20]內(nèi)的頻率是1-5(0.04+0.1)=0.3,則樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為0.3×100=30.類型二莖葉圖的畫法及應(yīng)用【典例】1.如圖,是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位:臺(tái))的莖葉圖,則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的頻率為(

)

A.0.2 B.0.4C.0.5D.0.62.在最新一期《參考消息》和《人民日?qǐng)?bào)》中各取一篇文章,每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)分別如下:

27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)畫出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖.(2)比較分析兩組數(shù)據(jù),能得出什么結(jié)論?【審題路線圖】莖葉圖問題?結(jié)合數(shù)據(jù),利用莖葉圖的畫法,并結(jié)合莖葉圖進(jìn)行分析.【解析】1.選B.因?yàn)閿?shù)據(jù)總個(gè)數(shù)n=10,又落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為4,所以所求的頻率為

=0.4.2.(1)依題意,畫出莖葉圖如圖所示:(2)《參考消息》選取的文章中每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在10～41之間,中位數(shù)為32,而《人民日?qǐng)?bào)》文章中每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在10～46之間,中位數(shù)為23.還可以看出,《參考消息》上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)比《人民日?qǐng)?bào)》上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)要多.【方法技巧】莖葉圖的畫法步驟(1)將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分.(2)將最小的莖和最大的莖之間的數(shù)按從小到大的順序從上到下列出,莖相同者共用一個(gè)莖,再畫上豎線作為分界線.(3)將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉寫在其莖右(左)側(cè).【變式訓(xùn)練】某中學(xué)高二(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來,每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下:甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較.【解析】甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示:從這個(gè)莖葉圖上可以看出,乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的,中位數(shù)是98;甲同學(xué)的得分情況,也大致對(duì)稱,中位數(shù)是88.乙同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定,總體情況比甲同學(xué)好.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,是2016年青年歌手大獎(jiǎng)賽中七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中m為數(shù)字0～9中的一個(gè)),去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1,a2,則一定有(

)A.a1>a2

B.a2>a1C.a1=a2D.a1,a2的大小與m的值有關(guān)【解析】選B.根據(jù)莖葉圖可知,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,甲的平均分為a1=80+=84,乙的平均分為a2=80+=85,故a2>a1.類型三頻率分布直方圖的應(yīng)用【典例】1.某公司為了改善職工的出行條件,隨機(jī)抽取100名職工,調(diào)查了他們的居住地與公司間的距離d(單位:km).由其數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則樣本中職工居住地與公司間的距離不超過4km的人數(shù)為________.2.為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.

(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?【審題路線圖】頻率分布直方圖?頻率?頻數(shù)或樣本容量?答案.【解析】1.不超過4km的頻率為(0.1+0.14)×2=0.48,故樣本中職工居住地與公司間的距離不超過4km的人數(shù)有0.48×100=48(人).答案:482.(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為:=0.08.又因?yàn)榈诙〗M的頻率=所以樣本容量=(2)由題意估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為

×100%=88%.【延伸探究】1.若本例2條件不變,試求樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù).【解析】由本例2的解析知達(dá)標(biāo)率為88%,樣本容量為150,不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1-0.88=0.12.所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12=18(人).2.若本例2條件不變,試求第三小組的頻數(shù).【解析】第三小組的頻率為

=0.34.又因?yàn)闃颖救萘繛?50.所以第三小組的頻數(shù)為150×0.34=51.【方法技巧】由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí),需掌握下列關(guān)系式.(1)×組距=頻率.(2)=頻率,此關(guān)系式的變形為:=樣本容量,樣本容量×頻率=頻數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】某校在5月份開展了科技月活動(dòng).在活動(dòng)中某班舉行了小制作評(píng)比,規(guī)定作品上交的時(shí)間為5月1日到31日,逾期不得參加評(píng)比.評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖.已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請(qǐng)解答下列問題:(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多,有多少件?(3)經(jīng)過評(píng)比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng),問這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?【解析】(1)設(shè)從左到右各長(zhǎng)方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x,x.設(shè)參加評(píng)比的作品總數(shù)為a件,依題意得:4x×5=滿足(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1,解得a=60(件).(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6×x